В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Кинематика и динамика абсолютно твердого тела201РешениеI. Выберем лабораторную инерциальную систему отсчета,связанную с горизонтальной поверхностью. Направим оси X и Yдекартовой системы координат так, как показано на рис. 6.5.Плоское движение колеса в течение бесконечно малого интервала времени можно представить, как "чистый" поворот относительно мгновенной оси вращения, перпендикулярной плоскостидвижения и проходящей через точку пересечения прямых, перпендикулярных скоростям движения материальных точек колеса (см.п.
6.1. Теоретический материал). Поскольку при движении колесане происходит его отрыва от горизонтальной поверхности, то скорость нижней точки обода колеса, которая соприкасается с поверхностью, может быть направлена только вдоль поверхности. Следовательно, мгновенная ось вращения проходит через одну из точеквертикального диаметра колеса.
В общем случае мгновенная осьвращения может находиться как выше, так и ниже поверхности, покоторой катится колесо.Пусть yМ – координата мгновенной оси вращения (см.рис. 6.5) в лабораторной системе отсчета. Для удобства решениязадачи введем вторую систему отсчета, движущуюся поступательно вместе с центром колеса со скоростью υ0 относительно лабораторной системы, с осями координат, параллельными осям лабораторной системы координат X и Y.II. При решении задачи воспользуемся формулой (6.2), связывающей скорости материальной точки в лабораторной и движущейся системах отсчета (см. п.
6.1. Теоретический материал). Вдвижущейся со скоростью υ0 системе отсчета модули скоростейточек обода колеса A и B одинаковы и равны ωR . Для модулейэтих скоростей относительно лабораторной системы отсчета можнозаписать (см. рис. 6.5):υ A = υ 0 + ωR ,(6.49)υ B = υ0 2 + ω 2 R 2 .(6.50)Здесь и далее положительным значениям ω соответствует вращение колеса по часовой стрелке.Воспользуемся очевидными геометрическими соотношениями (см. рис. 6.5):МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ202ωR,(6.51)υ0Rtg α =,(6.52)R − yMгде α – угол между скоростью точки B и направлением движенияцентра колеса.III. Преобразуя систему уравнений (6.49) и (6.50) получаемуравнение относительно угловой скорости вращения колеса ω:υυ 2 −υ 2(6.53)ω2 −ω A + A 2 B = 0.tg α =R2RРешая полученное квадратное уравнение, получаем два значения угловой скорости:1υ22ω1, 2 = A ±2υ B − υ A .(6.54)2R 2RПо условию задачи υ B = 5υ A , следовательно:ω1 = 4υAи ω2 = −3υA.(6.55)RRСогласно (6.49) этим значениям угловой скорости вращенияколеса соответствуют два значения скорости центра колеса:υ01 = −3υ A и υ02 = 4υ A .(6.56)Используя (6.51) и (6.52) для координаты мгновенной осивращения получаем следующее выражение:yM = R −υ0.ω(6.57)Подставляя (6.55) и (6.56) в (6.57), получаем два значения координаты мгновенной оси вращения:77yM1 = R и yM2 = R .(6.58)43Итак, задача имеет два решения.1.
Скорость центра колеса направлена в отрицательном направлении оси X, вращение колеса происходит по часовой стрелке,мгновенная ось вращения расположена на вертикальном диаметрениже точки A, но выше центра колеса (см. рис. 6.6):7υυ01 = −3υ A , ω1 = 4 A , yM1 = R .4RГлава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела2032.
Скорость центра колеса направлена в положительном направлении оси X, вращение колеса происходит против часовойстрелки, мгновенная ось вращения расположена выше точки A (см.рис. 6.7):7υυ02 = 4υ A , ω2 = −3 A , yM2 = R .3RAYωυAMυ0OBυ0υBωR0XРис. 6.6MYωυAAOωR υBυ0B0υ0XРис. 6.7Задача 6.2Конус, высота которого h = 4 см и радиус основания r = 3 см,катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания, имеянеподвижную вершину в точке O (рис. 6.8).Определить угловую скорость вращения конуса относительно лабораторной системы отсчета, связанной с поверхностью, есликонус делает один оборот вокруг оси OZ за время T = 3 с.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ204ZOYhXСrA ωРис.
