В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 16
Текст из файла (страница 16)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ110II. Запишем законы сохранения импульса и механическойэнергии на интервале времени ("до столкновения", "сразу послестолкновения"):p1′ + p2′ − p1 = 0 ,(3.113)p1′2p′ 2p2(3.114)+ 2 − 1 =0.2m1 2m2 2m1Закон сохранения механической энергии (3.114) записан сучетом связи между импульсом материальной точки и ее кинетичеp2ской энергией E k =.2mIII. В результате решения системы уравнений (3.113) и(3.114) с учетом( p1 ⋅ p′2 ) = p1 p′2 cosϑ ,(3.115)находим модули импульсов частиц после соударения:4m1m2(3.116)p1′ = p1 1 −cos 2 ϑ ,(m1 + m2 ) 22m2p1 cos ϑ .(3.117)(m1 + m2 )Для определения направления импульса первой частицы после соударения найдем угол β между ее импульсом и осью X(рис.
3.20). Для этого запишем закон сохранения импульса (3.113) впроекции на ось Y:p1′ sin β − p′2 sin ϑ = 0 .(3.119)Из (3.119) с учетом (3.116) и (3.117) получим:⎛ p′⎞β = arcsin⎜⎜ 2 sin ϑ ⎟⎟ =′⎝ p1⎠p2′ =⎛m2 sin 2ϑ= arcsin⎜⎜ (m + m ) 2 − 4m m cos 2 ϑ121 2⎝⎞⎟.⎟⎠(3.120)Задача 3.10В гладком вертикальном цилиндре под поршнем массой Mпрыгают вертикально, абсолютно упруго ударяясь о дно цилиндраи поршень, N легких маленьких шариков массой m << M каждый.Глава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии111Общая масса шариков равна массе поршня. Во сколько раз изменится расстояние между равновесным положением поршня и дномцилиндра, если массу поршня увеличить в два раза? Считать модули скоростей шариков у дна цилиндра одинаковыми.РешениеI.
Направим ось X декартовой системы координат, жестко связанной с цилиндром,вертикальновниз(см.υ1рис. 3.21). Будем считать в соответствии сусловием, что маленьких шариков настолько много, что дрожанием поршня вυ0результате соударений с шариками можно пренебречь. Поскольку шарики малы,не будем учитывать соударения между Xними.Рис. 3.21II. Запишем закон сохранения механической энергии произвольного шарика на интервале временимежду последовательными его соударениями с дном цилиндра ипоршнем:22mυ 0mυ1= mgH +.(3.121)22где υ0 и υ1 – модули скоростей шарика у дна цилиндра и поверхности поршня соответственно, H – расстояние между дном цилиндраи поршнем.В результате соударения с поршнем проекция импульса шарика на ось X изменяется на величинуΔp = 2mυ1 .(3.122)За время t0 между двумя последовательными ударами произвольного шарика о поршень произойдет N соударений всех шариков с поршнем.
Изменение импульса механической системы, состоящей из N шариков, за время t0 равно импульсу средней на данном интервале времени силы F, действующей на поршень со стороны шариков:ΔpN = Ft0 .(3.123)В соответствии со вторым законом Ньютона запишем условие равновесия поршня:Mg − F = 0 .(3.124)112МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПоскольку в поле сил тяжести Земли движение шариков происходит с постоянным ускорением g, модули скоростей произвольного шарика у дна цилиндра и поверхности поршня связаны соотношением:tυ 0 = υ1 + g 0 .(3.125)2III. Решим систему уравнений (3.121) – (3.125) относительнорасстояния H между дном цилиндра и поршнем:υ 2 (mN + 2M )mNH= 0 ⋅.(3.126)2g (mN + M ) 2При увеличении массы поршня в два раза расстояние H2 между дном цилиндра и поршнем, находящимся в новом равновесномсостоянии, становится равным:υ 2 (mN + 4M )mNH2 = 0 ⋅.(3.127)2 g (mN + 2 M ) 2Следовательно, при увеличении массы поршня расстояниемежду равновесным положением поршня и дном цилиндра изменится в k раз:H(mN + 4M )(mN + M ) 2k= 2 =.(3.128)H(mN + 2M )3Учитывая, что по условию задачи mN = M, окончательно получим:20k=.(3.129)273.4.
Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1Три лодки одинаковой массой m идут в кильватер (друг задругом) с одинаковой скоростью υ . Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью u относительно лодки грузы массой m1. Каковы будут скорости лодок после переброски грузов? Изменением импульса и механическойэнергии воды, а также силами трения пренебречь.m1m1Ответ: υ1 = υ +u , υ 2 = υ , υ3 = υ −u.m + m1m + m1Глава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии113Задача 2На гладкой горизонтальной поверхности лежат два одинаковых шарика массами m0, соединенные невесомой пружинкой жесткостью k и длиной l0 в недеформированном состоянии. В один изшариков попадает летящая горизонтально вдоль оси пружины соскоростью υ пуля массой m и застревает в нем. Найти максимальное и минимальное расстояние между шариками в процессе ихдвижения.m0.Ответ: lmax = l0 + Δl, lmin = l0 – Δl, где Δl = υm(m0 + m)(2m0 + m)kЗадача 3С концов платформы массой М и длиной l, которая можетперемещаться без трения, навстречу друг другу бегут два зайцамассами m и 2m с постоянными относительно платформы скоростями.
Второй заяц (массой 2m) бежит в два раза быстрее первого.На сколько сместится платформа, когда второй заяц добежит до ееконца?3mОтвет: x =l.2(3m + M )Задача 4На нити, прикрепленной к воздушному шару массой M, свободно висящему в воздухе, сидит жук массой m, который начинаетдвигаться с постоянной относительно нити скоростью U вверх. Определить скорости шара и жука относительно Земли.mMU , υж =U.Ответ: υш = −m+Mm+MЗадача 5На неподвижной тележке находятся два человека. В какомслучае тележка приобретет большую скорость: если люди спрыгнут с тележки одновременно или друг за другом в одном направлении?Ответ: тележка приобретет большую скорость, если люди спрыгнут друг за другом.114МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 6Три упругих шара одинакового радиуса с массами m1, m2 и m3находятся на одной прямой.
Двигаясь с некоторой скоростью, первый шар массой m1 испытывает центральное соударение cо вторымпокоящимся шаром массой m2. Чему должна быть равна масса второго шара, чтобы после его соударения с третьим покоящимся шаром скорость последнего была максимальной?Ответ: m2 = m1m3 .Задача 7На горизонтальной поверхности лежит клин массой M с длиной основания a. Второй клин массой m и длиной основания b < aначинает соскальзывать с поверхности нижнего клина из положения, изображенного на рисунке. Наbкакое расстояние и в какую сторонуmпереместится нижний клин к моментукасания верхним клином горизонMaтальной поверхности? Силами тренияпренебречь.m( a − b) .Ответ: влево на Δx =m+MЗадача 8Частица массой m испытала столкновение с покоящейся частицей массой М, в результате которого первая частица отклониласьна угол π/2, а вторая частица стала двигаться в направлении, составляющим угол α = 30° с первоначальным направлением движения налетающей частицы.
Как изменилась кинетическая энергиясистемы этих двух частиц после столкновения, если M/m = 5?ΔE k1 ⎡m⎤ 2=1−+ sin 2 α ⎥ = .Ответ:E0kcos 2 α ⎢⎣ M⎦ 5Задача 9Частица массой m1 испытала абсолютно упругое центральноестолкновение с покоящейся частицей массой m2. Определить относительное изменение кинетической энергии налетающей частицы.Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергииОтвет:115ΔE k4m1m2=.kE0(m1 + m2 )2Задача 10Частица массой m1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей массой m2.
