В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 22
Текст из файла (страница 22)
5.4), то:ll(5.8)l0 == γ l или l = 0 .2γ1 − (V / c )Здесь l0 ≡ Δx′ – собственная длина линейки (длина линейки в неподвижной относительно линейки системе отсчета S', при этом измерение координат концов линейки может происходить в разныемоменты времени); l ≡ Δx – длина линейки в системе отсчета S,относительно которой линейка движется со скоростью V (измерение координат концов линейки должно происходить в один и тотже момент времени).5.1.4. Пространственно-временной интервалПространственно-временной интервал между двумя событиями:S12 ≡(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − c 2 (t2 − t1 )2= Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 − c 2 Δt 2 = r122 − c 2t122 .=(5.9)Здесь r12 = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 ≥ 0 – пространственный интервал(расстояние между точками пространства, в которых произошли152МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧрассматриваемые события) и t12 = Δt ≥ 0 – временной интервалмежду событиями.Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (5.2), легкопоказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета, то есть является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца при переходе от одной инерциальной системы отсчетак другой:′ .S12 = S12(5.11)Заметим, что при этом переходе пространственный r12 и временнойt12 интервалы либо оба уменьшаются, либо оба увеличиваются.Пространственноподобный интервал − вещественный пространственно-временной интервал между двумя событиями, длякоторого S122 > 0 .
В этом случае: r12 > ct12.Свойства пространственноподобного интерваламежду двумя событиями1. Существует такая инерциальная система отсчета, в которой события происходят одновременно, но в разных точках пространства. В этой системе отсчета пространственный интервал r12′между событиями принимает минимальное значение:′ = r12′ ,S12 = r122 − c 2t122 = S12(5.12)r12′ = r122 − c 2t122 .(5.13)2.
Не существует системы отсчета, в которой события происходят в одной точке пространства.3. События, связанные пространственноподобным интервалом, в результате перехода в другую систему отсчета могут происходить во времени в обратной последовательности.4. Эти события не могут быть связаны причинноследственной связью, поскольку для этого потребовалась бы скорость передачи сигнала, превышающая скорость света:rS122 > 0 , r12 > ct 12 , υ = 12 > c .(5.14)t125.
Эти события не могут происходить с одним и тем же телом(достаточно малым, чтобы считать, что события происходят в од-Глава 5. Кинематика в теории относительности153ной и той же точке пространства относительно системы отсчета,связанной с этим телом), поскольку тело не может двигаться соскоростью, превышающей скорость света.Времениподобный интервал − мнимый пространственновременной интервал между двумя событиями, для которого S122 < 0 .В этом случае: r12 < ct12.Свойства времениподобного интерваламежду двумя событиями1. Существует такая инерциальная система отсчета, в которой оба события происходят в одной и той же точке пространства,′но в разное время.
В этой системе отсчета временной интервал t12между событиями принимает минимальное значение:′ = ict12′,S12 = r122 − c 2t122 = S12(5.15)′ )2 ,S122 = r122 − c 2t122 = −c 2 (t12i′ =−t12r122 − c 2t122 .(5.16)c2. Не существует системы отсчета, в которой события проис′ =0.ходят в одно и то же время: t123. События, связанные времениподобным интервалом, в результате перехода в другую систему отсчета не могут происходитьво времени в обратной последовательности.4. Эти два события могут быть связаны причинноследственной связью, поскольку для этого требуется скорость передачи сигнала меньше скорости света:rS122 < 0 , r12 < ct 12 , υ = 12 < c .(5.17)t125. Эти события могут происходить с одним и тем же телом,поскольку тело может двигаться со скоростью, меньшей скоростисвета, то ct12 > r12 и S122 < 0 .Светоподобный интервал − нулевой пространственновременной интервал между двумя событиями S122 = 0 .154МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧСвойства светоподобного интерваламежду двумя событиями1. Если события происходят в одной точке пространства, тоони происходят одновременно (и наоборот) в любой инерциальнойсистеме отсчета:S12 = r122 − c 2t122 = 0 , r12 = 0 ⇔ t 12 = 0 .(5.18)2. Не существует инерциальной системы отсчета, в которойдва события, разделенные пространственным интервалом происходят одновременно или разделенные временным интервалом, происходят в одной точке пространства.3. События, связанные светоподобным интервалом, в результате перехода в другую систему отсчета не могут происходить вовремени в обратной последовательности.Докажем это. Для рассматриваемых событий Δx = ±cΔt , следовательно, в соответствии с преобразованиями Лоренца для интервалов (5.4), можно записать:V⎛ V⎞⎛ V Δx ⎞⎛⎞(5.19)Δt ′ = γ ⎜ Δt − 2 Δx ⎟ = γΔt ⎜1 − 2 ⋅ ⎟ = γΔt ⎜1 m ⎟ .c⎠c⎝⎝ c Δt ⎠⎝⎠Как видим, знак временного интервала Δt ′ совпадает со знакоминтервала Δt при любых возможных скоростях движения системыS' относительно системы S.4.
