В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Çàìåíÿÿ ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî íà òî÷íîå, ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ. Ïîñëåäåëåíèÿ íà h îíî ïðèìåò âèä:·¸uhi+1 − uhiuhi − uhi−11− pi+1/2− pi−1/2+ qi uhi = fi , i = 1, N − 1(19.42)hhhu0i+1/2 ≈Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿui+1 − ui ïðàâîå ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå,hui − ui−1 ëåâîå ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå.ux̄ := ux̄,i :=hÎ÷åâèäíî, ÷òî vx,i ≡ vx̄,i+1 . Äàëåå,·¸vi+1 − 2vi + vi−11 vi+1 − vi vi − vi−1=−=h2hhh11= (vx,i − vx̄,i ) = (vx̄,i+1 − vx̄,i ) = (vx̄ )x,i =hh= vx̄x,i =: vx̄x .ux := ux,i :=Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå îáîçíà÷åíèÿ, óðàâíåíèå (19.42) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:¡¢(19.43)− ph uhx̄ x,i + qih uhi = fih , i = 1, N − 1,ãäåµhp :=phih:= p xi −2¶,q h := qih := q(xi ),f h := fih := f (xi ).(19.44)19.5.
ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÃÐÀÍÈ×ÍÛÕ ÓÑËÎÂÈÉ21319.5 Àïïðîêñèìàöèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèéÏðèìåíèì òåïåðü èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä äëÿ ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìàöèèãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ, ñîäåðæàùåãî ïðîèçâîäíóþ. Ïóñòü äëÿ óðàâíåíèÿ (19.38) â òî÷êåx = 0 (ãðàíè÷íîé òî÷êå) çàäàíî ãðàíè÷íîå óñëîâèåαdu(0)+ βu(0) = γ.dx(19.45)Ãðàíè÷íîå óñëîâèå (19.45) ñîäåðæèò â ñåáå âñå îñíîâíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿóðàâíåíèÿ (19.38): èìåííî, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïåðâîãî ðîäà (α = 0), âòîðîãî ðîäà(β = 0) è òðåòüåãî ðîäà.
Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âòîðîãî è òðåòüåãîðîäà, ò.å. óñëîâèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîäíóþ. Ïðîñòåéøàÿ àïïðîêñèìàöèÿ óñëîâèÿ(19.45) èìååò âèäuh − uh0α 1+ βuh0 = γ.(19.46)hÓïðàæíåíèå 19.3. Äîêàçàòü, ÷òî ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ(19.45) ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (19.46) ïðè α 6= 0 åñòü O(h).Ìû íå áóäåì çàíèìàòüñÿ ýòîé àïïðîêñèìàöèåé èç-çà òîãî, ÷òî îíà èìååò áîëüøóþ ïîãðåøíîñòü. Ïîñòðîèì äðóãóþ àïïðîêñèìàöèþ óñëîâèÿ (19.45), íî ïðåæäå åãîíåñêîëüêî ïðåîáðàçóåì.
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ α 6= 0, è íà ýòîò êîýôôèöèåíò óñëîâèå(19.45) ìîæíî ðàçäåëèòü. Êîýôôèöèåíò p(x) óðàâíåíèÿ (19.38) áóäåì ïðåäïîëàãàòüñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìp(x) > c0 > 0,(19.47)è äîìíîæåíèå (19.45) íà −p(0) ïðèâåäåò ê ýêâèâàëåíòíîìó óðàâíåíèþ. Áóäåì âìåñòî(19.45) ðàññìàòðèâàòü ãðàíè÷íîå óñëîâèå−p(0)du(0)+ κ0 u(0) = g0 ,dx(19.48)êîòîðîå ïðè α = −p(0) 6= 0, β = κ0 è γ = g0 ñîâïàäàåò ñ (19.45).
Êîìáèíàöèÿ p(0)u0 (0)â (19.48) õîðîøà óæå òåì, ÷òî âåëè÷èíà −p(x)u0 (x) èìååò ñìûñë ïîòîêà è ôèãóðèðóåò âñàìîì óðàâíåíèè (19.38). Çíàê ìèíóñ ïåðåä ïðîèçâîäíîé äîëæåí ñâèäåòåëüñòâîâàòü îòîì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ áåðåòñÿ ïî "âíåøíåé íîðìàëè": ïðîèçâîäíàÿ du(0)/dx âû÷èñëåíà ïî íàïðàâëåíèþ âíóòðü îòðåçêà [0, 1], à ïðîèçâîäíàÿ −du(0)/dx ïî íàïðàâëåíèþ,âûõîäÿùåìó èç îòðåçêà.×òîáû ïîñòðîèòü àïïðîêñèìàöèþ (19.48), ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (19.38) ïîîòðåçêó (0, h/2). Áóäåì èìåòüdu(h/2)du(0)−p(h/2)+ p(0)+dxdxZh/2[q(x)u(x) − f (x)] dx = 0.0(19.49)214 19.