Определить относительноеизменение кинетической энергии налетающей частицы, если в результате столкновения она отскочила под прямым углом к своемупервоначальному направлению движения.ΔE k2m1Ответ:=.km1 + m2E0Задача 11После абсолютно упругого столкновения частицы массой m1с покоящейся частицей массой m2 обе частицы разлетелись симметрично относительно направления первоначального движенияпервой частицы, и угол между их направлениями разлета α = 60°.Найти отношение масс этих частиц.mОтвет: 1 = 2 .m2Задача 12При бомбардировке атомов гелия α-частицами с энергиейEα 0 = 1 МэВ найдено, что налетающая частица отклонилась на уголϕ = 60° по отношению к первоначальному направлению полета.Считая удар абсолютно упругим, определить энергию атома гелияE He и α-частицы E α после соударения.Ответ: EHe = Eα0 sin 2ϕ = 0,75 МэВ , Eα = Eα0 cos 2ϕ = 0,25 МэВ .МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ116ГЛАВА 4ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. СИЛЫ ИНЕРЦИИ4.1. Теоретический материалРассмотрим две системы отсчета S и S', движущиеся произвольно друг относительно друга. Зададим движение системы отсчета S' относительно системы S зависимостями от времени радиус-вектора R(t ) начала системы отсчета S' и угловой скоростивращения ω(t ) системы S' вокруг своего начала отсчета (рис.
4.1).ω(t )S'SR(t )r (t ) Mr ′(t )O'OРис. 4.1. Взаимная ориентация осейкоординатпроизвольнодвижущихся систем отсчетаS и S'.dαdαγdccO'Рис. 4.2. Изменение произвольного вектора c , жесткосвязанного с телом отсчета системы S'.Физически бесконечно малый поворот системы отсчета S' (втом числе и тела отсчета) описывается вектором dα (рис. 4.2). Направление этого вектора совпадает с осью поворота и согласноправилу буравчика задает направление поворота, а его модульdα ≡ ⎪dα⎪ равен углу поворота.Найдем скорость изменения произвольного вектора c , жестко связанного с телом отсчета системы S'.
В соответствии с рис. 4.2модуль изменения вектора c равен:dc = dα ⋅ c ⋅ sin γ ,(4.1)следовательноdc = [dα, c ](4.2)иГлава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах117⎡ dα ⎤c& = ⎢ c ⎥ ≡ [ωc ] ,(4.3)⎣ dt ⎦dαгде ω ≡– угловая скорость вращения.dtЗапишем радиус-вектор r (t ) произвольной материальнойточки M относительно системы S через радиус-вектор R(t ) началасистемы отсчета S' относительно системы S и радиус-вектор r ′(t )материальной точки M относительно системы S′ (рис.
4.1):(4.4)r (t ) = R(t ) + r ′(t ) .Продифференцируем обе части уравнения (4.4) по временипри постоянных ортах системы S. В соответствии с определениемскорости и ускорения материальной точки (см. Главу 1), а такжеугловой скорости вращения системы отсчета, получим:∂ ( x ′i ′ + y ′j ′ + z ′k ′)υ = r& S = R& + r&′ S = V +=S∂tS⎛ ∂i ′∂j ′∂k ′ ⎞⎟== V + x& ′ S' i ′ + y& ′ S' j ′ + z& ′ S' k ′ + ⎜⎜ x ′+ y′+ z′∂t S∂t S ⎟⎠⎝ ∂t S()= V + υ′ + (x′[ωi ′] + y′[ωj ′] + z′[ωk ′]) = V + υ′ + [ωr ′] ,∂[ωr ′]a = υ& S = V& + υ& ′ S +=S∂t S= A + a ′ + [ωυ′] + [ω& r ′] + [ω, υ′ + [ωr ′]] =(4.5)= A + a ′ + 2[ωυ′] + [ω& r ′] + [ω[ωr ′]] .(4.6)Здесь нижние индексы S и S' означают дифференцирование припостоянных ортах систем S и S′ соответственно, V – скорость и A– ускорение начала отсчета системы S′ относительно S.В результате мы получили взаимосвязь (формулы сложения)радиус-векторов r (t ) и r ′(t ) , скоростей υ(t ) и υ′(t ) , а также ускорений a (t ) и a ′(t ) материальной точки относительно двух произвольно движущихся относительно друг друга систем отсчета S и S':r = R + r′ ,(4.7)[ω43υ =V+2r ′] +υ{′= υпер + υ′ ,(4.8)14переноснаяотносительнаяМЕХАНИКА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
