В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 27
Текст из файла (страница 27)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ188На рис. 6.3 изображена векторная диаграмма скоростей материальных точек тела, лежащих в плоскости движения на однойпрямой, проходящей через мгновенную ось вращения.RiR2R1ωυ1υ2υiРис. 6.3. Векторная диаграмма скоростей материальных точекабсолютно твердого тела при его плоском движенииКак видно на рис. 6.4, в этом случае выполняется соотношение:ω=υ1=υ2=K=υi,(6.13)R1 R2Riгде υi – скорость материальной точки абсолютно твердого тела, аRi – расстояние от этой материальной точки до мгновенной осивращения.Мгновенная ось вращения – ось вращения, относительнокоторой в течение бесконечно малого интервала времени можнопредставить абсолютно твердого тела, как "чистый" поворот, т.е.представить скорость движения произвольной материальной точкитела в виде (6.10).В общем случае положение мгновенной оси вращения изменяется относительно абсолютно твердого тела в выбранной системы отсчета – радиус-вектор R0 , задающий положение мгновеннойоси, является функцией времени (см.
(6.12)).Мгновенная ось вращения всегда перпендикулярна плоскости движения и проходит через неподвижную в данный моментвремени материальную точку абсолютно твердого тела или точкупространства, которая жестко связана с этим абсолютно твердымтелом.Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела189Движение абсолютно твердого тела, закрепленного в точкеЕсли абсолютно твердое тело (тело отсчета системы S') закреплено в точке, покоящейся относительно системы S, то, совместив начала отсчета обеих систем ( R = 0 , V = 0 , A = 0 ), получим:r = R + r' ,(6.14)υ = [ωr' ] ,(6.15)a = [ω& r' ] + [ω[ωr' ]] .(6.16)Из уравнения (6.15) для скорости произвольной материальной точки абсолютно твердого тела, закрепленного в точке, следуеттеорема Эйлера.Теорема Эйлера – абсолютно твердое тело, закрепленное вточке, может быть переведено из одного положения в любое другоеодним поворотом вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления.
Причем это утверждение справедливо как для бесконечно малого, так и для конечного поворота. Однако результатдвух конечных поворотов зависит от их последовательности, в отличие от двух бесконечно малых поворотов.Если система отсчета S1 с общим началом с системой S вращается относительно нее с угловой скоростью Ω и абсолютнотвердое тело, закрепленное в начале отсчета этих систем, вращается с угловой скоростью ω1 относительно системы S1, то в соответствии с (6.5):υ =V(6.17){ + [Ωr '] + υ' = [Ωr '] + [ω1r '] = [Ω + ω1 , r '] = [ωr '] ,=0ω = Ω + ω1 .(6.18)Здесь υ − скорость материальной точки абсолютно твердого телаотносительно системы S, ω − угловая скорость вращения абсолютно твердого тела относительно той же системы.Как видим, угловая скорость ω вращения данного тела, закрепленного в точке относительно первой системы отсчета, будетравна сумме угловых скоростей второй системы отсчета ω1 и телаотносительно этой системы ω2 .Как и в случае плоского движения, движение абсолютнотвердого тела, закрепленного в точке, можно представить как "чистый" поворот вокруг мгновенной оси вращения.МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1906.1.2. Динамика абсолютно твердого телаМомент импульса L материальной точки относительнонекоторой точки пространства – векторное произведение радиусвектора r материальной точки относительно данной точки пространства на ее импульс p в заданной системе отсчета:L = [rp] .(6.19)Момент импульса L механической системы относительно точки – сумма моментов импульсов Li материальных точек,входящих в систему:L = ∑ Li .(6.20)iНайдем связь между моментом импульса механической системы L относительно произвольной неподвижной точки О и моментом импульса этой системы L0 относительно ее центра масс O'в лабораторной системе отсчета (см. рис.
6.4).miriS'rцмSri 'O'OРис. 6.4. Связь между радиус-векторами материальной точки в лабораторной системеотсчета S и системе центра масс S'Радиус-вектор i-ой материальной точки ri относительно точки О равен:(6.21)ri = rцм + ri′ ,где rцм – радиус-вектор центра масс относительно точки О, ri′ –радиус-вектор материальной точки системы относительно ее центра масс.Момент импульса системы материальных точек относительно точки О в соответствии с (6.19) и (6.20) равен:Глава 6.
Кинематика и динамика абсолютно твердого тела191dr ⎤⎡(6.22)L = ∑ ⎢ri , mi i ⎥ .dt ⎦i ⎣Преобразуем (6.22) с учетом (6.21):dr ⎤dr ⎤dr ⎤⎡⎡⎡L = ∑ ⎢rцм + ri′, mi i ⎥ = ∑ ⎢rцм , mi i ⎥ + ∑ ⎢ri′, mi i ⎥ =dt ⎦ i ⎣dt ⎦ i ⎣dt ⎦i ⎣= ∑ [rцм , pi ] + ∑ [ri′, pi ] = [rцм , pцм ] + L0 ≡ Lцм + L0 ,(6.23)iiгде pi – импульс i-ой материальной точки механической системы,pцм ≡ ∑ mi υi = ∑ pii– импульс центра масс этой системы,iL0 ≡ ∑ [ri′, pi ] – момент импульса механической системы относиiтельно центра масс O' и Lцм ≡ [rцм , pцм ] – момент импульса центрамасс механической системы относительно точки O, в лабораторнойсистеме отсчета.Введем поступательно движущуюся систему отсчета S', начало которой O' совпадает с центром масс механической системы иосями, ориентированными параллельно осям лабораторной системы отсчета (см.
