В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 24
Текст из файла (страница 24)
ÒîãäàAξ 1 = λ1 ξ1 ,Aξ 2 = λ2 ξ2è ξ 1 è ξ 2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû. ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (18.6) ïðèíèìàåò âèäu(t) = c1 ξ 1 eλ1 t + c2 ξ2 eλ2 t ,(18.9)à ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (18.6) ïîëó÷àåòñÿ îòñþäà ïðè çíà÷åíèÿõ c1 è c2 , íàéäåííûõèç àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìûξ 1 c 1 + ξ 2 c 2 = u0 .(18.10)Áóäåì äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà λ1 è λ2 äåéñòâèòåëüíû.Áîëåå ñóùåñòâåííûì äëÿ íàñ áóäåò ïðåäïîëîæåíèå îá èõ îòðèöàòåëüíîñòèλ1 < 0,λ2 < 0.(18.11) ñèëó ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé ìîäóëè êîìïîíåíò u1 è u2 ðåøåíèÿ (18.9) áóäåòñòðåìèòüñÿ ê íóëþ ïðè t → ∞.188 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ1eλ1t0.5λte2t*012tÐèñ.
1Ïðåäïîëîæèì òåïåðü äîïîëíèòåëüíî, ÷òîλ1 = O(1),|λ2 | À |λ1 |.(18.12)Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå eλ2 t óáûâàåò çíà÷èòåëüíî áûñòðåå eλ1 t , òî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿt∗ ñîñòàâëÿþùàÿ c2 ξ 2 eλ2 t ðåøåíèÿ (18.9) áóäåò ïðàêòè÷åñêè ðàâíîé íóëþ, è ðåøåíèåáóäåò ïî÷òè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿòüñÿ ñîñòàâëÿþùåé c1 ξ 1 eλ1 t . (ñì. ðèñ. 1) ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè åñòåñòâåííî áûëî áû îæèäàòü, ÷òî è ó ÷èñëåííîãîðåøåíèÿ çàäà÷è (18.6) ìîäóëè êîìïîíåíò õîòÿ áû íå âîçðàñòàëè.Ïðèìåíèì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (18.6) ìåòîä Ýéëåðàun+1 − un= Aun ,τu0 = u0 .(18.13)Íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è (18.13). Èñêàòü åãî áóäåì â âèäå (ñì.
(6.30))un = ξq n ,q = const 6= 0.Ïîäñòàâëÿÿ (18.14) â (18.13), ïîëó÷èìqnq−1ξ = q n Aξ,τ(18.14)18.2. ÆÅÑÒÊÈÅ ÇÀÄÀ×È189à ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà q n îáíàðóæèâàåì, ÷òî äëÿ îòûñêàíèÿ ξ èìååì çàäà÷ó (18.8) ñλ = (q − 1)/τ . Ïîýòîìó q = 1 + τ λ, è ðåøåíèå çàäà÷è (18.13) åñòüun = c1 ξ 1 (1 + τ λ1 )n + c2 ξ 2 (1 + τ λ2 )n ,(18.15)ãäå c1 , c2 ðåøåíèå ñèñòåìû (18.10).×òîáû ìîäóëè êîìïîíåíò ðåøåíèÿ (18.15) íå âîçðàñòàëè ïðè n → ∞, íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ|1 + τ λ1 | 6 1,|1 + τ λ2 | 6 1,÷òî âìåñòå ñ (18.11) è (18.12) ïðèâîäèò ê óñëîâèþτ 6 2/|λ2 | ¿ 1.(18.16)Îãðàíè÷åíèå (18.16), âîîáùå ãîâîðÿ, ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî æåñòêèì.
Åñëè ïðè t 6 t∗ýòî îãðàíè÷åíèå âïîëíå ðàçóìíî, è äàæå èç ñîîáðàæåíèé àïïðîêñèìàöèè è òî÷íîñòèíóæíî òðåáîâàòü τ ¿ 2/|λ2 |, òî ïðè t > t∗ , êîãäà âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ êàæäîéêîìïîíåíòû ðåøåíèÿ (18.15) âðîäå áû íå äîëæíà ïîñòàâëÿòü íîâîé èíôîðìàöèè, èæåëàòåëüíî áûëî áû óâåëè÷èòü øàã τ ñ òîé öåëüþ, ÷òîáû ñýêîíîìèòü ðåñóðñû èíå âîñïðîèçâîäèòü ïåðâóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñ èçëèøíåé òî÷íîñòüþ. Íî òîãäà ïðèäåòñÿíàðóøèòü óñëîâèå (18.16), ÷òî ïðèâåäåò ê ðåçêîìó âîçðàñòàíèþ âòîðîé ñîñòàâëÿþùåéðåøåíèÿ è ïîëíîé ïîòåðå òî÷íîñòè.Îïðåäåëåíèå 18.4. Ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (18.6) ñ ïîñòîÿííîéìàòðèöåé A ïîðÿäêà m íàçûâàåòñÿ æåñòêîé, åñëè1◦ Re λj < 0 , j = 0, .
