В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Áóäåì èìåòü¯¯¯¯¯¯¯1 1 ¯¯ 1 1¯¯1 1¯¯ = 1/2 − c1¯ = c2 − 1/2,¯ = c2 − c1 6= 0,∆2 = ¯¯∆1 = ¯¯∆ = ¯¯c1 1/2¯1/2 c2 ¯c1 c2 ¯164 16. ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛè, ñëåäîâàòåëüíî,b1 =c2 − 1/21,=2c2 − c14(3c1 − 3c1 + 1)b2 =1/2 − c1.c2 − c1(16.28)Èç (16.27), (16.28) ñëåäóåò, ÷òî c1 ìîæíî ïðèíÿòü çà ïàðàìåòð.  êà÷åñòâå âòîðîãîïàðàìåòðà âîçüìåì a12 . Òîãäàa11 = c1 − a12 .(16.29)Ïîñêîëüêó(16.30)a21 = c2 − a22 ,òî, ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ äëÿ a11 è a21 â ïîñëåäíåå èç óðàâíåíèé (16.23), ïîëó÷èìb1 [(c1 − a12 )c1 + a12 c2 ] + b2 [(c2 − a22 )c1 + a22 c2 ] = 1/6.Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (16.28), âòîðîå èç óðàâíåíèé (16.23) è ðàçðåøàÿ ïîëó÷åííîåñîîòíîøåíèå îòíîñèòåëüíî a22 , áóäåì èìåòüa22 =1/6 − c1 /2 − a12 (c2 − 1/2)(1 − 3c1 )(1 − 2c1 ) − a12=.1/2 − c13(1 − 2c1 )2(16.31)Ñîîòíîøåíèÿ (16.27), (16.28), (16.29), (16.30), (16.31) çàäàþò äâóõïàðàìåòðè÷åñêîåñåìåéñòâî íåÿâíûõ äâóõýòàïíûõ ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòû òðåòüåãî ïîðÿäêà.Åñëè ïîëîæèòü, íàïðèìåð,a12 = 0,c1 ≡ a11 = a22 ,(16.32)2òî äëÿ√ c1 èç (16.30) ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå 6c1 − 6c1 + 1 ñ êîðíÿìè c1 = γ =3± 3.
Òàáëèöà Áóò÷åðà äëÿ ýòîãî ìåòîäà èìååò âèä6θ1 = γθ2 = 1 − γγ01 − 2γ γ1/21/2√3± 3γ=.6(16.33)Óïðàæíåíèå 16.3. Äîêàçàòü, ÷òî ìåòîä (16.33) åñòü ìåòîä (16.27)-(16.32).16.5 ßâíûå äâóõýòàïíûå ìåòîäû ñèëó îïðåäåëåíèÿ äëÿ ÿâíîãî äâóõýòàïíîãî ìåòîäà a11 = a12 = a22 = 0 è ëèøüa21 6= 0. (Ïðè a21 = 0 ìû ïîëó÷èì ÿâíûé îäíîýòàïíûé ìåòîä.) Ïîñêîëüêó äâóõýòàïíûåìåòîäû òðåòüåãî ïîðÿäêà èìåþò ëèøü äâà ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðà, à ìû çàäàëè òðè, òîðàññ÷èòûâàòü íà òðåòèé ïîðÿäîê ó ÿâíûõ äâóõýòàïíûõ ìåòîäîâ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåïðèõîäèòñÿ.
