В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ðàññìîòðèìÿâíûé òðåõýòàïíûé ìåòîä òðåòüåãî ïîðÿäêà, çàäàâàåìûé òàáëèöåé (16.44), êîòîðàÿèìååò âèä1/2 1/21−121/6 2/3 1/6Ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèþ (17.25) ýòîò ìåòîä çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìèY 1 = un ,τλY1 ,2Y3 = un − τ λY1 + 2τ λY2 ,µ¶121un+1 = un + τ λY1 + Y2 + Y3 .636Y 2 = un +Èñêëþ÷àÿ èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïðîìåæóòî÷íûå âåëè÷èíû Y1 , Y2 è Y3 , áóäåì èìåòüµY2 =·τλ1+2¶un ,µ¶¸τλY3 = 1 − τ λ + 2τ λ 1 +un2µ¶½·1 2τλ+1++un+1 = 1 + τ λ6 32µ¶τ 2 λ2 τ 3 λ3= 1 + τλ ++un .26= (1 + τ λ + τ 2 λ2 )un ,¸¾12 2(1 + τ λ + τ λ ) un =6Ýòî åñòü ëèíåéíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, åäèíñòâåííûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êîòîðîãî ðàâåíq = 1 + τλ +τ 2 λ2 τ 3 λ3+= eτ λ + O(τ 4 λ4 ).26Îáîçíà÷èì τ λ ÷åðåç z .
Òîãäàz2 z3+ .q =1+z+26Ýòîò êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ åñòü ìíîãî÷ëåí òðåòüåé ñòåïåíè îò z è âëåâîé ïîëóïëîñêîñòè Re z < 0 îãðàíè÷åííûì áûòü íå ìîæåò. Ìåòîä íå ÿâëÿåòñÿ A(α)-óñòîé÷èâûì íè ïðè êàêîì α.18.4. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÅÒÎÄΠÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ197Ðàññìîòðèì òåïåðü äâóõýòàïíûé ìåòîä òðåòüåãî ïîðÿäêà, çàäàâàåìûé òàáëèöåé(16.33), êîòîðàÿ èìååò âèäθ1 = γγ0θ2 = 1 − γ 1 − 2γ γ1/21/2√3± 3γ=.6Ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèþ (17.25) ýòîò ìåòîä çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìY1 = un + γτ λY1 ,Y2 = un + τ λ(1 − 2γ)Y1 + τ λγY2 ,τλun+1 = un +(Y1 + Y2 ).2Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ïîëîæèì τ λ = z è èñêëþ÷èì Y1 è Y2 .
Ðåøàÿ ñèñòåìóëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî Y1 è Y2 (ïåðâûåäâà óðàâíåíèÿ) è ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â òðåòüå óðàâíåíèå, íàõîäèì, ÷òî1 + (1 − 3γ)zun, Y2 =un ,1 − γz(1 − γz)2·µ¶¸1z1 + (1 − 3γ)z= 1++un .2 1 − γz(1 − γz)2Y1 =un+1Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åäèíñòâåííûì êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ1 − 2γz + γ 2 z 2 + z/2 − γz 2 /2 + z/2 + (1 − 3γ)z 2 /2=(1 − γz)2P (z)1 + (1 − 2γ)z + (γ 2 − 2γ + 1/2)z 2=.=1 − 2γz + γ 2 z 2Q(z)q=Ýòîò êîðåíü ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîéôóíêöèåé, ïîëþñîì âòîðîãî ïîðÿäêà êî√−1òîðîé ÿâëÿåòñÿ òî÷êà z = γ = (3∓ 3)/6, ðàñïîëîæåííàÿ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè. Âëåâîé ïîëóïëîñêîñòè ýòà ôóíêöèÿ àíàëèòè÷íà è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìóì åå ìîäóëÿçäåñü íå ïðåâîñõîäèò ìàêñèìóìà ìîäóëÿ íà ãðàíèöå, ò.å. ïðè z = iy .