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌÇàòåì âûðàçèì p(0)du(0)/dx èç (19.48)p(0)du(0)= κ0 u(0) − g0 ,dx(19.50)àïïðîêñèìèðóåì ïðîèçâîäíóþdu(h/2)u1 − u 0≈(19.51)dxhè àïïðîêñèìèðóåì èíòåãðàë â (19.49) êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé "ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ"Zh/2h[q(x)u(x) − f (x)] dx ≈ [q(0)u(0) − f (0)] .(19.52)20Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü (19.50)-(19.52) â (19.49), ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî, êîòîðîå ïðåâðàòèì â òî÷íîå ïóòåì çàìåíû òî÷íîãî ðåøåíèÿ u(x) íà ïðèáëèæåííîå uh (x).Áóäåì èìåòüµ¶uh1 − uh0hh−p1/2+ κ0 + q0 uh0 = g0 + f0h22èëè, ïðèíèìàÿ îáîçíà÷åíèÿ (19.44),hh−ph1 uhx̄,1 + (κ0 + q0h )uh0 = g0 + f0h .22Ñîîòíîøåíèå (19.53) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èñêîìóþ àïïðîêñèìàöèþ.(19.53)19.6 Èññëåäîâàíèå ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèèÈññëåäóåì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû (19.43).
Èññëåäóåì äàæåáîëåå îáùóþ ñõåìó. Ïóñòü ðàçíîñòíàÿ ñõåìà èìååò âèä¤1£− bi uhx,i − ai uhx̄,i + qih uhi = fih .(19.54)hÏîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ýòîé ñõåìû åñòü1[bi ux,i − ai ux̄,i ] − qih ui =h= [fih − f (xi )] − [qih − q(xi )]ui +1+ [bi ux,i − ai ux̄,i ] − (pu0 )0i .hΨi = fih +Ïðè u(x) ∈ C 4 [0, 1] èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿhux,i = u0i + u00i +2hux̄.i = u0i − u00i +2h2 000u + O(h3 ),6 ih2 000ui + O(h3 ).6(19.55)19.6.
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ215Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â (19.55), áóäåì èìåòü·1hh23Ψi =bi (u0i + u00i + u000i + O(h ))−h26¸2h 00 h 00003− ai (ui − ui + ui + O(h )) −260 000− (p u + pu )−− [qih − q(xi )]ui + [fih − f (xi )] =µµ¶¶bi − aibi + ai00=− p i ui +− pi u00i +h2bi − ai 000+hui + O(h2 ) − (qih − qi )ui +6+ (fih − fi ).Îòñþäà íàõîäèì, ÷òî äëÿ àïïðîêñèìàöèè O(h2 ) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿóñëîâèébi − ai1◦ .− p0i = O(h2 ),hbi + ai2◦ .− pi = O(h2 ),(19.56)23◦ .qih − qi = O(h2 ),4◦ .fih − fi = O(h2 ).Äëÿ ñõåìû (19.43), (19.44) óñëîâèÿ (19.563 ) è (19.564 ) î÷åâèäíû.
Îáðàòèìñÿ ê (19.561 )è (19.562 ). Èìååìhh2bi = pi+1/2 = pi + p0i + p00i + O(h3 ),28h 0 h2 00ai = pi−1/2 = pi − pi + pi + O(h3 ).28Îòñþäàbi − ai= p0i + O(h2 ),hbi + a i= pi + O(h2 ).2Òåîðåìà 19.6. Åñëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (19.38) îáëàäàåò ÷åòâåðòûìè íåïðåðûâíû-ìè ïðîèçâîäíûìè, òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (19.43), (19.44) èìååò ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè O(h2 ).Óïðàæíåíèå 19.4. Äîêàçàòü, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (19.43) ïðè bi = ai+1 èà)ai =pi + pi−1,2qih = qi ,fih = fi ,(19.57)216 19.
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌZxi1á) ai =hp(x) dx,qihxi−1xi+1Zfih =1hxi+1Zq(x)(1 − |x − xi |) dx,1=hxi−1(19.58)f (x)(1 − |x − xi |) dxxi−1èìååò ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè O(h2 ).Èññëåäóåì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ψ0 ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (19.53). Èìååìhhu1 − u0ψ0 := g0 + f0 + p1/2− (κ0 + q0 )u0 =2 µh¶µ 2¶h 00hh 0h202= g0 + f0 + p0 + p0 + O(h )u0 + u0 + O(h ) − (κ0 + q0 )u0 =2222h= (p0 u00 − κ0 u0 + g0 ) + (p0 u000 + p00 u00 − q0 u0 + f0 ) + O(h2 ).2Ïåðâàÿ ñêîáêà â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè ðàâíà íóëþ â ñèëó (19.48), à âòîðàÿ â ñèëóóðàâíåíèÿ (19.38), ïðîäîëæåííîãî ïî íåïðåðûâíîñòè ñ (0, 1) íà [0, 1).
