В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(5.5)):ΔtΔt ′ =.(5.24)21 − (V / c )Заметим, что в данном случае сокращается интервал времениΔt , поскольку в системе отсчета S события А и В происходят в одной точке пространства (наблюдается "замедление времени").III. Используя (5.24), определим величину скорости V:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1582⎛ Δt ⎞V = c 1− ⎜(5.25)⎟ .⎝ Δt ′ ⎠В соответствии с (5.23) и (5.25) искомая собственная длинастержня (длина стержня в неподвижной относительно него системеотсчета S') равна2⎛ Δt ⎞l0 = VΔt ′ = cΔt ′ 1 − ⎜ ⎟ .(5.26)⎝ Δt ' ⎠Подставив в (5.26) значения Δt = 20 нс и Δt' = 25 нс, заданныев условии задачи, а также значение скорости света c ≅ 3 ⋅108 м/с ,получим:l0 = 4,5 м.Задача 5.2(Преобразования Лоренца или их следствия)Собственное время жизни некоторой нестабильной частицыΔt0 = 10 нс.
Какой путь пролетит эта частица, двигаясь с постоянной скоростью, до распада в лабораторной системе отсчета, где еевремя жизни Δt = 20 нс?РешениеI. Выберем системы отсчета. Свяжем систему отсчета S' сдвижущейся частицей. Следовательно, система S' движется относительно лабораторной системы S со скоростью движения частицыV. Для решения задачи воспользуемся рис. 5.3 (см.п.
5.1. Теоретический материал). Определим события А и В как события, состоящие в рождении и распаде частицы соответственно.Пусть пространственно-временные координаты этих событий всистеме отсчета S равны ( x1 , t1 ) и ( x 2 , t2 ), а в системе отсчета S' –( x1′ , t1′ ) и ( x 2′ , t2′ ), причем x1′ = x2′ . Собственное время жизни нестабильной частицы Δt0 – время жизни в системе отсчета S', в которойэти два события происходят в одной и той же точке пространства:Δt0 = Δt ′ = t 2′ − t1′(5.27)II. Искомый путь l, который пролетит частица до своего распада в лабораторной системе отсчета S определяется ее скоростьюи временем жизни частицы в этой системе:l = VΔt .(5.28)Глава 5.
Кинематика в теории относительности159Для нахождения скорости частицы (а, следовательно, и скорости движущейся системы отсчета S') воспользуемся следствиемпреобразований Лоренца – "замедлением времени". Поскольку всистеме отсчета S' события А и В происходят в одной точке пространства, то, согласно (5.5), должно наблюдаться сокращение интервала времени в системе S' между рассматриваемыми событиями.Таким образом, собственное время жизни и время жизни в лабораторной системе отсчета связаны следующим соотношением:Δt2(5.29)Δt0 == Δt 1 − (V / c ) .γIII. Используя (5.29), определим скорость системы отсчета S':2⎛ Δt ⎞V = c 1− ⎜ 0 ⎟ .(5.30)⎝ Δt ⎠Подставляя полученное выражение (5.30) для скорости в(5.28), определим искомый путь l, который пролетит частица досвоего распада в лабораторной системе отсчета S:2⎛ Δt ⎞l = cΔt 1 − ⎜ 0 ⎟ .(5.31)⎝ Δt ⎠Подставив в (5.31) численные значения величин Δt0 и Δt ,заданные в условии задачи, получаем:l = 5,2 м.Задача 5.3(Преобразования Лоренца или их следствия)Система отсчета S' движется относительно системы S вдольоси X с постоянной скоростью V = 0,9c.
В каждой системе в точкахс координатами –200 м, –100 м, 0 м, 100 м и 200 м находятся одинаковые синхронизованные часы. За начало отсчета времени в обеих системах отсчета взят такой момент, когда часы, неподвижныеотносительно системы S и имеющие координату x = 0 м, окажутсянапротив часов, неподвижных относительно системы S' и имеющихкоординату x' = 0 м. Определить время, которое в этот момент будут показывать часы, а также их координаты "с точки зрения" наблюдателей, находящихся как в системе S, так и в системе S'. Изобразить расположение часов обеих систем и примерное положениеМЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ160стрелок этих часов в этот момент времени относительно различныхсистем отсчета.РешениеI. Пусть событие Aj (j =1, 2, 3, 4, 5) заключается в том, что вмомент времени t A j = 0 по часам системы S фиксируется показа-ния j-ых часов, расположенных в системе S' в точке с координатойx A′ j (принимающей значения –200 м, –100 м, 0 м, 100 м и 200 м дляразных часов) в системе S'. Событие Bk (k =1, 2, 3, 4, 5) – фиксацияпоказания k-ых часов системы S, имеющих координату x Bk(–200 м, –100 м, 0 м, 100 м и 200 м) в системе S в момент времениt B′ k = 0 по часам системы S'. Обратим внимание на то, что все события Aj происходят в один и тот же момент времени в системе S.И наоборот, все события Bj происходят в один и тот же моментвремени в системе S'.II.