рис. 6.4). В соответствии с принципом суперпозиции движений (см. п. 1.1 и формулу (1.26) в Главе 1) можно записать:(6.24)υi = υцм + υi′ ,В соответствии с (6.24) импульс i-ой материальной точки механической системы относительно лабораторной системы отсчетаравен:(6.25)pi = mi υцм + pi′ .Подставляя (6.25) в (6.23), получаем:L = [rцм , pцм ] + ∑ [ri′, pi ] = [rцм , pцм ] + ∑ [ri′, mi υцм ] + ∑ [ri′, p′] =iii⎡⎤= [rцм , pцм ] + ⎢∑ mi ri′, υцм ⎥ + ∑ [ri′, p′] .(6.26)⎣ i⎦ iВ соответствии с определением центра масс (см. Главу 3)∑ mi ri′ = 0 , следовательно, выражение (6.26) для момента импульсаiМЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ192механической системы относительно произвольной неподвижнойточки О принимает вид:L = [rцм , pцм ] + ∑ [ri′, p′] = [rцм , pцм ] + L0′ ,(6.27)iL0′ ≡ ∑ [ri′, p′] –момент импульса механической системы относиiтельно центра масс O' в системе отсчета S'.Таким образом, момент импульса механической системы относительно неподвижной точки в лабораторной системе отсчетаравен сумме момента импульса центра масс этой системы относительно данной точки и момента импульса механической системыотносительно ее центра масс. Заметим, что момент импульса механической системы относительно ее центра масс в лабораторнойсистеме отсчета и в системе центра масс одинаковы (ср.
(6.23) с(6.27)).Сформулированное утверждение справедливо для абсолютнотвердого тела, поскольку оно является механической системой.В случае вращения абсолютно твердого тела относительнонеподвижной точки скорость материальной точки и угловая скорость вращения тела связаны соотношением (6.15), следовательно,момент импульса относительно этой точки может быть представлен в виде:L = ∑ [ri , mi υi ] = ∑ mi [ri , [ωri ]] = ∑ mi ωri2 − ri (ri ω) =(ii()i)⎛⎜ ∑ mi ri2 − xi2− ∑ mi xi yi⎜ ii= ⎜ − ∑ mi yi xim∑ i ri2 − yi2⎜ii⎜−− ∑ mi zi yimzx⎜ ∑ i i iii⎝⎛ J xx J xy J xz ⎞⎛ ω x ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎜ J yx J yy J yz ⎟⎜ ω y ⎟ = Jω .⎟⎜ ⎟⎜⎝ J zx J zy J zz ⎠⎝ ω z ⎠()⎞− ∑ mi xi zi ⎟⎟⎛⎜ ω x ⎞⎟i− ∑ mi yi zi ⎟⎜ ω y ⎟ =⎟⎜ ⎟i22 ⎟⎝ ω z ⎠∑ mi ri − zi ⎟i⎠()(6.28)Глава 6.
Кинематика и динамика абсолютно твердого тела193Здесь ri – радиус-вектор i-ой материальной точки массой mi , υi –⎛ ωx ⎞⎜ ⎟ее скорость, ω = ⎜ ω y ⎟ – угловая скорость вращения тела и⎜ω ⎟⎝ z⎠⎛ J xx J xy J xz ⎞⎜⎟J = ⎜ J yx J yy J yz ⎟ – тензор инерции абсолютно твердого тела⎜⎟⎝ J zx J zy J zz ⎠относительно неподвижной точки.Диагональные элементы тензора J xx , J yy , J zz называются осевыми моментами инерции, а недиагональные J xy = J yx , J xz = J zx ,J yz = J zy – центробежными моментами инерции. Осевые моменты инерции в соответствии с определением являются моментамиинерции тела относительно соответствующих осей координат.Поскольку тензор инерции тела является симметричным тензором, он обладает главными осями инерции, при записи в которых диагонализуется:⎛ Jx 0 0 ⎞⎜⎟J = ⎜ 0 Jy 0 ⎟.(6.29)⎜0 0 J ⎟z⎠⎝В этом случае центробежные моменты инерции равны нулю,а осевые моменты инерции J x , J y и J z называются главнымимоментами инерции тела, при этом:Lα = J α ωα ,(6.30)где Lα и ωα – составляющие момента импульса L и угловой скорости ω вдоль главных осей инерции ( α = x, y, z ).Заметим, что в случае сферической симметрии абсолютнотвердого тела J x = J y = J z ≡ J и согласно (6.28) направления мо-мента импульса тела и его угловой скорости вращения совпадают:L = Jω = Jω .(6.31)Поскольку в системе центра масс S' абсолютно твердое теловращается с угловой скоростью ω , его момент импульса относительно центра масс равен:МЕХАНИКА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
