В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В соответствии с условием задачи для массы второй тележки можно записать:M (t ) = M 0 + kt ,(3.60)и уравнение (3.55) принимает вид:k dtdυ2=−.(3.61)υ 2 (t )M 0 + ktПосле интегрирования (3.61) получаем:υM0ln 2 = ln.(3.62)υ0M 0 + ktЗависимость скорости второй тележки от времени имеет вид:M0υ 2 = υ0.(3.63)M 0 + ktИспользуя (3.63) находим закон движения второй тележки:ttM 0υ0Mυ ⎛kt ⎞⎟⎟ .x2 = ∫ υ 2 (t ) d t = ∫d t = 0 0 ln⎜⎜1 +(3.64)+MktkM00⎝⎠00Воспользовавшись законом движения (3.64), находим время,за которое вторая тележка пройдет расстояние L = 9 м:Lk⎞M ⎛t2 = 0 ⎜ e M 0υ 0 − 1⎟ ≅ 14,6 с.(3.65)⎟k ⎜⎠⎝III.
Проанализируем полученное решение. Масса второй тележки увеличивается со временем, поэтому при падении на нееочередной порции песка ее скорость уменьшается медленнее, чемГлава 3. Законы изменения импульса и механической энергии97скорость первой тележки. Графики зависимостей координат тележек от времени показаны на рис. 3.6.x, м2150x1max1100L5000100200t, с300400Рис. 3.6В соответствии с (3.58) координата первой тележки асимптоMυтически стремится к значению x1 max = 0 0 = 10 м. Скорость втоkрой тележки также уменьшается со временем, однако ее координата будет все время увеличиваться.Задача 3.4(Движение тел с переменной массой)Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте спомощью жидкостного ракетного двигателя. Начальная масса ракеты (с топливом) равна M0 = 105 кг, а скорость выбрасываемыхвертикально вниз газов равна u = 2600 м/с.
Найти расход топливаμ(t) и массу выброшенных ракетой газов в первую секунду полета.РешениеI. Выберем систему координат, связанную с поверхностьюЗемли, ось X которой направим вертикально вверх. Для анализаусловия равновесия будем использовать закон изменения импульсадля системы тел «ракета + вылетевшие из нее газы». На эту систему тел действует внешняя сила – сила тяжести.II. Закон изменения проекции импульса (см. (3.7)) ракеты запишем в видеM (t ) ⋅ 0 − d m ⋅ u = − M (t ) g d t .(3.66)Здесь M(t) – масса ракеты в момент времени t;МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ98dm = μ (t )dt –(3.67)изменение массы ракеты за малый промежуток времени dt.Дополним это уравнение условием сохранения суммарноймассы ракеты и вылетающего газа:(3.68)dM +dm = 0.III. Решим полученную систему уравнений (3.66) – (3.68) относительно расхода топлива μ (t ) .Исключая из системы уравнений массу ракеты M и массу истекающих их нее газов m, получаем дифференциальное уравнениеотносительно μ (t ) :ud μ (t ) = − μ (t )dt .(3.69)gРешаем (3.69) методом разделения переменных:gln μ (t ) = − t + const ,(3.70)uμ (t ) =g− tuAe.(3.71)Константу интегрирования A в (3.73) определяем из уравнения (3.66), записанного для начального момента времени:M g(3.72)A = μ (0) = 0 .uВ результате получаем искомое выражение для расхода топлива:gM0g − u te .(3.73)uМассу газов, выброшенных ракетой за время t, находим в результате интегрирования μ (t ) по времени:μ (t ) =gt⎛− t⎞m(t ) = ∫ μ (t )dt = M 0 ⎜1 − e u ⎟ .(3.74)⎜⎟0⎝⎠uПри t <<масса выбрасываемых газов оказывается проgпорциональна времени их истечения:gm(t ) ≅ M 0 t .(3.75)uГлава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии99u 2600≅c ≅ 260 c , воспользуg9,8емся выражением (3.75) для нахождения искомой массы выброшенных ракетой газов в первую секунду полета:g(3.76)m(t ) t =1 c ≅ M 0 t≅ 384.6 кг.u t =1 cПоскольку по условию задачиЗадача 3.5(Закон изменения механической энергии)Два шарика с одинаковой массой m, соединенные нерастянутой пружинкой длиной l0, лежат на гладкой горизонтальной поверхности.
На один из шариков начинает действовать постояннаясила F, направленная вдоль оси пружинки. Через некоторое времядлина пружинки становится максимальной и равной lmax. Определить коэффициент упругости пружинки k.РешениеПриложим силу F к переднему по направлению действия силы шарику (см. рис.