Îöåíèì åå ìîäóëüíà ìíèìîé îñè. Èìåå죤2|P (iy)|2 = 1 − (γ 2 − 2γ + 1/2)y 2 + (1 − 2γ)2 y 2 == 1 − 2(γ 2 − 2γ + 1/2)y 2 + (γ 2 − 2γ + 1/2)2 y 4 + (1 − 4γ + 4γ 2 )y 2 == 1 + 2γ 2 y 2 + (γ 2 − 2γ + 1/2)2 y 4èÎòñþäà|Q(iy)|2 = (1 − γ 2 y 2 )2 + 4γ 2 y 2 = 1 + 2γ 2 y 2 + γ 4 y 4 .¯¯¯ P (iy) ¯2 1 + 2γ 2 y 2 + (γ 2 − 2γ + 1/2)2 y 4¯¯.¯ Q(iy) ¯ =1 + 2γ 2 y 2 + γ 4 y 4198 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂÄîáàâèì ê ÷èñëèòåëþ è âû÷òåì èç íåãî γ 4 y 4 , ïîñëå ÷åãî âûäåëèì åäèíèöó¯¯2222 4¯ P (iy) ¯2¯¯ = 1 + (γ − 2γ + 1/2 − γ )(γ − 2γ + 1/2 + γ )y .¯ Q(iy) ¯(1 + γ 2 y 2 )2Ïîäñòàâèì âìåñòî γ åãî çíà÷åíèÿ èç (16.33). Íàéäåì, ÷òî√−3 ∓ 2 3−2γ + 1/2 =,6à√√9 + 3 ± 6 3 −3 ∓ 2 312γ − 2γ + 1/2 =+=1866.2Ïîýòîìó√¯¯¯ P (iy) ¯23±23y4¯¯ =1−.¯ Q(iy) ¯36 (1 + γ 2 y 2 )2√Ïîñêîëüêó ýòî âûðàæåíèå íå ìåíüøå íóëÿ, à ïðè γ = (3+ 3)/6 (âåðõíèé çíàê â êîýôôèöèåíòå ó âòîðîãî ñëàãàåìîãî) âû÷èòàåìîå íåîòðèöàòåëüíî, òî â ðàññìàòðèâàåìîìñëó÷à寯¯ P (iy) ¯¯¯¯ Q(iy) ¯6 1,√è èçó÷àåìûé ìåòîä ÿâëÿåòñÿ A-óñòîé÷èâûì.
Ïðè γ = (3 − 3)/6 âû÷èòàåìîå îòðèöàòåëüíî, è ïîýòîìó |P (iy)/Q(iy)| > 1 äëÿ y 6= 0.  ýòîì ñëó÷àå ìåòîä A-óñòîé÷èâûì íåÿâëÿåòñÿ. Îáëàñòè àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ýòèõ ìåòîäîâ èçîáðàæåíû íà ðèñóíêàõ7 è 8, ñîîòâåòñòâåííî.√Òåì ñàìûì, îäèí èç ìåòîäîâ (16.33), èìåííî, îòâå÷àþùèé γ = (3 + 3)/6, ÿâëÿåòñÿA-óñòîé÷èâûì, â òî âðåìÿ êàê âòîðîé òàêèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò è äàæå íå ÿâëÿåòñÿA(α)-óñòîé÷èâûì.Óïðàæíåíèå 18.4. Äîêàçàòü, ÷òî íåÿâíûé äâóõýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû ÷åò-âåðòîãî ïîðÿäêà (îïòèìàëüíûé äâóõýòàïíûé ìåòîä) (16.34) ÿâëÿåòñÿ A(α)-óñòîé÷èâûì.18.4.
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÅÒÎÄΠÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ1996τλ12Ðèñ. 78–12τλÐèñ. 8200 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂÃëàâà V×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ êðàåâûõçàäà÷ äëÿ îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé201 19Ýëåìåíòû òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì19.1 ÂâåäåíèåÏðîñòåéøèì ñîäåðæàòåëüíûì ïðèìåðîì êðàåâîé çàäà÷è äëÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé−u00 (x) = f (x),0 < x < l,(19.1)u(0) = g0 ,u(1) = g1 .(19.2)Ó êðàåâîé çàäà÷è, â îòëè÷èå îò çàäà÷è Êîøè, äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, âûäåëÿþùèååäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (19.1), çàäàþòñÿ íå â îäíîé òî÷êå, à â íåñêîëüêèõ(îáû÷íî â äâóõ), è íàçûâàþòñÿ êðàåâûìè (èëè ãðàíè÷íûìè) óñëîâèÿìè.