Пространственно-временные координаты событий Aj и Bkв системах S и S' связаны преобразованиями Лоренца (см. (5.3)),полученными с учетом tA j = 0 и tB′ k = 0 :x′A j = γxA j , tA′ j = −VγxA j ;c2(5.32)Vγx′B k .(5.33)c2– показания часов системы S', xA j – координата часовxB k = γx′B k , tB k =Здесь tA′ jсистемы S' в системе S, t B k – показания часов системы S, x′B k – координата часов системы S в системе S'.Систему уравнений (5.32), (5.33) дополним выражением дляЛоренц-фактора:1γ=.(5.34)21 − (V / c )III. Решая полученную систему уравнений (5.32) − (5.34) относительно неизвестных пространственно-временных координат( tA′ j , xA j и tB k , x′B k ) интересующих нас событий A и B и модуляскорости V движения системы отсчета S' относительно S, получим:Глава 5.
Кинематика в теории относительностиxA j =1γ1161x′A j = x′A j 1 − (V / c ) , tA′ j = −2VxA′ ;c2 j(5.35)VxB .(5.36)γc2 kИзобразим на рисунках расположение часов обеих систем иположение стрелок этих часов относительно различных систем отсчета с учетом того, что координаты xA′ j и xB k часов в каждой изxB′ k =xB k = xB k 1 − (V / c ) , tB k =2своих систем отсчета различны.На рис 5.5 расположение часов и положение их стрелок соответствуют случаю, когда наблюдатель находится в системе S, а нарис. 5.6 – когда наблюдатель находится в системе S'.VS′S–200 м–100 м0м+100 м+200 м X+100 м+200 м X′Рис. 5.5S′–200 м–100 м0мSVРис. 5.6Как видим, пространственные интервалы между соседнимичасами в обеих системах отсчета "с точки зрения" наблюдателей,находящихся в другой системе, уменьшается в γ раз (см. (5.35) и(5.36)).
При этом показания часов линейно зависят от их пространственных координат в своих системах отсчета. Если часы располо-МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ162жены относительно начала отсчета своей системы координат в направлении скорости ее движения относительно другой системыотсчета, то они отстают от часов, расположенных в начале отсчета(см. рис. 5.5 и 5.6). И наоборот, часы расположенные относительноначала отсчета своей системы координат в направлении, противоположном скорости ее движения относительно другой системы отсчета, опережают часы, расположенные в начале отсчета (см.рис.
5.5 и 5.6).Оценим максимальное различие в показаниях часов, котороесоответствует часам, расположенным на максимальном расстояниидруг от друга. В соответствии с условием задачи V = 0,9c,xA′ 1 = xB1 = −200 м и x′A 5 = xB5 = 200 м , следовательно:()VVVx′ + 2 xA′ 1 = 2 xA′ 1 − xA′ 5 =2 A5ccc= −1,2 ⋅ 10 −6 c = −1,2 мксtA′ 5 − t A′ 1 = −и()VVVx − 2 xB1 = 2 xB 5 − xB1 =2 B5ccc= 1,2 ⋅10 −6 c = 1,2 мкс .tB 5 − tB1 =(5.37)(5.38)Задача 5.4(Преобразования Лоренца или их следствия)Межзвездный корабль движется от Земли к звезде, находящейся от нее на расстоянии L = 3 световых года, со скоростьюV = 5⋅106 м/с.
Достигнув звезды, корабль возвращается обратно стой же по величине скоростью. На какое время Δt часы на кораблеотстанут от земных часов по возвращении корабля на Землю? Прирешении задачи пренебречь временем, затраченным на разгон иторможение ракеты.РешениеI. Предположим, что система отсчета S, связанная с Землей извездой, является инерциальной. Другую инерциальную системуотсчета S' свяжем с движущимся относительно Земли межзвезднымкораблем. Пусть корабль, а значит и система S', движутся со скоростью V вдоль оси X системы S. Определим, как обычно, интересующие нас события:Глава 5. Кинематика в теории относительности163А – межзвездный корабль начал двигаться со скоростью V кзвезде;В – корабль долетел до звезды;С – межзвездный корабль возвратился обратно на Землю.II. Интервалы времени между событиями А и В и событиямиВ и С в системе отсчета S равныLTAB = TBC = .(5.39)VС точки зрения космонавта, находящегося в корабле, событияА, В и события В, С происходят в одной точке пространства.
Следовательно, для системы отсчета, связанной с кораблем, происходит сокращение интервала времени между событиями А, В и В, С,то есть наблюдается "замедлением времени". Тогда, согласно (5.6),в системе отсчета S':L′ = TBC′ =.(5.40)TABVγВремя Δt, на которое часы на корабле отстанут от земных часов по возвращении корабля на Землю, равно:′ + TBC′ )Δt = (TAB + TBC ) − (TAB(5.41)III. Решая систему уравнений (5.39) – (5.41) относительно Δtполучаем:2LΔt =1− 1− β 2 .(5.42)VV≅ 0.33 ⋅10 − 2 << 1 , тоПоскольку по условию задачиc21V1 − 1 − β 2 ≈ β 2 = 2 и, следовательно, искомое время, на кото22cрое часы на корабле отстанут от земных часов равно2 L V 2 LVΔt ≈⋅=≈ 0,05 года ≈ 18 сут.(5.43)V 2c 2 c 2()Задача 5.5(Преобразования Лоренца или их следствия)Стержень, движущийся со скоростью V = c/2 относительносистемы S, имеет собственную длину l0 = 1 м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