Ìû ïîêàæåì, ÷òî òàê îíî è åñòü.16.6. ÄÂÓÕÝÒÀÏÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ×ÅÒÂÅÐÒÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ165Ïðèíèìàÿ a21 çà ïàðàìåòð, èç óñëîâèé âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè (16.20),êîòîðûå â íàøåì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèäb1 + b2 = 1,íàõîäèìµb1 =11−2a21a21 b2 = 1/2,¶,b2 =1.2a21Òåì ñàìûì, ÿâíûå äâóõýòàïíûå ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòû âòîðîãî ïðîÿäêà îáðàçóþò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî.Äàëåå, ïîñêîëüêó â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå íàðÿäó ñ a11 , a12 , a22 è c1 = 0, òî ëåâàÿ÷àñòü ÷åòâåðòîãî èç óñëîâèé (16.23) îáðàùàåòñÿ â íóëü è ñëåäîâàòåëüíî ýòî óñëîâèåâûïîëíåííûì áûòü íå ìîæåò. Ìû äîêàçàëè, ÷òî ÿâíûõ äâóõýòàïíûõ ìåòîäîâ òðåòüåãîïîðÿäêà íå ñóùåñòâóåò.Åñëè ïîëîæèòü, íàïðèìåð, a21 = 1, òî ïîëó÷èì ìåòîä ÕîéíàY 1 = un ,un+1Y2 = un + τ f (Y1 ),τ= un + [f (Y1 ) + f (Y2 )].20001101/2 1/2Óïðàæíåíèå 16.4.
Âûïèñàòü âñå ïîñòðîåííûå ìåòîäû âòîðîãî ïîðÿäêà.16.6 Äâóõýòàïíûé ìåòîä ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêàÊîýôôèöèåíòû ìåòîäà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü åùå ÷åòûðåì óñëîâèÿì (16.22). Õîòÿ ó äâóõýòàïíîãî ìåòîäà òðåòüåãî ïîðÿäêà îñòàëîñü òîëüêî äâà ïàðàìåòðà, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé äâóõýòàïíûé ìåòîä ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Åãî êîýôôèöèåíòû ñóòü√√1/2 − 3/61/41/4 − 3/6√√(16.34)1/2 + 3/6 1/4 + 3/61/41/21/2R1Çàìå÷àíèå 16.7. Åñëè áû f íå çàâèñåëà îò u (u0 = f (t), un+1 = un + τ fˆ(θ) dθ),0òî äâóõýòàïíûé ìåòîä ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïîëó÷èëñÿ áû òîëüêî åñëè êâàäðàòóðà â(16.7) áûëà êâàäðàòóðîé Ãàóññà, ò.å. b1 = b2 = 1/2, à θ1 è θ2 ñäâèíóòûå íà [0, 1]íóëè ïîëèíîìà Ëåæàíäðà âòîðîé ñòåïåíè P2 (x) = 21 (3x2 −1).
Êîðíÿìè ýòîãî ïîëèíîìà√ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà x1,2 = ±1/ 3. Äåëàÿ ëèíåéíóþ çàìåíó, ïåðåâîäÿùóþ îòðåçîê√ [−1, 1] âîòðåçîê [0, 1], íàõîäèì, ÷òî óçëû êâàäðàòóðû Ãàóññà íà [0, 1] ñóòü θ1,2 = 1/2∓ 3/6, êàêâ (16.34). Îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïîëó÷àþòñÿ, åñëè ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî [0, θ1 ] è[0, θ2 ] âåñîâûå ôóíêöèè èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà Ëàãðàíæà ñ ãàóññîâûìè óçëàìè.166 16. ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛÓïðàæíåíèå 16.5.