Ýòî âíîñèòäîïîëíèòåëüíûå òðóäíîñòè â ïðîöåññ ðåøåíèÿ çàäà÷è.Ìû áóäåì èçó÷àòü ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷. Äëÿ ýòîãî íà îòðåçêå [0, l] ââåäåì ñåòê󯩪ω := x = xi = ih ¯ i = 0, . . . , N .Òî÷êè xi áóäåì íàçûâàòü óçëàìè ñåòêè, à ÷èñëî h = l/N åå øàãîì. Ââåäåííàÿ ñåòêàÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé. Åñëè áû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó óçëàìè ìåíÿëîñü ïðè ïåðåõîäå îòîäíîãî óçëà ê äðóãîìó, òî ñåòêà áûëà áû íåðàâíîìåðíîé.Ñóòü ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðîèçâîäíûå, âõîäÿùèå â äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, çàìåíÿþòñÿ ïîäõîäÿùèìè ðàçíîñòíûìè îòíîøåíèÿìè.
 ðåçóëüòàòåêðàåâàÿ çàäà÷à çàìåíÿåòñÿ (àïïðîêñèìèðóåòñÿ) ñèñòåìîé àëãåáðàè÷åñêèõ (ëèíåéíûõ,åñëè èñõîäíàÿ çàäà÷à áûëà ëèíåéíîé) óðàâíåíèé, ðåøåíèå êîòîðîé è ïðèíèìàåòñÿ çàïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è.203204 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌÍàïîìíèì ïðîñòåéøèå àïïðîêñèìàöèè ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîäíûõu(xi ) − u(xi−1 )h= u0 (xi ) + O(h),(19.3)u(xi+1 ) − u(xi )h= u0 (xi ) + O(h),(19.4)u(xi+1 ) − u(xi−1 )2h= u0 (xi ) + O(h2 ),(19.5)−u(xi+2 ) + 4u(xi+1 ) − 3u(xi )= u0 (xi ) + O(h2 ),2h(19.6)u(xi+1 ) − 2u(xi ) + u(xi−1 )h2= u00 (xi ) + O(h2 ).(19.7)Äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè ñîîòíîøåíèé (19.3) è (19.4) äîñòàòî÷íî, ÷òîáû u(x) ∈ C 2 , äëÿñïðàâåäëèâîñòè (19.5) è (19.6) u(x) ∈ C 3 , äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè (19.7) u(x) ∈ C 4 . Âýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ ïóòåì ðàçëîæåíèÿ ëåâûõ ÷àñòåé (19.3)-(19.7) â òî÷êå x = xi ïîôîðìóëå Òåéëîðà.Óïðàæíåíèå 19.1.
Óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè (19.3)-(19.7).Çàìå÷àíèå 19.1. Åñëè ôóíêöèþ u(x) çàìåíèòü èíòåðïîëÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîìËàãðàíæà ïåðâîé ñòåïåíè ïî óçëàì xi−1 è xi èëè xi è xi+1 , à çàòåì åãî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü, òî ïîëó÷èì ëåâûå ÷àñòè ñîîòíîøåíèé (19.3), (19.4). Çàìåíÿÿ u(x) èíòåðïîëÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîì âòîðîé ñòåïåíè ïî óçëàì xi−1 , xi , xi+1 èëè xi , xi+1 , xi+2 ,äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííûé èíòåðïîëÿíò è ïîëàãàÿ x = xi , ïîëó÷èì ëåâûå ÷àñòè(19.5) è (19.6), ñîîòâåòñòâåííî.Âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì (19.7) äëÿ çàìåíû âòîðîé ïðîèçâîäíîé â (19.1) ðàçíîñòíûì îòíîøåíèåì−u(xi+1 ) − 2u(xi ) + u(xi−1 )≈ f (xi ),h2xi = h, 2h, .
