В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Òàêàÿ ñåòêà áóäåò, êàê ïðàâèëî, íåðàâíîìåðíîé è ìîæåò áûòü êóñî÷íî-ðàâíîìåðíîé. Óêàçàííûé âûáîð ñåòêèïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü òî÷íîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íå íèæå, ÷åì â ãëàäêîì ñëó÷àå.19.8 Óðàâíåíèå êîíâåêöèè-äèôôóçèèÄîáàâèì ê óðàâíåíèþ åùå (19.38) îäèí ÷ëåí ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ èñêîìîãî ðåøåíèÿ, óìíîæåííóþ íà íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò−(pu0 )0 − r(x)u0 + q(x)u = f.(19.69)Êàê àïïðîêñèìèðîâàòü ïåðâûé è ïîñëåäíèé ÷ëåíû ëåâîé ÷àñòè (19.69), ìû çíàåì.Îñòàëîñü ïîñòðîèòü àïïðîêñèìàöèþ âòîðîãî ÷ëåíà.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ íàèëó÷øåãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ñëåäóåò ïîëîæèòüui+1 − ui−1=: ux◦ .2hu0i ≈Òîãäà àïïðîêñèìàöèÿ óðàâíåíèÿ (19.69) ïðèìåò âèä¡¢− pi−1/2 uhx̄ x,i − ri uh◦ + qi uhi = fi , i = 1, . . . , N − 1.x,i(19.70)(19.71)Òåîðåìà 19.9. Åñëè u ∈ C 4 [0, 1], òî ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû(19.71) Ψ = O(h2 ).Äîïîëíèì óðàâíåíèå (19.69) ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïóñòü, íàïðèìåð,u(0) = g0 ,u(1) = g1 .(19.72)Òîãäà ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ (19.71) íóæíî äîïîëíèòü ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèuh0 = g0 ,uhN = g1 .(19.73)Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 19.10.
Åñëè êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (19.69) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì(19.23), (19.47), à ñåòêà òàêîâà, ÷òîmaxi|r(xi )|h6 1,2c0(19.74)19.8. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÊÎÍÂÅÊÖÈÈ-ÄÈÔÔÓÇÈÈ219òî çàäà÷à (19.71), (19.73) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, è äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêà|fi |max |uhi | 6 |g0 | + |g1 | + max.(19.75)iic1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèìuhx◦uhi+1 − uhi−1uhi+1 − uhi + uhi − uhi−111=== ux + ux̄ .2h2h22Ïîäñòàâèì ýòî ïðåäñòàâëåíèå â (19.71)−¢ ri ¡ h¢1¡pi+1/2 uhx,i − pi−1/2 uhx̄,i −ux,i + uhx̄,i + qi uhi = fi .h2Îòñþäà−³pi+1/2h³pri ´ uhi+1 − uhiri ´ uhi − uhi−1i−1/2++−+ qi uhi = fi .2hh2hÏðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (19.74) âûðàæåíèÿ â ñêîáêàõ íåîòðèöàòåëüíûå.
Ýòîãî çàìå÷àíèÿ äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû, èñïîëüçóÿòå æå ñàìûå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì 19.7 è 19.1.Óïðàæíåíèå 19.9. Çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 19.10.Óïðàæíåíèå 19.10. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó î ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîéçàäà÷è (19.71), (19.73).220 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌ 20Ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûå óðàâíåíèÿ.Íåãëàäêèå ðåøåíèÿ20.1 Îñöèëëÿöèè ðåøåíèÿ è ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûå óðàâíåíèÿÏðè èññëåäîâàíèè ðàçðåøèìîñòè è ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (19.71) äëÿ óðàâíåíèÿ êîíâåêöèè-äèôôóçèè (19.69) ìû ââåëè îãðàíè÷åíèå (19.74) íà øàã ñåòêè. Ýòîîãðàíè÷åíèå â ðÿäå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ èçëèøíå îáðåìåíèòåëüíûì, è òîãäà îò àïïðîêñèìàöèè (19.70) ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïðèõîäèòñÿ îòêàçûâàòüñÿ.
