В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 37
Текст из файла (страница 37)
С другойГлава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии263стороны, в силу принципа суперпозиции движений, скорость этихточек складывается из скорости вращения вокруг вертикальной осии скорости вращения вокруг собственной оси катка. Следовательноугловые скорости ω и ω1 связаны соотношением:ωR − ω1r = 0 .(7.109)Найдем величину скорости изменения горизонтальной составляющей момента импульса LXY . В соответствии с рис.
7.20.можно записать:dLXY LXY dα(7.110)== LXYω .dtdtВ результате получена полная система уравнений (7.107) –(7.110) для нахождения N.III. Решая систему уравнений (7.107) – (7.110) относительновеличины силы нормальной реакции опорной плиты, получаем:RdLXY(7.111)= J 0 ω 2 = R(N − mg ) ,dtrJN = 0 ω 2 + mg .(7.112)rВ соответствии с третьим законом Ньютона искомая полнаясила давления катка на опорную плиту равна по модулю силе нормальной реакции опорной плиты N, действующей на каток (7.112).Задача 7.9Гироскоп представляет собой однородный диск радиусомR = 5 см и массой m0, закрепленный на невесомом горизонтальном стержне, ориентированномвдоль оси OO' (рис.
7.21). Гироскоп может вращаться вокругосей OO' и CD. Диск гироскопауравновешен на другом конце осиOO' телом с той же массой m0.Гироскоп раскрутили вокруг собственной оси OO' так, что он делает n = 50 об./с. Затем к телумассой m0 подвесили еще одно, m0m0Рис. 7.21264МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧтело массой m = m0 / 10 .
Найти период вращения гироскопа вокругоси CD, если расстояние l от оси CD до точки подвеса тела массойm0 (см. рис. 7.21) равно 10 см.РешениеI. До подвешивания тела массой m гироскоп уравновешен,следовательно сумма моментов силы тяжести, действующей надиск гироскопа, и силы натяжения нити подвеса тела массой m0относительно точки пересечения осей вращения OO' и CD гироскопа равна нулю. В условии равновесия гироскоп не совершает прецессии. После подвешивания тела массой m увеличивается моментсилы натяжения нити подвеса, что приводит к изменению моментаимпульса гироскопа. Поскольку момент импульса гироскопа значительно больше изменения момента силы натяжения нити подвеса, то происходит медленное изменение направления момента импульса гироскопа L – прецессия оси гироскопа.II.
Запишем уравнение прецессии гироскопа (см. (7.23)) относительно точки пересечения его осей вращения OO' и CD (см.рис. 7.18):M = [ΩL] ,(7.113)где M − сумма моментов внешних сил, действующих на гироскоп,Ω − угловая скорость прецессии.Дополним это уравнение выражением (7.18) для момента импульса гироскопа относительно его собственной оси OO':L = J 0ω .(7.114)Здесь момент инерции гироскопа, представляющего собой однородный диск, закрепленный на невесомом стержне, в соответствиис формулой (6.44) в Главе 6 равенm R2J0 = 0 ,(7.115)2а угловая скорость вращения гироскопа ω связана с числом егооборотов n вокруг собственной оси соотношением:ω = 2πn .(7.116)Подвешенные к стержню гироскопа тела массой m0 и m неперемещаются вдоль вертикальной оси CD в процессе движениягироскопа, поэтому в соответствии со вторым законом Ньютонасила натяжения нити подвеса тел F равнаF = (m0 + m )g .(7.117)Глава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии265Сумма моментов силы тяжести, действующей на диск гироскопа массой m0, и силы натяжения нити подвеса тел массой m0 и mотносительно точки пересечения осей вращения OO' и CD гироскопа направлена вдоль оси AB (см. рис. 7.22) и равна по модулюM = −m0 gl + (m0 + m )gl = mgl .(7.118)CΩMOBLO'ADРис.
7.22Вследствие быстрого вращения гироскопа вокруг своей осиего момент импульса будем считать направленным вдоль оси вращения OO' (рис. 7.22). При этом угловая скорость прецессии Ω всоответствии с (7.113) направлена вдоль оси CD (рис. 7.22).Подставляя (7.114) – (7.118) в (7.113) с учетом направлениявекторов M , L и Ω , для модуля угловой скорости прецессии гироскопа Ω получаем:Mmgl=.(7.119)Ω=L πnm0 R 2Искомый период вращения гироскопа вокруг оси CD в соответствии с (7.118) равен:m R22πT== 2π 2 n 0 .(7.120)mglΩПодставляя численные значения физических величин, заданных в условии задачи, получимT = 12,5 c .266МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ7.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1Диск, вращающийся с угловой скоростью ω1 вокруг вертикальной оси, проходящий через его центр масс, падает на другойдиск, вращающийся на гладкой горизонтальной поверхности с угловой скоростью ω2 вокруг той же оси (см.