Äîêàçàòü, ÷òî â (16.34)Zθjaij =pi (θ) dθ,0ãäå pi (θ) ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ (èíòåðïîëÿíò ïî äâóì óçëàì) òàêàÿ, ÷òî pi (θi ) = 1,pi (θj ) = 0 ïðè i 6= j . Óáåäèòüñÿ â âûïîëíåíèè óñëîâèé (16.20)-(16.22).16.7 ßâíûå òðåõýòàïíûå ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòû òðåòüåãî ïîðÿäêàÐàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ÿâíûå òðåõýòàïíûå ìåòîäû.  ñèëó îïðåäåëåíèÿa11 = a12 = a13 = a22 = a23 = a33 = 0,è óêàçàííûå ìåòîäû çàäàþòñÿ òàáëèöåéc2a21c3a31 a32b1 b2 b3Óñëîâèÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè (16.20), (16.21) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèäb1 + b2 + b3 = 1,b2 c2 + b3 c3 = 1/2,(16.35)b2 c22 + b3 c23 = 1/3,b3 a32 c2 = 1/6.Ýòà ñèñòåìà èìååò äâà îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâà ðåøåíèé è îäíî äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå. Íàéäåì èõ.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû(16.35) êàê ëèíåéíóþ ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî b2 è b3 . Ýòà ñèñòåìà ìîæåò áûòü êàêâûðîæäåííîé (è ýòî ïðèâîäèò ê äâóì îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ñåìåéñòâàì ðåøåíèé),òàê è íåâûðîæäåííîé (äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî).Ïóñòü ýòà ñèñòåìà âûðîæäåíà, ò.å.¯¯¯c2 c3 ¯¯ 2 2 ¯ = c2 c3 (c3 − c2 ) = 0.(16.36)¯c2 c3 ¯Â ñèëó ïîñëåäíåãî èç óðàâíåíèé (16.35) c2 6= 0, è ïîýòîìó ëèáîc3 = 0(16.37)c2 = c3 .(16.38)ëèáî16.7. ßÂÍÛÅ ÒÐÅÕÝÒÀÏÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÒÐÅÒÜÅÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ167i) Ïóñòü ñíà÷àëà èìååò ìåñòî (16.37).
Òîãäà âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ (16.35) ïðèíèìàþò âèäc2 b2 = 1/2,c22 b2 = 1/3è, ñëåäîâàòåëüíî,c2 = 2/3,b2 = 3/4.Åñëè òåïåðü b3 = b ïðèíÿòü çà ïàðàìåòð, òî èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ (16.35) íàõîäèìa32 =1.4bÏîñêîëüêó c3 = 0, òîa31 = −a32 = −14bè, íàêîíåö, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (16.35)b1 =1− b.4Ñîáèðàÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì òàáëèöó2/32/30−(4b)−1 (4b)−11/4 − b3/4(16.39)bii) Òåïåðü ïóñòü èìååò ìåñòî (16.38). Ñíîâà èç âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé (16.35)íàõîäèì, ÷òî11b2 + b3 == 2,2c23c2ò.å.c3 = c2 = 2/3,b2 = 3/4 − b,ãäå b = b3 ïàðàìåòð. Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ (16.35)a32 =1,4bà èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿb1 = 1/4.Òàáëèöà ðàññìàòðèâàåìîãî ìåòîäà èìååò âèä2/32/32/321 1−3 4b 4b1/43/4 − b b(16.40)168 16.
ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛiii) Åñëè ñîîòíîøåíèå (16.36) ìåñòà íå èìååò, òî èç âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé(16.35) íàõîäèìc3 /2 − 1/31/3 − c2 /2b2 =,b3 =,(16.41)c2 (c3 − c2 )c3 (c3 − c2 )Ïðèâëåêàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå (16.35), íàéäåì, ÷òîb1 = 1 −à èç ÷åòâåðòîãîa32 =3(c2 + c3 ) − 2,6c2 c3(16.42)c3 (c3 − c2 ).c2 (2 − 3c2 )(16.43)Åùå ðàç íàïîìíèì, ÷òî â ìåòîäå (16.41)-(16.43) ïàðàìåòðû c2 è c3 óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþc2 c3 (c3 − c2 )(c2 − 2/3) 6= 0.Ñðåäè ÿâíûõ òðåõýòàïíûõ ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòû òðåòüåãî ïîðÿäêà â ñèëó èñòîðè÷åñêèõ ïðè÷èí íàèáîëüøåé ïîïóëÿðíîñòüþ ïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé ìåòîä èç ñåìåéñòâà(16.41)-(16.43)1/2 1/21−12.(16.44)1/6 2/3 1/616.8 Áîëåå îáùèå ìåòîäû Ðóíãå-ÊóòòûÒåîðåìà 16.1.
