В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач (1114478), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Определить это расстояние в трех случаях:Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии2431) сразу после соударения шайбаYостанавливается,A2) шайба передает стержню максимальный импульс,3) скорость конца стержня (точкаA на рис. 7.6) после соударения равнаOXнулю.υРешениеBI. Задачу решаем относительно лабораторной инерциальной системы отсчета. Поскольку соударение шайбы соРис. 7.6стержнем является абсолютно упругим, ана систему тел «стержень + шайба» не действуют внешние силывдоль горизонтальной поверхности, то выполняются все три законасохранения: закон сохранения импульса, закон сохранения моментаимпульса и закон сохранения механической энергии.
Выберем систему координат так, как показано на рис. 7.6. Ось, относительнокоторой будем рассматривать вращение, удобно взять проходящейчерез центр стержня перпендикулярно горизонтальной поверхности и направленной из плоскости чертежа.II. Запишем три закона сохранения для выбранной системытел для интервала времени до соударения – сразу после соударения.Закон сохранения проекции импульса на ось X выбраннойсистемы координат:mυ = mυ ′ + Mυ ′′ .(7.34)Закон сохранения момента импульса относительно выбранной оси:mυl = mυ ′l + J 0ω .(7.35)Закон сохранения механической энергии:mυ 2 mυ ′2 Mυ ′′2 J 0ω 2=++.(7.36)2222Здесь υ ′ , υ ′′ – проекции скоростей шайбы и центра стержня на осьX сразу после соударения (проекции скоростей на ось Y в этот момент времени равны нулю), ω – угловая скорость вращения стержня в тот же момент времени.МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ244Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс, равен (6.43):1(7.37)J 0 = ML 2 .12В соответствии с принципом суперпозиции движений (см.(1.26) в Главе 1) скорость υ A точки А стержня складывается изскорости центра масс и скорости вращательного движения этойточки вокруг оси, проходящей через центр масс:Lυ A = υ ′′ − ω .(7.38)2III. Решение системы уравнений (7.34) – (7.38) относительноискомых величин имеет вид:(m − M ) J 0 + Mml 2υ′ = υ,(7.39)(m + M ) J 0 + Mml 2m2 MJ 0υ ′′ = υ ⋅,(7.40)M (m + M ) J 0 + Mml 2ml2 MJ 0ω =υ ⋅,(7.41)J 0 (m + M ) J 0 + Mml 2⎛ 12mMJ 0lL ⎞⎜ −⎟.(7.42)2 ⎜(m + M ) J 0 + Mml ⎝ M 2 J 0 ⎟⎠Расстояние l от точки соударения до начала координат, прикотором шайба остановится после удара, найдем из (7.39) приυ ′ = 0 с учетом (7.37):M −m.(7.43)l=L12mКак следует из (7.40), максимальное значение скорости центра стержня достигается при l = 0.
При этом условии шайба передаст стержню максимальный импульс.Значение l, при котором скорость точки A сразу после ударабудет равна нулю, находим из (7.42) с учетом (7.37):1l = L.(7.44)6После попадания шайбы в точку с такими координатамистержень сразу после удара будет совершать только вращательноеυA =Глава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии245движение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей черезточку A.Ответ:M −m1) шайба остановится сразу после удара, если l = L;12m2) шайба передаст стержню максимальный импульс, если онапопадет в центр масс стержня (l = 0);3) скорость точки A сразу после удара будет равна нулю при1условии l = L .6Задача 7.3Два одинаковых однородных вращающихся тела сферической формы массой m и радиусом r движутся навстречу друг другус одинаковыми по модулю скоростями υ 0 .
Угловые скорости вращения тел, ω1 и ω2 , составляют угол α и равны по модулюω1 = ω2 = ω0 . В результате лобового абсолютно неупругого соударения образуется одно тело той же плотности, форму которогоможно также считать сферической. Определить угловую скоростьω вращения образовавшегося тела и изменение кинетическойэнергии системы ΔE k .РешениеI. Система двух тел в данной задаче предполагается изолированной. Следовательно, суммарный импульс системы и суммарныймомент импульса в лабораторной инерциальной системе отсчетасохраняются. Направим ось X лабораторной системы отсчета вдольлинии, соединяющей центры масс двух тел до соударения.II. Запишем закон сохранения проекции импульса рассматриваемой системы тел на ось X для интервала времени, включающегомомент их соударения:mυ0 − mυ0 = 2mυ ,(7.45)где υ – проекция на ось X скорости поступательного движенияобразовавшегося после соударения тела массой 2m.
Как видим,υ = 0 , следовательно, движение образовавшегося тела являетсячисто вращательным.246МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗапишем закон сохранения момента импульса рассматриваемой системы тел относительно их общего центра масс на интервалевремени, включающем момент их соударения:L1 + L2 = L ,(7.46)где L1 и L2 – моменты импульса первого и второго тел до соударения, L – момент импульса образовавшегося тела после соударения.