рис.). Моменты инерции дисков относительно оси вращеω1ния равны J1 и J2. После паденияJ1верхнего диска на нижний оба диска,благодаря трению между ними, черезω2некоторое время стали вращаться какJ2единое целое. Найти работу A, которую совершили при этом силы трения,действующие между дисками.1 JJОтвет: A = ⋅ 1 2 (ω1 − ω2 ) 2 .2 J1 + J 2Задача 2По внутренней поверхности конической воронки, стоящей вертикально, без трения скользит маленький шарик (см. рис.). Вначальный момент времени шарик находитсяна высоте h0 и имеет скорость υ0, направлен- hυ0ную горизонтально.
На какую максимальнуюh0высоту h поднимется шарик в процессе движения? Чему равна его скорость υ на этойвысоте?8 gh ⎞υ2 ⎛Ответ: h = 0 ⎜1 + 1 + 2 0 ⎟ ; скорость шарика направлена гори4 g ⎜⎝υ0 ⎟⎠8 ghυзонтально и ее модуль равен: υ = 0 1 + 2 0 .2υ0Задача 3Тонкая палочка длиной l и массой m лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Пуля массой m0 = m / 8 , летевшая перпен-Глава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии267дикулярно палочке и параллельно поверхности со скоростью υ0,попадает в палочку на расстоянии l0 = l / 4 от ее конца и застреваетв ней. Найти угловую скорость вращения системы тел после соударения.4 υОтвет: ω = ⋅ 0 .13 lЗадача 4На гладком горизонтальном стержне, вращающемся вокругвертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω, на расстоянии l0 от оси находится муфта массой m (см. рис.).
В некоторыймомент времени муфте сообщают скорость υ0 = l0ω вдоль стержня, направl0ленную от оси вращения. Какой мо- ωυ0мент сил M должен быть приложен кстержню для того, чтобы он продолжалmравномерное вращение? Как меняетсярасстояние муфты от оси вращения взависимости от времени?2Ответ: M (t ) = 2ml0 ω 2e 2ωt , l (t ) = l0 eωt .Задача 5Корабль движется со скоростью υ = 40 км/час по дуге окружности радиуса R = 300 м. Найти момент гироскопических силMГ, действующих на подшипники двигателя корабля со стороныротора, который имеет момент инерции относительно оси вращения J0 = 3,6⋅103 кг⋅м2 и делает n = 150 об./мин.
Ось вращения расположена вдоль корабля.Ответ: M Г = 2πnJ 0υR= 2,1⋅103 Н ⋅ м .Задача 6Гироскоп массой m = 0,5 кг вращается с угловой скоростьюω = 200 рад/с. Момент инерции гироскопа J = 5 10-4 кг м2. Угловаяскорость прецессии в поле сил тяжести Земли Ω = 0,5 рад/с. Уголмежду вертикалью и осью гироскопа α = 30 0 . Определить расстоя-268МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧние l от точки опоры до центра масс и угловое ускорение гироскопа.ΩJωОтвет: l == 0,5 см, β = ωΩ sin α = 50 рад/с2.mgЗадача 7Горизонтальный желоб состоит издвух взаимно перпендикулярных досок.Сплошной однородный цилиндр раскрутили до угловой скорости ω и поместилив желоб так, как показано на рисунке.Коэффициент трения между стенкамижелоба и цилиндром равен μ. Найтивремя вращения цилиндра в желобе.2 RωОтвет: T =⋅.4 gμωRmgЗадача 8Волчок массой m, опирающийся о горизонтальную поверхность, вращается с угловой скоростью ω воωкруг своей геометрической оси (см.
рис.).Момент инерции волчка относительно указанной оси равен J, расстояние от точки опоры до центра масс волчка – l. Найти угловуюскорость прецессии волчка под действиемсилы тяжести.mglОтвет: Ω =.JωЗадача 9В точке A подвешены шарик на нитидлиной l и однородный стержень длиной L.Стержень отклоняют в сторону на некоторыйугол и отпускают без начальной скорости. Вположении равновесия стержень упруго соударяется с шариком. При каком соотношении между массами стержня M и шарика mAM, LlmГлава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии269стержень после удара остановится?Ml2=3 2 .Ответ:mLЗадача 10Частица массой m движется по эллиптической траекториипод действием центральной упругой силы F = −kr . Минимальнаяскорость частицы достигается при значении ее радиус-вектораr = r0 относительно силового центра, совпадающего с одним изфокусов эллипса. Найти модуль максимальной скорости частицыυ max .Ответ:υ max =kr0 .mЗадача 11Две одинаковые шайбы скользят навстречу друг другу погладкой горизонтальной поверхности со скоростями υ1 и υ 2 , вра-щаясь с угловыми скоростями ω1 и ω 2 (см. рис.).
В некоторый момент времени происходит их центральное абсолютно неупругоесоударение, в результате которого шайбы начинают скользить поповерхности и вращаться вместе. Считая известными массу m ирадиус R каждой из шайб, найти изменение кинетической энергиишайб ΔE k и угловую скорость их вращения ω после соударения.ω1[υ1 υ 2ω2]m6(υ1 + υ 2 ) 2 + 6 R 2 (ω12 + ω22 ) − R 2 (ω1 + ω2 ) 2 ,24ω1 + ω2.ω=6Ответ: ΔE k = −МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ270ГЛАВА 8СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМС ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