6.8РешениеI. В соответствии с условием задачи выберем лабораторнуюсистему отсчета, жестко связанную с горизонтальной поверхностью. При этом ось Z системы направим перпендикулярно поверхности, а начало отсчета совместим с неподвижной вершиной конуса O (см. рис. 6.8).В соответствии с принципом суперпозиции движений движение каждой материальной точки конуса (за исключением точек,лежащих на оси конуса OC) относительно выбранной лабораторной системы отсчета можно рассматривать как суперпозицию двухдвижений – вращение с угловой скоростью ω1 вокруг оси конусаOC и вращение с угловой скоростью ω2 вокруг оси Z. Точки, лежащие на прямой OA соприкосновения конуса с поверхностью, вданный момент времени покоятся, так как нет проскальзывания.Эта прямая является мгновенной осью вращения, вокруг которойконус вращается с угловой скоростью ω = ω1 + ω2 .II.
Материальная точка C в центреоснования конуса участвует только в од- Zном движении − вращении вокруг оси Z сRCрадиусом R (см. рис. 6.9). При этом ееωfскорость в соответствии с условием за- OAдачи равна:Рис. 6.92πυ C = ω2 R =R.(6.59)TМожно считать, что в течение бесконечно малого интервалавремени точка C вращается вокруг мгновенной оси вращения OA сГлава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела205угловой скоростью ω . Следовательно, скорость материальной точки C в центре основания конуса относительно лабораторной системы отсчета равна:υC = ωf ,(6.60)Как видно на рис.
6.9, для R и f выполняются следующие соотношения:rh,(6.61)=fh2 − f 2R = h2 − f 2 .(6.62)III. Решая систему уравнений (6.59) и (6.60), получаем:R 2πω= ⋅.(6.63)f TИз (6.61) и (6.62) определяем R и f:h2rh, R=.(6.64)f =r 2 + h2r 2 + h2Искомая угловая скорость вращения конуса вокруг мгновенной оси относительно лабораторной системы отсчета равна:h 2π(6.65)ω= ⋅= 2,79 рад/с.r TПроанализируем полученный результат. В частности, убедимся, что выполняется соотношение между угловыми скоростямивращения конуса:ω1 + ω2 = ω .(6.66)Определим модуль угловой скорости ω1 . Для этого воспользуемся тем, что точка A, лежащая на мгновенной оси вращения,участвует в двух движениях, при этом ее скорость относительнолабораторной системы отсчета равна нулю:υ = OA ⋅ ω2 − ω1r = 0 .(6.67)Следовательно, угловая скорость вращения конуса вокругоси OZ в соответствии с (6.67) и рис.
6.9 равнаh2 + r 2.(6.68)rНаправления векторов ω1 , ω2 , и ω показаны на рис. 6.10.ω1 = ω2МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ206ω1Zωω2OYω2Сω1XωРис. 6.10Вектор ω1 направлен вдоль оси конуса OC, ω2 – вдоль оси Zлабораторной системы отсчета, ω – вдоль мгновенной оси вращения. Все три вектора лежат в одной плоскости и составляют прямоугольный треугольник (см. рис.
6.10). Используя соотношения(6.67) и (6.68), убеждаемся, что2⎛ h2 + r 2 ⎞2 h⎟−ω12 − ω2 2 = ω2 2 ⎜⎜1=ω= ω2 .(6.69)222⎟rr⎝⎠Задача 6.3Два соосных колеса с радиусами r1 и r2 (r1 < r2) вращаются водну сторону с постоянными угловыми скоростями ω1 и ω2( ω1 > ω2 ).
Между колесами зажато третье колесо радиусомr3 = (r2 – r1)/2, движущееся без проскальзывания (рис. 6.11). Найтиугловую скорость ω вращения третьего колеса и скорость υ0 егоцентра.РешениеI. Обозначим точки соприкосновения третьего колеса с первым и вторым точками B и A соответственно. Для третьего колеса,зажатого между двумя вращающимися колесами, скорости точек Aи B совпадают со скоростями точек, находящихся на ободах соответствующих колес (см. рис. 6.11).Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого телаr1Or2BAMr3ω1207ω2Рис. 6.11II.
Поскольку первое и второе колеса вращаются с угловымискоростями ω1 и ω2 , скорости движения точек A и B при вращении этих колес равны:υ A = ω2 r2 ,(6.70)υ B = ω1r1 .(6.71)При решении задачи удобно воспользоваться понятием мгновеннойосивращениядлятретьегоколеса(см.п.
6.1. Теоретический материал), относительно которой колесовращается с угловой скоростью ω . В данном случае эта ось перпендикулярна плоскости чертежа и пересекает прямую, проходящую через точки O, B и A. Пусть мгновенная ось вращения лежитмежду точками O и B на расстоянии rx от точки O, тогда:υ A = ω (r1 − rx + 2r3 ) ,(6.72)υ B = ω (r1 − rx ) ,(6.73)при этом для скорости центра третьего колеса можно записать:υ0 = ω (r1 − rx + r3 ) .(6.74)III.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
