В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Âîñïîëüçóåìñÿ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (21.2) è ïîëîæèìuh0 (t) = uhN (t) = 0.(21.7)Ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ ýòèõ íåèçâåñòíûõ èç (21.6) áóäåì èìåòü ñèñòåìó (N − 1) óðàâíåíèéñ (N − 1) íåèçâåñòíûìè.Ïåðåïèøåì òåïåðü (21.6) ïî-äðóãîìó, ïîñòàâèâ íà ïåðâîå ìåñòî ïðîèçâîäíóþu̇hi = uhx̄x,i + fih (t),i = 1, . . . , N − 1,(21.8)è ââåäåì îáîçíà÷åíèÿU = [uh1 . . .
uhN −1 ]T ,−2 1 0 . . . 0 01 1 −2 1 . . . 0 0 ,Λ= 2h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .00 0 . . . 1 −2(21.9)F = [f1h . . . fNh −1 ].Òîãäà ñèñòåìà (21.8) ñ ó÷åòîì (21.7) ïðèìåò âèädU= ΛU + F.dt(21.10)21.1. ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈ237Ââåäåì åùå îäíî îáîçíà÷åíèåΦ = [ϕ1 . . . ϕN −1 ]Tè ïîëîæèì(21.11)U (0) = Φ.Ñîîòíîøåíèÿ (21.10), (21.11) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé çàäà÷ó Êîøè äëÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ìîæíî èñïîëüçîâàòü óæå èçó÷åííûå ìåòîäû. Íàïðèìåð, ìåòîäÝéëåðà, êîòîðûé ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèÿìU j+1 − U j= ΛU j + F j ,τU 0 = Φ,(21.12)èëè íåÿâíûé ìåòîä ÝéëåðàU j+1 − U j= ΛU j+1 + F j+1 ,τU 0 = Φ,(21.13)à ìîæíî è ìåòîä òðàïåöèé¤ 1 ¡ j+1¢U j+1 − U j1 £= Λ U j+1 + U j +F+ Fj ,τ22U 0 = Φ.(21.14)Ìû íå áóäåì èçó÷àòü îáùèå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è (21.10), (21.11), à îãðàíè÷èìñÿîäíîøàãîâûìè, êàê (21.12)-(21.14), êîòîðûå â òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðèíÿòî íàçûâàòü äâóõñëîéíûìè.Èçó÷åíèå (21.12), (21.13) è (21.14) ìîæíî ïðîâîäèòü îäíîâðåìåííî, åñëè çàïèñàòüèõ åäèíûì îáðàçîì çà ñ÷åò ââåäåíèÿ ïàðàìåòðà σ :U j+1 − U j= σΛU j+1 + (1 − σ)ΛU j + σF j+1 + (1 − σ)F j .τ(21.15)Ïîëàãàÿ çäåñü σ = 0, 1 èëè 1/2, ïîëó÷èì (21.12), (21.13) èëè (21.14), ñîîòâåòñòâåííî.Ïîñìîòðèì òåïåðü íà (21.15) ñ òî÷êè çðåíèÿ àïïðîêñèìàöèè íå çàäà÷è Êîøè äëÿñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (21.10), (21.11), à ñ òî÷êè çðåíèÿ àïïðîêñèìàöèè çàäà÷è (21.1)-(21.3).
 ðåçóëüòàòå äâóõ øàãîâ àïïðîêñèìàöèè âîáëàñòè [0, 1] × [0, T ] îáðàçîâàíà ñåòêà (ñì. ðèñ. 1),íà êîòîðîé äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (21.1) àïïðîêñèìèðîâàíî ñèñòåìîé ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèéuhi j+1 − uhi jj+1j= σuhx̄x,i+ (1 − σ)uhx̄x,i+ fih j ,τi = 1, . . . , N − 1,j = 0, . . . , J − 1, (21.16)238 21. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈ6tj = Tttjτh-xi0xN = 1 xÐèñ. 1à ãðàíè÷íûå (21.2) è íà÷àëüíîå (21.3) óñëîâèÿ ñîîòíîøåíèÿìèuh0 j = 0,èuhNj = 0,uhi 0 = ϕi ,j = 1, . . . , J,i = 0, .