3.7), поскольку в соответствии с условием задачи в результате действия силы происходит растяжение пружинки.Fx10x20XFx11x21XРис. 3.7Выберем систему координат, связанную с горизонтальнойповерхностью, направив ось X вдоль направления действия силы, иобозначим координаты шариков x10, x20 в начальный момент времени и x11, x21 в момент максимального сжатия пружины (как показано на рис. 3.7). В этом случае длина нерастянутой пружинки в исходном состоянии l0 = x20 − x10 , а ее длина в момент максимальногорастяжения lmax = x21 − x11 .Движение тел системы, состоящей из двух связанных пружинкой шариков, под действием внешней силы F из-за изменяю-МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ100щихся во времени внутренних упругих сил будет достаточно сложным. Однако в момент времени, когда расстояние между шарикамимаксимально и равно lmax, скорости их будут равны, что существенно упрощает решение задачи. В соответствии с условием задачипренебрежем силами трения и сопротивления воздуха, массойпружинки и размерами шариков. Воспользуемся законом изменения механической энергии и теоремой о движении центра масс длявыбранной системы тел (см.
п. 3.1).II. Закон изменения механической энергии (3.39) для системы«два шарика + пружинка» на интервале времени от начала действия силы до момента максимального растяжения пружинки имеетвид:mυ 2 k (lmax − l0 ) 2Δ( E k + E p ) = 2+= A,(3.77)22где υ – скорость шариков в момент максимального растяженияпружины, а работа внешней силы равнаA = F ( x21 − x20 ) .(3.78)Запишем уравнение движения центра масс (3.6) для рассматриваемой системы «два шарика + пружинка»:2 ma цм = F .(3.79)Поскольку центр масс системы движется равноускоренно сускорением aцм , изменение координаты центра масс будет равноx11 + x21 x10 + x20 υ цм−=,222aцм2(3.80)где υ цм = υ – скорость центра масс в момент максимального растяжения пружины.III. Подставляя (3.79) в (3.80), выражаем квадрат скоростицентра масс через координаты шариков:F⎛x +xx + x20 ⎞2(3.81)υ цм= ⎜ 11 21 − 10⎟.m⎝22⎠Решая систему уравнений (3.77), (3.78) и (3.81), получаем искомый коэффициент упругости пружинки:FFk==.(3.82)( x21 − x11 ) − ( x20 − x10 ) lmax − l0Глава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии101Заметим, что, если приложить силу F к заднему по отношению к ее направлению шарику, то в процессе движения тел системы длина пружинки в некоторый момент времени станет минимальной lmin, при этом коэффициент упругости пружинки опредеF.ляется соотношением k =l0 − lminЭту задачу можно решить и в неинерциальной системе отсчета, связанной с центром масс системы «два шарика + пружинка»(см. решение задачи 4.1 в главе 4).Задача 3.6(Закон изменения механической энергии)По гладкой внутренней поверхности полусферической чаширадиусом R из верхней ее точки начинает соскальзывать небольшаяшайба. Чаша движется с постоянной скоростью υ0 так, как показано на рис. 3.8.
Определить скорость шайбы в тот момент, когда онабудет в нижней точке своей траектории.РешениеI. Задачу можно решать либо в лабораторной системе отсчета, либо в системе отсчета, движущейся вместе с чашей.YnNαυ0Rυυотнυ0mgτXРис. 3.8Особенностью решения задачи в лабораторной системе является то, что работа силы нормальной реакции опоры N, действующей на шайбу, не равна нулю. Поэтому представляется интереснымрешить задачу в лабораторной системе отсчета.МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ102Выберем оси системы координат так, как показано нарис. 3.8. Будем использовать закон изменения механической энергии шайбы за время от начала движения до момента времени, когдаона будет в нижней точке своей траектории.II. Запишем закон изменения механической энергии шайбы(см. (3.39)) в следующем виде:E2p + E2k − E1p + E1k = A ,(3.83)() ()mυ 2 mυ02−– изменение потенци22альной и кинетической энергии шайбы за рассматриваемый интервал времени в лабораторной системе отсчета, A – работа внешнихсил.
В данном случае внешней является сила нормальной реакцииN, действующая со стороны чаши на шайбу. Для работы этой силыза малый промежуток времени dt можно записать:δA = N ⋅ υ d t .(3.84)Поскольку сила не меняется при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, то для определения силы N воспользуемся теперь системой отсчета, связанной с чашей. Для этогозапишем уравнение движения шайбы относительно этой системы впроекциях на нормальную n и тангенциальную τ оси (рис.
3.8):где E2p − E1p = −mgR и E2k − E1k =2υотн= N − mg cos α ,(3.85)Rdυm отн = mg sin α ,(3.86)dtгде m – масса шайбы, υотн – модуль скорости шайбы относительночаши, α – угол между осью n и вертикалью.В системе отсчета, связанной с чашей, шайба движется поокружности радиуса R, следовательно, можно записать (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