Îáñóäèì ýòîòâîïðîñ íà ïðèìåðå ïðîñòåéøåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèd2 udu+r= 0,r = const.(20.1)2dxdxÍàðÿäó ñ àïïðîêñèìàöèåé (19.70) ïðîèçâîäíîé u0 ðàññìîòðèì òàêæå åå àïïðîêñèìàöèèîäíîñòîðîííèìè ðàçíîñòíûìè îòíîøåíèÿìè ux è ux̄ . Ðàçóìååòñÿ, ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè â ýòèõ ñëó÷àÿõ áóäåò õóæå. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîâðåìåííîâñå òðè èç óêàçàííûõ àïïðîêñèìàöèé u0 . Äëÿ ýòîãî â ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ââåäåìïàðàìåòð σ£¤uhx̄x + r σuhx + (1 − σ)uhx̄ = 0.(20.2)Ïðè σ = 1/2 èìååì ux◦ = (ux + ux̄ )/2, ïðè σ = 1 ux , à ïðè σ = 0 ux̄ .
Ïåðåïèøåì(20.2) â ïîòî÷å÷íîì âèäåµµµ¶¶¶σr2(2σ − 1)r1(σ − 1)r1hh+++ui+1 −ui +uhi−1 = 0.222hhhhhhÝòî åñòü ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âè䵶µ¶µ¶1212+ σr q −+ (2σ − 1)r q ++ (σ − 1)r = 0.(20.3)hhh221222 20. ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÏîñêîëüêó ñóììà êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (20.3) ðàâíà íóëþ, òî ñðåäè åãî êîðíåéåñòü êîðåíü q1 = 1.
Âòîðîé êîðåíüq2 = q =1 + (σ − 1)rh.1 + σrh(20.4)Ïðîâåäåì êà÷åñòâåííîå ñðàâíåíèå ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (20.1) èðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (20.2). Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî(20.5)r>0è ïîñòàâèì çàäà÷ó äëÿ (20.1) íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè Oxu(0) = 1,u(∞) = 0.(20.6)Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (20.1), (20.5), (20.6) èìååò âèäu(x) = e−rx .(20.7)Ôóíêöèÿ (20.7) ïîëîæèòåëüíà è ìîíîòîííî óáûâàåò ïðè x → ∞.Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (20.2), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿìuh0 = 1,lim uhi = 0.i→∞(20.8)Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20.2) â ñèëó âûøåñêàçàííîãî åñòüuhi = c1 + c2 q i .(20.9)Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî ðåøåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè áûëî õîòÿ áû îãðàíè÷åííûì, íóæíîïîòðåáîâàòü, ÷òîáû (ñì.
(20.4))|q| 6 1,ò.å.−161 + (σ − 1)rh6 1.1 + σrh(20.10)Ïóñòü σ > 0. Òîãäà çíàìåíàòåëü â (20.10) ïîëîæèòåëåí, ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâàèìååò ìåñòî âñåãäà, è ïîýòîìó îñòàåòñÿ òîëüêî îãðàíè÷åíèå−1 − σrh 6 1 + (σ − 1)rh,ò.å.2 + (2σ − 1)rh > 0.Åñëè σ = 1 èëè σ = 1/2, òî ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî ñî çíàêîì ñòðîãîãî íåðàâåíñòâà, èðåøåíèå çàäà÷è (20.2), (20.8) ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ èìååò âèäuhi = q i ,i ∈ N.(20.11)20.1. ÎÑÖÈËËßÖÈÈ ÐÅØÅÍÈß223Íàëîæèì áîëåå ñèëüíîå óñëîâèå íà ñåòî÷íîå ðåøåíèå. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû îíî áûëîìîíîòîííûì êàê è ðåøåíèå (20.7) äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è. Ðåøåíèå (20.11) áóäåòìîíîòîííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà q > 0, ò.å åñëè(20.12)1 + (σ − 1)rh > 0.Ïðè σ = 1 ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, à ïðè σ = 1/2 òðåáóåòñÿ, ÷òîáû(20.13)rh 6 2(ñðàâíèòü ñ (19.74)).Èòàê, åñëè σ = 1, ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (20.2) åñòü O(h), íîðåøåíèå (20.11) çàäà÷è (20.2), (20.8) ìîíîòîííî ïðè ëþáûõ h.