. . , N,(21.17)(21.18)ñîîòâåòñòâåííî. (Íà ñâÿçè fih j ñ f (x, t) ìû íå îñòàíàâëèâàåìñÿ).Ââåäåì äîïîëíèòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿuji = u,uj+1= û,i(û − u)/τ = ut . íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ óðàâíåíèÿ (21.16) ïðèìóò âèäuht = σûhx̄x + (1 − σ)uhx̄x + f h .(21.19)Ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (21.1) óðàâíåíèÿìè (21.19) áóäåò ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿΨ = f h + σûx̄x + (1 − σ)ux̄x − ut ,ãäå u = u(xi , tj ) çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (21.1) â óçëàõ (xi , tj ).Óïðàæíåíèå 21.1.
Äîêàçàòü, ÷òî ïðè íàäëåæàùåé ãëàäêîñòè (êàêîé?)(O(τ + h2 )Ψ=O(τ 2 + h2 )ïðèïðèσ = 0, σ = 1,σ = 1/2.21.2. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÏÎ ÍÀ×ÀËÜÍÛÌ ÄÀÍÍÛÌ239Çàìå÷àíèå 21.1. Äëÿ íàïèñàíèÿ óðàâíåíèé (21.19) ïðè σ = 0, σ = 1 èëè σ = 1/2òðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà óçëîâj+1j•• • •• • ••• • •• • •ñîîòâåòñòâåííî, íàçûâàåìûå øàáëîíàìè.21.2 Óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûìÈññëåäóåì ðàçíîñòíóþ ñõåìó (21.16)-(21.18) íà ïðåäìåò åå óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíûìäàííûì. Äëÿ ýòîãî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü â óðàâíåíèÿõ (21.16) ðàâíà íóëþ,ò.å.i = 1, . .
. , N − 1,uhi j+1 − uhi jj+1j= σuhx̄x,i+ (1 − σ)uhx̄x,i,(21.20)τj = 0, . . . , J − 1.×òîáû èññëåäîâàòü âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè, íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è (21.20), (21.17),(21.18). Ðåøåíèå áóäåì èñêàòü ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Áóäåì èñêàòü ÷àñòíûåðåøåíèÿ óðàâíåíèé (21.20) â âèäåuji = Xi Tj .ÒîãäàèëèTj+1 − TjXi = (σTj+1 + (1 − σ)Tj )Xx̄x,iτ(Tj+1 − Tj )/τXx̄x,i== −λh ,σTj+1 + (1 − σ)TjXi(21.21)ãäå λh ïîñòîÿííàÿ.
Ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (21.17) äëÿ Xi èç (21.21) ïîëó÷èìçàäà÷óXx̄x,i + λh Xi = 0, i = 1, 2, . . . , N − 1, X0 = XN = 0,èëè, â ðàçâåðíóòîì âèäå,−Xi−1 + 2Xi − Xi+1 = h2 λh Xi ,i = 1, 2, . . . , N − 1,X0 = XN = 0.(21.22)Íî ýòà çàäà÷à ñîâïàäàåò ñ ðàññìîòðåííîé íàìè ðàíåå çàäà÷åé (6.33), åñëè â ïîñëåäíåéïîä λ ïîíèìàòü h2 λh . Ïîýòîìó, â ñèëó (6.35)√(k)Xi = 2 sin kπxi , i = 1, .
. . , N − 1(21.23)ñóòü ñîáñòâåííûå âåêòîðû çàäà÷è (21.22), êîòîðûå îðòîãîíàëüíû â ñìûñëå ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿN−1X(u, v) =ui vi hi=1240 21. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒȳ´(k)(k)(k)è íîðìèðîâàíû, ò.å. kXi k2 = Xi , Xi= 1.  ñèëó (6.42)λhk =42 kπhsin,h22k = 1, . . . , N − 1(21.24) ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòîé çàäà÷è.Äàëåå, èç (21.21) íàõîäèì, ÷òî(k)(k)Tj+1 − Tjτèëèih(k)(k)=0+ λhk σTj+1 + (1 − σ)Tj(k)(k)(1 + στ λhk )Tj+1 = (1 − (1 − σ)τ λhk )Tj .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî(k)(k)Tj+1 = qk Tj ,ãäå1 − (1 − σ)τ λhk1 + στ λhkqk =è ïîýòîìó(k)= ck qkj .Tj(21.25)(21.26)Èòàê, ìû íàøëè, ÷òî ôóíêöèèj(k)ui(k)(k)(k)= Xi Tj ,k = 1, .