Íå ñóùåñòâóåò ÿâíîãî s-ýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòû ïîðÿäêà p,åñëè p > s.Äëÿ s = 1, 2 ýòà òåîðåìà íàìè ôàêòè÷åñêè äîêàçàíà.Òåîðåìà 16.2. Ïðè s > 5 íå ñóùåñòâóåò ÿâíîãî s-ýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòûïîðÿäêà p = s (1963ã.). Ïðè s > 8 íå ñóùåñòâóåò ÿâíîãî s-ýòàïíîãî ìåòîäà ÐóíãåÊóòòû ïîðÿäêà p = s − 1 (1965ã.). Ïðè s > 10 p = s − 2 (1985ã.).Çàìå÷àíèå 16.8. Ïðè s = 6 ñóùåñòâóåò ÿâíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû ïîðÿäêà 5.Ïðè s = 7 ñóùåñòâóåò ÿâíûé ìåòîä ïîðÿäêà 6. Íàèâûñøèé ïîðÿäîê, ôàêòè÷åñêèäîñòèãíóòûé äëÿ ÿâíî ïîñòðîåííûõ ÿâíûõ ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòû ðàâåí 10.
Ïðè ýòîì÷èñëî ýòàïîâ ðàâíî 17. (Ýòîò ðåçóëüòàò çàíåñåí â êíèãó ðåêîðäîâ Ãèííåñà).Òåîðåìà 16.3. Ïðè ëþáîì s ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé íåÿâíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû ïîðÿäêà p = 2s.16.9. ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÌÅÒÎÄΠÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ169Çàìå÷àíèå 16.9. Äëÿ îïòèìàëüíîãî ìåòîäà ïîðÿäêà p = 2s óçëû θj è âåñà bj ñóòüóçëû è âåñà êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû Ãàóññà, àZθjaij =pi (θ) dθ,0ãäå pj (θ) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè s òàêîé, ÷òî pi (θi ) = 1, pi (θj ) = 0 ïðè i 6= j . âû÷èñëèòåëüíîé ïðàêòèêå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé ÿâíûé 4-ýòàïíûéìåòîä Ðóíãå-Êóòòû 4-ãî ïîðÿäêà1/21/21/201/210011/6 1/3 1/3 1/6.Çàìå÷àíèå 16.10. Äî íåäàâíåãî âðåìåíè â ìåòîäàõ Ðóíãå-Êóòòû (ÿâíûõ) âìåñòîïåðåìåííûõ Yj ôèãóðèðîâàëè kj = f (Yj ).
Ïîýòîìó, âìåñòî (16.7), (16.8) ïèñàëèki = f (un + τun+1 = un + τs−1Xaij kj ),j=1sX(16.45)b j kj .j=116.9 Ñõîäèìîñòü ìåòîäîâ Ðóíãå-ÊóòòûÓñòàíîâèì îöåíêó ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ, ïîëó÷àåìîãî ïðè ïîìîùèòîãî èëè èíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòû.Åñëè, êàê è ðàíüøå,zn = un − u(tn ),òî èç (16.7) íàõîäèì, ÷òî zn+1 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ¯szn+1 − zn X d f (Yi (u)) ¯¯bizn + ψn .=¯τduu=u(t)+σznnii=1(16.46)Ïðåæäå ÷åì îöåíèâàòü zn+1 , îöåíèì êîýôôèöèåíò ïðè zn â ïðàâîé ÷àñòè (16.46). Áóäåìïðè ýòîì ïðåäïîëàãàòü, ÷ò¯ d f (u) ¯¯6 L.(16.47)max ¯|u|<∞ ¯du ¯170 16. ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛÒîãä௯¯6 L max¯¯¯¯¯ d f (Yj (u)) ¯¯¯= max ¯ d f d Yjmax ¯¯¯ |u|<∞ ¯ d Yj d u|u|<∞du¯¯Îöåíèì ¯ d Yj /d u| ¯.