. . , m,2◦ îòíîøåíèåmax |Re λj |jS=À 1.min |Re λj |(18.17)jÎïðåäåëåíèå 18.5. ×èñëî S èç (18.17) íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì æåñòêîñòèçàäà÷è (18.6).Çàìå÷àíèå 18.2. Äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ ìàòðèöåé A, çàâèñÿùåé îò t, êîýôôèöèåíòæåñòêîñòè òàêæå çàâèñèò îò t, è, åñëè îí âåëèê äëÿ êàêèõ-ëèáî t èç èíòåðåñóþùåãîíàñ èíòåðâàëà, òî ñèñòåìà æåñòêàÿ. Äëÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì æåñòêîñòü îïðåäåëÿåòñÿâ îêðåñòíîñòè êàêîãî-ëèáî ðåøåíèÿ ïðè ïîìîùè ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû ßêîáè.Ïðèìåíèì òåïåðü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (18.6) íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðàun+1 − un= Aun+1 .τÏîäñòàâëÿÿ ñþäà (18.14), íàõîäèì, ÷òîqn+1 1− q −1ξ = q n+1 Aξ,τ190 18.ò.å.
λτ = (1 − q −1 )ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ, q = (1 − τ λ)−1 èun = c1 ξ 1 (1 − τ λ)−n + c2 ξ 2 (1 − τ λ2 )−n .Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (18.11) ìîäóëè êîìïîíåíò un ìîíîòîííî óáûâàþò ïðè n → ∞ ïðè ëþáûõ τ , è, ñëåäîâàòåëüíî, τ ìîæíî âûáèðàòü òîëüêî èçñîîáðàæåíèé òî÷íîñòè.Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà ïðè ðåøåíèè æåñòêèõ ñèñòåì îêàçàëñÿ ñóùåñòâåííî áîëååóñòîé÷èâûì, ÷åì ïðîñòî ìåòîä Ýéëåðà.Êàê îòîáðàòü ìåòîäû, ïðèãîäíûå äëÿ ðåøåíèÿ æåñòêèõ çàäà÷? Óæåñòî÷èòü òðåáîâàíèå óñòîé÷èâîñòè.18.3A-óñòîé÷èâîñòüÅñëè ïðè îïðåäåëåíèè íóëü-óñòîé÷èâîñòè îñíîâíîé ìîäåëüþ áûëî óðàâíåíèå (18.5),òî òåïåðü ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê óðàâíåíèþ (17.25).
Ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) âïðèìåíåíèè ê ëèíåéíîìó îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (17.25) èìååò âèä (17.27), à õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (18.2).Îïðåäåëåíèå 18.6. Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) â ïðèìåíåíèè ê óðàâ-íåíèþ (17.25) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî óñòîé÷èâûì äëÿ äàííîãî λ è äàííîãî τ , åñëè ïðèóêàçàííîì çíà÷åíèè τ λ âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (18.2) ðàñïîëîæåíûâíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà.Îïðåäåëåíèå 18.7.
Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè τ λ, äëÿ êîòîðûõëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) â ïðèìåíåíèè ê (17.25) àáñîëþòíî óñòîé÷èâ,íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà.Ïðèìåð 4◦ . Ìåòîä Ýéëåðà (15.7). Åäèíñòâåííûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ-íåíèÿ q = 1 + τ λ. Óñëîâèå àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè|1 + τ λ| 6 1.Îáëàñòüþ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûé êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå τ λ =−1.