. . , N − 1,(k)ãäå Xi è Tj èç (21.23) è (21.26), ñîîòâåòñòâåííî, ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìèóðàâíåíèé (21.20), óäîâëåòâîðÿþùèìè ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (21.17). Ïîñòðîèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ýòèõ ðåøåíèéuhi j=N−1X(k)ck Xi qkj .(21.27)k=1Ïîëàãàÿ çäåñü j = 0, ïîëó÷èìuhi 0=N−1X(k)ck Xi ,k=1à ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (21.18), çàêëþ÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ (21.27) áóäåò óäîâëåòâîðÿòüíà÷àëüíûì óñëîâèÿì (21.18), åñëèN−1Xk=1(k)ck Xi= ϕi ,21.2.
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÏÎ ÍÀ×ÀËÜÍÛÌ ÄÀÍÍÛÌ241ò.å. åñëè ïîñòîÿííûå ck ñóòü êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèè ϕi ïðè ðàçëîæåíèè ïî(k)îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå Xick = (ϕ, X (k) ) =N−1X(k)(21.28)ϕi Xi h.i=1Èòàê, ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ (21.27) ñ êîýôôèöèåíòàìè ck èç (21.28) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèÿì (21.20), ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (21.17) è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (21.18), àïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (21.20), (21.17), (21.18).Íàéäåì îöåíêó ýòîãî ðåøåíèÿ. Âîçâîäÿ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè (21.27) â êâàäðàò è(k)ñóììèðóÿ ðåçóëüòàò ïî i îò 1 äî N − 1, ñ ó÷åòîì îðòîãîíàëüíîñòè Xi , áóäåì èìåòükuh j k2Lh =2=N−1XN−1X(uhi j )2 h =i=1N−1Xi=1(k)(l)ck cl qkj qlj (Xi , Xi )k,l=1=hN−1X(k)(l)ck cl Xi Xi qkj qlj =k,l=1N−1Xc2k qk2j6 maxkk=1qk2jN−1Xc2k = max qk2j kϕk2Lh .k=1kÏóñòüÒîãäà2|qk | 6 1.(21.29)kuh j kLh2 6 kϕkLh2 ,(21.30)ò.å.
Lh2 -íîðìà ðåøåíèÿ ïðè ëþáîì j íå ïðåâîñõîäèò Lh2 -íîðìû íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ.Âûÿñíèì, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (21.29). Ñ ó÷åòîì (21.24), (21.25) ïðè σ > 0èìåå쵶4τ4τkπh2 kπh− 1 + 2 σ sin6 1 − 2 (1 − σ) sin2h2h2èëè, ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ,4τkπh(1 − 2σ) sin2> 0,2h2Îòñþäà âûòåêàåò óñëîâèå2−(1 − 2σ) 6Ïîñêîëüêó min sin−2kkπh21h2min.22τ k sin kπh2> 1, òî (21.29) áóäåò âûïîëíåíî, åñëè(1 − 2σ) 6èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî,σ>Èòàê, íàìè äîêàçàíàk = 1, .
. . , N − 1.h22τ1 h2− .2 4τ(21.31)242 21. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈÒåîðåìà 21.1. Åñëè ïàðàìåòð σ ñõåìû (21.20) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (21.31), òîäëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (21.20), (21.17), (21.18) ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêàmax kuh j kLh2 6 kuh 0 kLh2 ,jj = 1, 2, .
. . , J.(21.32)Îïðåäåëåíèå 21.1. Ãîâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (21.20) óñòîé÷èâà ïî íà÷àëüíûìäàííûì, åñëè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (21.20), (21.17), (21.18) ñïðàâåäëèâà îöåíêàkuh j k(1) 6 M kuh 0 k(2) ,ãäå k · k(1) è k · k(2) íåêîòîðûå íîðìû, à M = const > 0 íå çàâèñèò îò τ è h.Ñëåäñòâèå 1.