Åñëè σ = 1/2, òîïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè åñòü O(h2 ), íî ðåøåíèå (20.11) ìîíîòîííî òîëüêî ïðèâûïîëíåíèè óñëîâèÿ (20.13).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðåøåíèå (20.11) áóäåò êîëåáàòüñÿ(ñì. ðèñ. 1), ìåíÿÿ çíàê ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî óçëà ê äðóãîìó.6-12345 iÐèñ. 1Èìåííî ýòè îñöèëëÿöèè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû (20.2) ïðè σ = 1/2 è íå ëþáÿòïðèêëàäíèêè.Çàìå÷àíèå 20.1. Ïðîâåäåííûé àíàëèç ïîêàçàë ïðèíöèïèàëüíîå ðàçëè÷èå ìåæäóñõåìàìè (20.2) ïðè σ = 1 è ïðè σ = 0, õîòÿ îáå ýòè ñõåìû èìåþò ïîãðåøíîñòü O(h) èâ ýòîì ñìûñëå áëèçêè. Ïðè÷èíà ðàçëè÷èÿ ñîñòîèò â çíàêå êîýôôèöèåíòà r. Åñëè áûîí áûë îòðèöàòåëüíûì, òî ñõåìû ñ σ = 1 è σ = 0 ïîìåíÿëèñü áû ðîëÿìè.224 20.
ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÊàçàëîñü áû, îãðàíè÷åíèå (20.13) íå ÿâëÿåòñÿ ñëèøêîì îáðåìåíèòåëüíûì, ÷òîáûâñåãäà òðåáîâàòü åãî âûïîëíåíèÿ. Äëÿ îáû÷íûõ çàäà÷ ýòî òàê. Íî åñòü âàæíûé êëàññòàê íàçûâàåìûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ óðàâíåíèé, êîãäà îãðàíè÷åíèå (20.13) îêàçûâàåòñÿ âåñüìà îáðåìåíèòåëüíûì. Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåεu00 + u0 = 0.(20.14)Çäåñü ε ∈ (0, 1] ìàëûé ïàðàìåòð.
Ïðè ε → 0 äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãîïîðÿäêà (20.14) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, äëÿ êîòîðîãî îäíî èç äâóõãðàíè÷íûõ óñëîâèé, âûäåëÿþùèõ åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20.14), ñòàíîâèòñÿ ëèøíèì. Ýòî è ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé íåïðîñòîãî ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåéçàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (20.14) ïðè ìàëûõ ε.
Åñëè äëÿ óðàâíåíèÿ (20.14) ïîñòàâèòüãðàíè÷íûå óñëîâèÿu(0) = 0,u(1) = 1,(20.15)òî ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è áóäåò ôóíêöèÿu(x) =1 − e−x/εe−x/ε − e−1/ε=1−,1 − e−1/ε1 − e−1/ε(20.16)ÿâëÿþùàÿñÿ ñóììîé ãëàäêîé, ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ ôóíêöèè u0 (x) := 1 è áûñòðîìåíÿþùåéñÿ ôóíêöèè u1 (x) := (e−x/ε − e−1/ε )/(1 − e−1/ε ).Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ (20.1) è (20.14) ïåðåõîäÿò îäíî â äðóãîå ïðè r = 1/ε, òîóñëîâèå (20.13) ïðèìåíèòåëüíî ê ðàçíîñòíîé ñõåìå (20.2) äëÿ óðàâíåíèÿ (20.14) ïðèìåòâèäh 6 2ε.(20.17)Íî â (20.14) ïàðàìåòð ε ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ 10−2 , 10−4 èëè äàæå 10−8 , èîãðàíè÷åíèå (20.17) ñòàíîâèòñÿ ñëèøêîì îáðåìåíèòåëüíûì.