(ñì. ðèñ. 2)Ïðèìåð 5◦ . Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà (15.8). Óñëîâèå àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè|q| = |1 − τ λ|−1 6 1,ò.å.|1 − τ λ| > 1.Îáëàñòüþ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ÿâëÿåòñÿ âíåøíîñòü åäèíè÷íîãî êðóãà ñ öåíòðîìâ òî÷êå τ λ = 1.(ñì. ðèñ. 3)Îïðåäåëåíèå 18.8. Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) íàçûâàåòñÿ A-óñòîé÷èâàûì,åñëè îáëàñòü åãî àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ñîäåðæèò ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü Re(τ λ) < 0.18.3. A-ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ–2–119111001τλ2τλ–1–1Ðèñ. 2Ðèñ.
3Èç ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ ñëåäóåò, ÷òî ìåòîä Ýéëåðà íå ÿâëÿåòñÿ A-óñòîé÷èâûì,à íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà A-óñòîé÷èâ.Ïðèìåð 6◦ . Ìåòîä òðàïåöèé (15.12). Ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèþ (17.25) ýòîòìåòîä èìååò âèäun+1 − unun+1 + un=λ,τ2à åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå åñòü (q − 1)/τ = λ(q + 1)/2. Îòñþäà íàõîäèìåäèíñòâåííûé êîðåíü1 + τ λ/2q=1 − τ λ/2è óñëîâèå àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñò误¯ 1 + τ λ/2 ¯¯¯6 1|q| =¯1 − τ λ/2 ¯èë误 ¯¯¯1 + τ λ/2¯6¯1 − τ λ/2¯.Ïóñòü τ λ = x + iy . Òîãäà óñëîâèå àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ïðèìåò âè䯯 ¯¯¯¯ ¯¯¯1 + x + i y ¯6¯1 − x − i y ¯.¯¯¯2222¯èëè³x ´2 y 2 ³x ´2 y 2+6 1−+ .2424Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè, íàõîäèì, ÷òî óñëîâèå àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè åñòü1+x = Re(τ λ) < 0.Îáëàñòüþ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà òðàïåöèé ÿâëÿåòñÿ ëåâàÿ ïîëóïëîñêîñòüRe(τ λ) < 0 (Ðèñ.
4). Ìåòîä A-óñòîé÷èâ.192 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂτλÐèñ. 4Òåîðåìà 18.2. Ñðåäè ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ (17.17) íå ñóùåñòâóåòÿâíûõ A-óñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ.Òåîðåìà 18.3. Ñðåäè íåÿâíûõ ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ (17.17) íå ñóùåñòâóåò A-óñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ, èìåþùèõ ïîðÿäîê òî÷íîñòè âûøå âòîðîãî.Ïðèìåð 7◦ . Äâóõøàãîâàÿ ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä. Ýòîò ìåòîä çàäà-åòñÿ ñîîòíîøåíèåì (17.16)µ31un+1 − 2un + un−122¶= τ f (un+1 ).(18.18)Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, îòâå÷àþùåå ýòîìó ìåòîäó â ïðèìåíåíèè ê óðàâíåíèþ(17.25) åñòü3 21q − 2q + − τ λq 2 = 0.(18.19)22Îïðåäåëèì îáëàñòü àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ýòîãî ìåòîäà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íîíàéòè åå ãðàíèöó, ò.å.
òàêîå ìíîæåñòâî êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z = τ λ, ãäå |q(z)| = 1.Ñ ýòîé öåëüþ âûðàçèì èç (18.19) τ λ ÷åðåç qz=13 2− + 2.2 q 2q(18.20)Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóþò çíà÷åíèÿ |q| = 1, òî ïóñòü q = e−iϕ . Îòñþäà è èç (18.20)z=31− 2eiϕ + e2iϕ .22(18.21)18.3. A-ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ193Ïðè èçìåíåíèè àðãóìåíòà ϕ îò 0 äî 2π òî÷êà z èç (18.21) îïèñûâàåò çàìêíóòóþ êðèâóþ, ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîé îñè (ôóíêöèÿ sin kϕ íå÷åòíàÿ),êîòîðàÿ è ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé îáëàñòè àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè.311− 2 cos ϕ + cos 2ϕ + i(−2 sin ϕ + sin 2ϕ) =22231= − 2 cos ϕ + cos2 ϕ − + i(−2 sin ϕ + sin ϕ cos ϕ) =22p2= (1 − cos ϕ) ± i 1 − cos2 ϕ(2 − cos ϕ) =√= (1 − t)2 ± i 1 − t2 (2 − t),t = cos ϕ.z=Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîRe z = (1 − t)2 > 0,è, ñëåäîâàòåëüíî, êðèâàÿ ðàñïîëîæåíà â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè.