Èç (16.8) ñ u âìåñòî un¯¯ d Yj¯|u|<∞ ¯ d u¯¯¯.¯(16.48)sXd Yid f d Yj=1+τaij.dudYdujj=1Ïóñòü¯¯ d Yi0max ¯¯|u|<∞du¯¯¯¯¯= max max ¯ d Yj¯ 16j 6s |u|<∞ ¯ d uÒîãäà ñ ó÷åòîì (16.47)¯¯¯sX¯ d Yi0 ¯¯ d Yj¯¯6 1 + τmax ¯¯|a|Lmaxij0|u|<∞|u|<∞ ¯ d udu ¯j=1ãä寯¯.¯¯¯¯¯¯6 1 + τ asL max ¯ d Yi0¯|u|<∞ ¯ d u¯¯a = max ¯ aij ¯,(16.49)ijè, ñëåäîâàòåëüíî,¯¯ d Yi0(1 − τ asL) max ¯¯|u|<∞du¯¯¯,¯¯¯¯6 1.¯Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òîτ61,2asL1ò.å.
1 − τ asL > .2Òîãäà(16.50)¯¯¯ d Yj ¯¯¯(16.51)¯ d u ¯6 2, j = 1, . . . , s.Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû bj íåîòðèöàòåëüíû. Ïîñêîëüêóèõ ñóììà ðàâíà åäèíèöå, òî ñ ó÷åòîì (16.48), (16.51)¯X¯¯ s¯df(Y(u))j¯¯6 2L.bj¯¯duj=1Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ýòó îöåíêó, èç (16.46) íàõîäèì, ÷òî|zn+1 | 6 (1 + 2τ L)|zn | + τ |ψn |.Ðàçðåøèì ýòè íåðàâåíñòâà. Ïîñêîëüêó z0 = u0 − u(0) = 0, òî|z1 | 6 τ |ψ0 |,|z2 | 6 (1 + 2τ L)|z1 | + τ |ψ1 |,|z3 | 6 (1 + 2τ L)|z2 | + τ |ψ2 |,...........................|zn | 6 (1 + 2τ L)|zn−1 | + τ |ψn−1 |16.9. ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÌÅÒÎÄΠÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ171Ïîäñòàâèì òåïåðü îöåíêó |z1 | â ïðàâóþ ÷àñòü îöåíêè |z2 |, à ïîëó÷åííóþ îöåíêó |z2 | âñâîþ î÷åðåäü â ïðàâóþ ÷àñòü îöåíêè |z3 | è ò.ä.
Ïîëó÷èì|zn | 6n−1Xτ (1 + 2τ L)n−1−j |ψj | 6 (1 + 2τ L)nj=0n−1Xj=02LT=eτ |ψj | 6 e2τ LT /τ T max |ψj | =j(16.52)T max |ψj |.jÈç (16.52) ñëåäóåòÒåîðåìà 16.4. Åñëè ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû (16.7), (16.8) àïïðîêñèìèðóåò èñõîäíîåóðàâíåíèå (16.10 )ñ ïîðÿäêîì p, òî ïðè τ → 0 îí ñõîäèòñÿ ñ òåì æå ïîðÿäêîì.172 16. ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ 17Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÏðè èçó÷åíèè ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòû, èñïîëüçóåìûõ ïðè ðåøåíèè çàäà÷è Êîøèdu= f (u),dtt > 0,u(0) = u0 ,(17.1)ìû íå îáðàùàëè îñîáîãî âíèìàíèÿ íà çàäàíèå íà÷àëüíûõ óñëîâèé, èáî ýòî ñîâåðøåííîòðèâèàëüíàÿ ïðîöåäóðà: äëÿ òîãî, ÷òîáû íà÷àë ðàáîòàòü ëþáîé èç ðàññìîòðåííûõíàìè ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòû, íóæíî çàäàòü u0 = u(0), ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