 ýòîé ñèòóàöèè ñëåäóåòëèáî îãðàíè÷èòüñÿ ñõåìîé ñ σ = 1, êîòîðàÿ íå íàêëàäûâàåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèéíà øàã ñåòêè ñ òî÷êè çðåíèÿ îñöèëèðîâàíèÿ ðåøåíèÿ, è äîâîëüñòâîâàòüñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè O(h), ëèáî ïûòàòüñÿ ñòðîèòü äðóãèå ñõåìû, êîòîðûå èìåþòïîãðåøíîñòü O(h2 ) è íå òðåáóþò îãðàíè÷åíèÿ òèïà (20.17).20.2 ×åòûðåõòî÷å÷íàÿ ñõåìàÏîñòðîèì äðóãóþ àïïðîêñèìàöèþ óðàâíåíèÿ (20.1). Áóäåì àïïðîêñèìèðîâàòü â (20.1)âòîðîå ñëàãàåìîå ïðè ïîìîùè ñîîòíîøåíèÿu0 (xi ) ≈−ui+2 + 4ui+1 − 3ui,2hïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè êîòîðîãî åñòü O(h2 ). Èñïîëüçóÿ ýòó àïïðîêñèìàöèþ, âìåñòî (20.2) áóäåì èìåòü−uhi+2 + 4uhi+1 − 3uhiuhi+1 − 2uhi + uhi−1+r= 0.h22h(20.18)20.2.
×ÅÒÛÐÅÕÒÎ×Å×ÍÀß ÑÕÅÌÀ225Íàïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìèq 2 − 2q + 1−q 3 + 4q 2 − 3q+r= 0.h22hÎáîçíà÷èì rh/2 = ξ è ïåðåïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå â âèäå−ξq 3 + (1 + 4ξ)q 2 − (2 + 3ξ)q + 1 = 0.Ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâíà íóëþ, è ñëåäîâàòåëüíî, q = 1 åñòüêîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïîñëå äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà èç ëåâîé ÷àñòè íà (q − 1) ïîëó÷èìóðàâíåíèå−ξq 2 + (1 + 3ξ)q − 1 = 0,êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ÷èñëàp1 + 6ξ + 9ξ 2 − 4ξq2,3 =.2ξÎ÷åâèäíî, ÷òî îáà ýòè êîðíÿ ïîëîæèòåëüíû ïðè ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ξ . Ïîñêîëüêóîáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20.18) èìååò âèä1 + 3ξ ±uhi = c1 + c2 q2i + c3 q3i ,òî îñöèëëÿöèè ýòîãî ðåøåíèÿ áóäóò îòñóòñòâîâàòü íà ëþáîé ñåòêå, ò.å. ïðè ëþáûõ h.Àïïðîêñèìèðóþùèì ýêñïîíåíòó e−rh áóäåò êîðåíüip1 hq2 =1 + 3ξ − 1 + 2ξ + 9ξ 2 =2ξ½·¸¾2ξ + 9ξ 2 (2ξ + 9ξ 2 )28 3141 + 3ξ − 1 +−+ ξ + O(ξ )==2ξ2816r 2 h2= 1 − 2ξ + 2ξ 2 + O(ξ 3 ) = 1 − rh ++ O(h3 ) = e−rh + O(h3 )2Çàìå÷àíèå 20.2.
Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (20.18) íåëüçÿ íàïèñàòü äëÿ i = N − 1, òî âýòîì óçëå äîëæíà áûòü íàïèñàíà äðóãàÿ àïïðîêñèìàöèÿ óðàâíåíèÿ (20.1), íàïðèìåð,(20.2) ïðè i = N − 1 ñ ëþáûì σ (ëèáî σ = 1/2, ëèáî σ = 1).Çàìå÷àíèå 20.3. Ìû ðàññìîòðåëè ñëó÷àé r > 0. Åñëè r < 0, òî, ñäåëàâ â (20.1)çàìåíó íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé 1 − x = t, ïðèäåì ê óðàâíåíèþdud2 u−r= u00 + |r|u0 = 0.2dtdtÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè r < 0 â èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ íóæíî èñïîëüçîâàòü àïïðîêñèìàöèþ, çåðêàëüíóþ ê òîé, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðè r > 0. Èìåííî, âìåñòî ðàçíîñòèâïåðåä(ui+1 − ui )/h ðàçíîñòü íàçàä (ui − ui−1 )/h, à âìåñòî(−ui+2 + 4ui+1 − 3ui )/2h àïïðîêñèìàöèÿui−2 − 4ui−1 + 3uih.ux̄,i + ux̄x,i =22h226 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