Òåîðåìà 21.1 óòâåðæäàåò óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì ñõåìû (21.20) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (21.31), êîãäàk · k(2) = k · kLh2 ,k · k(1) = k · kLh∞ (0,T )×Lh2 (0,1) .Îáñóäèì óñëîâèå (21.31). Åñëè σ = 1, ò.å. èñïîëüçîâàí íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà äëÿñèñòåìû, òî (21.31) âûïîëíåíî ïðè ëþáûõ τ è h. Òî æå ñàìîå èìååò ìåñòî è ïðè σ = 1/2(ñõåìà òðàïåöèé). Åñëè æå σ = 0, òî äëÿ âûïîëíåíèÿ (21.31) íóæíî, ÷òîáûτ 6 h2 /2.(21.33)Ïðî ïåðâûå äâå ñõåìû (ïðè σ = 1 è σ = 1/2) ãîâîðÿò, ÷òî îíè áåçóñëîâíî óñòîé÷èâû, àòðåòüÿ (σ = 0) óñòîé÷èâà óñëîâíî (äëÿ óñòîé÷èâîñòè øàãè ïî âðåìåííîé ïåðåìåííîéè ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ñâÿçàíû íåðàâåíñòâîì (21.33)).Íàïîìíèì, ÷òî âñå òðè ñõåìû íóëü-óñòîé÷èâû ïî òåðìèíîëîãèè èç îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, à ïåðâûå äâå åùå è A-óñòîé÷èâû.Îòìåòèì, ÷òî ÷èñëà (−λhk ) ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû (21.9)max | − λhk |kmin | − λhk |k==sin2 (N −1)πhλhN −12==λh1sin2 πh2cos2 πhπh2= ctg2À 1 ïðè h ¿ 1,2 πh2sin 2ò.å.
ñèñòåìà óðàâíåíèé (21.8) æåñòêàÿ.21.3 Óñòîé÷èâîñòü ïî ïðàâîé ÷àñòèÎáðàòèìñÿ òåïåðü ê íåîäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (21.19), à âìåñòî (21.18) ïîñòàâèìîäíîðîäíûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿuhi 0 = 0,i = 0, . . . , N.(21.34)21.3. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÏÎ ÏÐÀÂÎÉ ×ÀÑÒÈ243Òåîðåìà 21.2. Åñëè ïàðàìåòð σ ñõåìû (21.19) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (21.31), òîäëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (21.19), (21.17), (21.34)ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêàmax kuh j kLh2 6 T max kf h j kLh2 .j(21.35)jÄîêàçàòåëüñòâî.
Ðàçëîæèì uhi j è fih j ïðè êàæäîì j ïî ñîáñòâåííûì âåêòîðàìçàäà÷è (21.22)uhi j=N−1X(k) (k)Tj Xi ,fih jk=1=N−1X(k)(k)fj Xi .k=1(k)Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ðàçëîæåíèÿ â (21.19) è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå îðòîãîíàëüíîñòü Xi ,ïîëó÷èì(k)(k)hiTj+1 − Tj(k)(k)(k)= fj .+ λhk σTj+1 + (1 − σ)TjτÏðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, íàéäåì, ÷òî(k)(k)[1 + στ λhk ]Tj+1 = [1 − (1 − σ)τ λhk ]Tj(k)+ τ fj ,(k)à, ðàçðåøàÿ îòíîñèòåëüíî Tj+1 , áóäåì èìåòü(k)(k)Tj+1 = qk Tj+τ(k)f .1 + στ λhk j ñèëó (21.29) |qk | 6 1, à ïðè σ > 0 çíàìåíàòåëü (1 + στ λhk ) > 1 è ïîýòîìó¯ (k) ¯ ¯ (k) ¯¯¯ ¯¯¯¯¯T¯ ¯¯ |qk | + τ ¯ f (k) ¯6¯ T (k) ¯ +τ ¯ f (k) ¯ .j+1 6 TjjjjÄàëååkuh j+1 kLh2vvuN −1 ³−1 ³´2 uuXuNX¯ (k) ¯¯¯´2(k)¯ T ¯ +τ ¯ f (k) ¯ 6 kuh j kLh + τ kf h j kLh .=tTj+1 6 tjj22k=1k=1Ñóììèðóÿ ýòî íåðàâåíñòâî ïî j â íóæíûõ ïðåäåëàõ, ïðèäåì ê (21.35). Òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 21.3 (ñõîäèìîñòè).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