. . , l − h.Ïðåâðàòèì ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà â òî÷íûå ïóòåì çàìåíû òî÷íîãî ðåøåíèÿ u(xi )â óçëå xi íà ïðèáëèæåííîå uhi :−uhi+1 − 2uhi + uhi−1= fi ,h2i = 1, N − 1,(19.8)Ýòî åñòü ñèñòåìà (N − 1) ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ N + 1 íåèçâåñòíûìèuh0 , uh1 , . . . , uhN .
Ñèñòåìà (19.8) íåäîîïðåäåëåíà (êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü). Âîñïîëüçóåìñÿ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (19.2) è ïîëîæèìuh0 = g0 ,uhN = g1 .(19.9)Ðåøåíèå ñèñòåìû (19.8), (19.9), åñëè îíî ñóùåñòâóåò, áóäåì íàçûâàòü ïðèáëèæåííûìðåøåíèåì çàäà÷è (19.1), (19.2).19.2. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌ20519.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåìÎáîçíà÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè (19.1), ÷åðåç Lu.Òîãäà äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (19.1) ïðèìåò âèäLu = f (x),0 < x < l.(19.10)Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (19.2) çàïèøåì â âèäå(19.11)lu = g.Àíàëîãè÷íî, ðàçíîñòíîå âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè (19.8), îáîçíà÷èì ÷åðåçLh uh .
Òîãäà èç (19.8) áóäåì èìåòüLh uhi = fih ,i = 1, N − 1,(19.12)ãäå fih = fi . Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (19.9) çàïèøåì â âèäå, àíàëîãè÷íîì (19.11)l h uh = g h .(19.13)Îïðåäåëåíèå 19.1. Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿΨv (x) := Lh v − Lv,x ∈ ω,(19.14)îïðåäåëåííàÿ íà ñåòêå ω , ãäå v äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà [0, l], íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè äèôôåðåíöèàëüíîãî âûðàæåíèÿ Lv ðàçíîñòíûìâûðàæåíèåì Lh v .Îïðåäåëåíèå 19.2. Ðàçíîñòíîå âûðàæåíèå Lh v àïïðîêñèìèðóåò äèôôåðåöèàëüíîåâûðàæåíèå Lv , åñëè ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè Ψv → 0 (â êàêîì-íèáóäü ñìûñëå)ïðè h → 0.Îïðåäåëåíèå 19.3. Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿz = uh − u,x ∈ ω,(19.15)ãäå uh ðåøåíèå çàäà÷è (19.12), (19.13), à u ðåøåíèå çàäà÷è (19.10), (19.11),íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ ðåøåíèÿ.Ñôîðìóëèðóåì çàäà÷ó äëÿ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ z . Ïîäñòàâèì â (19.12), (19.13)u , âûðàæàåìîå èç (19.15) ÷åðåç z è u: uh = z + u.
Áóäåì èìåòühLh z = f h − Lh u,lh z = g h − lh u.(19.16)x ∈ ω,(19.17)Îïðåäåëåíèå 19.4. ÔóíêöèÿΨ = f h − Lh u,ÿâëÿþùàÿñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèÿ äëÿ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ (19.16), íàçûâàåòñÿïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (19.10) óðàâíåíèåì (19.12).206 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌÎïðåäåëåíèå 19.5. Ôóíêöèÿψ = g h − lh u,(19.18)ÿâëÿþùàÿñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ â ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ äëÿ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ (19.16),íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (19.11) ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (19.13).Çàìå÷àíèå 19.2. Òàê êàê â ñèëó (19.10) Lu − f = 0, òî, äîáàâëÿÿ ýòîò íóëü êïðåäñòàâëåíèþ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè (19.17), áóäåì èìåòüΨ = f h − Lh u = f h − f − (Lh u − Lu) = (f h − f ) − Ψu ,(19.19)ãäå Ψu îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (19.14). Òåì ñàìûì, ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèèóðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü ìåæäó ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè ïðàâîé÷àñòè è ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè äèôôåðåíöèàëüíîãî âûðàæåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