Эти два события могут быть связаны причинноследственной связью, если используется сигнал, передающийся соскоростью света:rS122 = 0 , r12 = ct 12 , υ = 12 = c .(5.20)t125. Эти события не могут происходить с одним и тем же телом, имеющим массу покоя, поскольку оно не может двигаться соскоростью света.Понятия времениподобный, пространственноподобный исветоподобный интервалы – понятия абсолютные, не зависящие отвыбора инерциальной системы отсчета.5.1.5.
Преобразование (сложение) скоростейВ соответствии с преобразованиями Лоренца (5.2) и определением скорости (см. п. 1.1 в Главе 1)Глава 5. Кинематика в теории относительности155dxd x′⎧⎧⎪υ x = d t , ⎪υ ′x = d t ′ ,⎪⎪dyd y′⎪⎪(5.21), ⎨υ ′y =,⎨υ y =dtd t′⎪⎪dzd z′⎪⎪⎪υ z = d t ; ⎪υ ′z = d t ′ ;⎩⎩получим:⎧⎧⎪⎪υx − Vυ′ + Vυx = x,,⎪υ ′x =⎪VV⎪⎪1 − 2 υx1 + 2 υ ′xcc⎪⎪⎪⎪221 − (V / c ) ⋅υ y1 − (V / c ) ⋅υ ′y⎪⎪′(5.22), ⎨υ y =,⎨υ y =VV⎪⎪1− 2 υx1 + 2 υ ′xcc⎪⎪⎪⎪22⎪υ ′ = 1 − (V / c ) ⋅υ z ; ⎪υ = 1 − (V / c ) ⋅υ ′z .⎪ z⎪ zVV11 + 2 υ ′xυ−⎪⎪2 xcc⎩⎩Относительная скорость – скорость движения одного телаотносительно системы отсчета, связанной с другим телом.
Эта скорость не может быть больше скорости света.Скорость сближения тел – скорость изменения расстояниямежду телами в данной системе отсчета. Эта скорость может бытьбольше скорости света.5.2. Основные типы задач и методы их решения5.2.1. Классификация задач кинематикив теории относительностиБольшинство задач кинематики в теории относительностиможно условно отнести к следующим типам задач или их комбинациям. Задачи на:1) преобразования Лоренца или их следствия ("относительность одновременности", "замедление времени" и "сокращениедлины");2) инвариантность пространственно-временных интервалов;156МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ3) преобразования скоростей.Как правило, один из типов задач имеет основное, другие –подчиненное по отношению к условию задачи значение.5.2.2.
Общая схема решения задач кинематикив теории относительностиI. Определиться с событиями и системами отсчета.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела (если это необходимо).2. Выбрать движущиеся друг относительно друга инерциальные системы отсчета и изобразить на чертеже их системыкоординат (из соображений удобства).3. Изобразить и обозначить скорости тел.4. Выбрать интересующие нас события и записать их пространственно-временные координаты относительно выбранных систем отсчета.II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.1. Записать преобразования Лоренца или их следствия (длязадач типа (1)).2. Записать пространственно-временные интервалы междусобытиями (для задач типа (2)).3. Записать формулы преобразования скоростей (для задачтипа (3)).4.
Использовать условия задачи (например, соотношения между характеристиками системы и пространственновременными координатами событий).III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (рассмотреть характерные случаи).3. Получить численный результат.Глава 5. Кинематика в теории относительности1575.3. Примеры решения задачЗадача 5.1(Преобразования Лоренца или их следствия)Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки,неподвижной в системе отсчета S.
Время пролета в этой системеΔt = 20 нс. В системе же отсчета S', связанной со стержнем, меткадвижется вдоль него в течение Δt' = 25 нс. Найти собственную длину стержня.РешениеI. Пусть стержень, а значит и система S', движутся со скоростью V вдоль оси X системы S. С такой же по величине скоростью,но в обратном направлении, движется метка относительно стержня.Длярешениязадачивоспользуемсярис. 5.4(см.п.
5.1. Теоретический материал). Определим события А и В, какмоменты пролета метки мимо обоих концов стержня. Обозначимпространственно-временные координаты этих событий, как ( x1′ , t1′ )и ( x′2 , t 2′ ) в системе отсчета S' и как ( x1 , t1 ) и ( x2 , t 2 ) в системе отсчета S.
Заметим, что в соответствии с выбором событий x1 = x2 .II. Искомая собственная длина стержня l0 равна пространственному интервалу между событиями А и В в системе отсчета,связанной со стержнем − l0 = x′2 − x1′ . Поскольку метка движетсяотносительно стержня со скоростью V, тоl0 = VΔt ′ ,(5.23)где Δt ′ = t 2′ − t1′ − временной интервал между рассматриваемымисобытиями в системе отсчета S'.Для нахождения V запишем преобразования Лоренца длявременных интервалов Δt ′ и Δt = t 2 − t1 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