Òåì ñàìûì, ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (19.53) íà ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (19.38)åñòü O(h2 ).Óïðàæíåíèå 19.5. Èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûì ìåòîäîì ïîñòðîèòü àïïðîêñèìàöèþ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿdu(1)p(1)+ κ1 u(1) = g1(19.59)dxè èññëåäîâàòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîé àïïðîêñèìàöèè.Òåîðåìà 19.7. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿphi > c0 > 0,qih > c1 > 0,κ0 > 0.(19.60)Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (19.43), (19.53), (19.61)uhN = g1 ,è äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêà|fi ||g0 |max |uhi | 6+ |g1 | + max.iiκ0c1Óïðàæíåíèå 19.6. Äîêàçàòü òåîðåìó 19.7.(19.61)(19.62)Òåîðåìà 19.8. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ (19.60), è ðåøåíèå çàäà÷è (19.38), (19.48),(19.63) u(x) ∈ C 4 [0, 1],u(1) = g1 ,(19.63)òî ðåøåíèå uh çàäà÷è (19.43), (19.44), (19.53), (19.61) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è(19.38), (19.48), (19.63) ñî ñêîðîñòüþ O(h2 ) ðàâíîìåðíî ïî x1 ∈ ω , ò.å.max |u(xi ) − uhi | = O(h2 ).i19.7.
ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÎÁÎÁÙÅÍÈß21719.7 Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿÄëÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿd−dxµdup(x, u)dx¶+ q(x, u) = 0ðàçíîñòíóþ àïïðîêñèìàöèþ ìîæíî âçÿòü â âèä嵸· µ¶¶uhi + uhi−1uhi+1 + uhi1hh−p xi+1/2 ,ux,i − p xi−1/2 ,ux̄,i +h22+q(xi , uhi )= 0,+= 0,(19.65)i = 1, . . . , N − 1.Ñ ðàâíûì óñïåõîì ìîæíî ïîñòóïèòü è òàê:·¸p(xi , uhi ) + p(xi−1 , uhi−1 ) h1 p(xi+1 , uhi+1 ) + p(xi , uhi ) h−ux,i −ux̄,i +h22q(xi , uhi )(19.64)(19.66)i = 1, . . . , N − 1.Óïðàæíåíèå 19.7. Âûÿñíèòü ïîðÿäêè ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ñõåì (19.65) è(19.66).Åñëè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (19.38) íå ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè, òî òåîðåìà19.8 î ñõîäèìîñòè ñî ñêîðîñòüþ O(h2 ) ìîæåò íå èìåòü ìåñòî.  ýòîé ñèòóàöèè äëÿóìåíüøåíèÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè â îêðåñòíîñòè òåõ òî÷åê, ãäå óìåíüøàåòñÿãëàäêîñòü ðåøåíèÿ, ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü íåðàâíîìåðíóþ ñåòêó. Ïóñòü© ¯ªωb = xi ¯ x0 = 0 < x1 < x2 < · · · < xN −1 < xN = 1(19.67) ïðîèçâîëüíàÿ íåðàâíîìåðíàÿ ñåòêà íà [0, 1]. Áóäåì îáîçíà÷àòühi = xi − xi−1 ,~i =hi + hi+1.2Íà ñåòêå (19.67) äëÿ óðàâíåíèÿ (19.38) ìåòîäîì áàëàíñà ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ àïïðîêñèìàöèþ· µµ¸¶¶1hi+1 uhi+1 − uhihi+1 uhi − uhi−1−p xi +− p xi −+~i2hi+12hi(19.68)h+ q(xi )ui = f (xi ), i = 1, N − 1.Åñëè ñåòêà (19.67) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé, òî ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè (19.68) åñòüòîëüêî O(h), ãäå h = max hi .
Îäíàêî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿñîîòâåòñòâóþùåé ñåòî÷íîé çàäà÷è è íà ýòîé ñåòêå áóäåò âåëè÷èíîé O(h2 ) ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàäêîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (19.38).218 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌÓïðàæíåíèå 19.8. Èññëåäîâàòü ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè (19.68).Âûøå âñþäó ðå÷ü øëà î òîì ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (19.38) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå.  ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî êîýôôèöèåíòû áûâàþò êóñî÷íî-ãëàäêèå (íàïðèìåð, êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ñåòêó, ó êîòîðîé â êà÷åñòâå óçëîâ ïðèñóòñòâóþò âñå òî÷êèðàçðûâà êîýôôèöèåíòîâ p(x), q(x) è ïðàâîé ÷àñòè f (x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