Поскольку скорости тел до соударения направлены вдоль линии, на которой находится центр масс системы, то в соответствии сформулой (6.27) Главы 6 момент импульса каждого из рассматриваемых тел относительно центра масс системы тел равен моментуимпульса тела относительно его центра масс.Моменты импульса каждого из сферически симметричныхтел относительно их собственных центров масс в соответствии сформулой (6.32) Главы 6 равны:L1 = J 0 ω1 ,(7.47)L2 = J 0ω2 ,(7.48)L = Jω ,(7.49)где J 0 и J – моменты инерции каждого из соударяющихся тел иобразовавшегося тела относительно их собственных осей вращения. В соответствии с (6.45):2J 0 = mr 2 ,(7.50)52J = ( 2m ) R 2 .(7.51)5Радиус R образовавшегося тела находим из условия сохранения плотности (а, следовательно, и объема):442 πr 3 = πR 3 .(7.52)33Согласно условию задачи модули угловых скоростей вращения тел до их соударения равны:ω1 = ω2 = ω0 .(7.53)Изменение кинетической энергии рассматриваемой системытел ΔE k в результате их абсолютно неупругого соударения в соответствии с (7.6) равно:Глава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии247⎛ mυ0 2 J 0ω0 2 ⎞Jω 2⎟.− 2⎜⎜+(7.54)22 ⎟⎠⎝ 2III. Решая систему уравнений (7.46) – (7.53), получаем модуль угловой скорости вращения образовавшегося в результате соударения тела:3αα2Jω = 2ω0 0 cos = ω0cos .(7.55)222JПоскольку в соответствии с (7.46) – (7.49)Jω = 0 (ω1 + ω2 ) ,(7.56)Jа модули угловых скоростей вращения тел до их соударения равны(7.53), то угловая скорость вращения образовавшегося тела ω направлена по биссектрисе угла α, образованного векторами угловыхскоростей ω1 и ω2 .Искомое изменение кинетической энергии рассматриваемойсистемы тел в результате соударения получим, подставляя (7.55) в(7.54) с учетом (7.50) – (7.52):⎞⎛J2ΔE k = J 0ω02 ⎜ 0 (1 + cos α ) − 1⎟ − mυ0 =⎠⎝ JΔE k ==⎞2 2 2⎛ 3 2(1 + cos α ) − 1⎟⎟ − mυ 0 2 .mr ω0 ⎜⎜5⎠⎝ 4(7.57)Задача 7.4Две одинаковые гантели массой m в виде шариков, соединенных стержнем, скользят по гладкойDгоризонтальной поверхности навстречуυ2друг другу со скоростями υ1 и υ2 так, какCизображено на рис.
7.7. Момент инерцииAкаждой гантели относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикуυ1лярно плоскости чертежа, равен J, а расBстояние между центрами шариков гантели – l. Как будут двигаться гантели послеРис. 7.7абсолютно упругого соударения?МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ248РешениеI.
Задачу решаем в двух системах отсчета: лабораторной системе, ось X декартовой системы координат которой направим так,как показано на рис. 7.8, и системе отсчета, связанной с центроммасс системы тел, с осью X', изображенной на рис. 7.9.По условию задачи гантели движутся по гладкой горизонтальной поверхности, следовательно, центр масс системы тел, состоящей из двух гантелей, движется с постоянной скоростью, исистема отсчета, связанная с центром масс, является инерциальной.υ2DDuCAυ1BCXAX'uBРис.
7.8Рис. 7.9Поскольку рассматриваемая система тел замкнута, а соударение абсолютно упругое, то выполняются законы сохранения механической энергии, импульса и момента импульса для этой системы в любой из выбранных систем отсчета.II. По условию задачи в лабораторной системе отсчета гантели движутся поступательно со скоростями υ1 и υ2, следовательно,проекция скорости центра масс на ось X лабораторной системыотсчета (см. Главу 3) равнаυ −υυцм = 1 2 ,(7.58)2а проекции скоростей центров масс гантелей u1 и u2 на ось X' относительно системы центра масс обеих гантелей определяются выражениями:υ +υu1 = υ1 − υцм = 1 2 = u ,(7.59)2υ +υu2 = −υ 2 − υцм = − 1 2 = −u .(7.60)2Глава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии249Запишем закон сохранения проекции импульса на ось X' длясистемы двух гантелей на интервале времени, включающем моментих соударения, в выбранной системе центра масс:mu1 + mu2 = mu1′ + mu ′2 ,(7.61)где u1′ и u2′ – скорости центров масс ганDтелей после соударения.ω2u2′В общем случае после соударенияCдвижение каждой гантели будет суперпозицией поступательного движения ее ценAX'u1′тра масс и вращательного движения во- ω1круг оси, проходящей через ее центр массBперпендикулярно поверхности, по котоРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