Ïîñòðîèì åå. Ìíèìàÿ ÷àñòü z(t) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè t = ±1. Äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü z(t) ïðè ýòèõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ðàâíà 0 è 4.Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òîÃ√ !√ √1− 3(3 + 3) 4 3√max Im z(t) = Im z=≈ 2.20,[−1,1]22 2Ã√ !√1− 32+ 3Re z=≈ 1.86.22Èç (18.20) íàõîäèì, ÷òî ïðè|q| → ∞,z→3∈ G,2è, ñëåäîâàòåëüíî, âíóòðåííîñòü îáëàñòè îáëàñòü íåóñòîé÷èâîñòè. Òåì ñàìûì, âíåG (Ðèñ. 5) |q| < 1, è ìåòîä àáñîëþòíî óñòîé÷èâ, à, ñëåäîâàòåëüíî, è A-óñòîé÷èâ. Ýòîòìåòîä âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè.Ïðèìåð 8◦ . Òðåõøàãîâàÿ ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä. (Óïðàæíåíèå 17.3)1131un+1 − 3un + un−1 − un−2 = τ λun+1 .623(18.22)Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä11 331q − 3q 2 + q − = τ λq 3 .623Ñíîâà ïîëîæèì |q| = 1, ò.å.
q = e−iϕ è τ λ = z . Òîãäàz=1131− 3eiϕ + e2iϕ − e3iϕ .623(18.23)194 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ2τλ4Ðèñ. 5Îáîçíà÷àÿ cos ϕ = t, ïîñëå ïðîñòûõ âû÷èñëåíèé íàõîäèì, ÷òî1i√1 − t2 (4t2 − 9t + 8).z = − (t − 1)2 (4t − 1) ±33Ïðè t = ±1 Im z = 0, à Re z = 0 èëè 20/3. Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî Re z êàêôóíêöèÿ t ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ ïðè t = 1/2 è t = 1. Çíà÷åíèå t = 1 ìûóæå ðàññìîòðåëè, à√Re z (1/2) = min Re (t) = −1/12, Im z(1/2) = ±3 3/4 ≈ ±1.30è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòü ãðàíèöû îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ðàñïîëîæåíà â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè.
Êàê ëåãêî âèäåòü, ìíèìóþ îñü ãðàíèöà óñòîé÷èâîñòè ïåðåñåêàåò ïðè t = 1/4è√Im z(1/4) = ± 15/2 ≈ ±1.94.Ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ Im z(t) ïðèíèìàåò â òî÷êåt∗ = −ïðè÷åìi√√1h(2 + 3)1/3 + (2 + 3)−1/3 − 1 ≈ −0.60,2Im z(t∗ ) ≈ ±3.96,Îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 6.Re z(t∗ ) ≈ 2.89.18.3. A-ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ19542τλ6Ðèñ. 6.Îïðåäåëåíèå 18.9. Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ A(α)-óñòîé÷èâûì,åñëè åãî îáëàñòü àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ñîäåðæèò óãî믯¯arg (−τ λ)¯< α.Çàìå÷àíèå 18.3.
A(π/2)- è A- óñòîé÷èâîñòè ñîâïàäàþò.Òåîðåìà 18.4. Ñóùåñòâóþò ìíîãîøàãîâûå ìåòîäû 3-ãî è 4-ãî ïîðÿäêîâ òî÷íîñòèA(α)-óñòîé÷èâûå ïðè ëþáûõ α < π/2.Òåîðåìà 18.5. ßâíûå ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäû íå ÿâëÿþòñÿ A(α) - óñòîé-÷èâûìè íè ïðè êàêèõ α.Òåîðåìà 18.6. Ìåòîäû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä ïðè k 6 6 ÿâëÿþòñÿ A(α) óñòîé÷èâûìè ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿõ α 6= 0.Óïðàæíåíèå 18.3.
Èññëåäîâàòü îáëàñòü àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè äâóõøàãîâîãîíåÿâíîãî ìåòîäà Àäàìñà.196 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ18.4 Óñòîé÷èâîñòü ìåòîäîâ Ðóíãå-ÊóòòûÊàê áûëî óæå îòìå÷åíî, ìåòîäû (âñå) Ðóíãå-Êóòòû ÿâëÿþòñÿ íóëü-óñòîé÷èâûìè.Èññëåäóåì îáëàñòè àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè íåêîòîðûõ èç ýòèõ ìåòîäîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
