В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (21.31), è ðåøåíèå çàäà-÷è (21.1)-(21.3) u(x, t) ∈ C 4 [0, 1] × C 3 [0, T ], òî ðåøåíèå uh çàäà÷è (21.16)-(21.18)ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé fih j ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ u çàäà÷è (21.1)-(21.3) ñî ñêîðîñòüþO(h2 + (σ − 1/2)τ + τ 2 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü zij = uhi j −u(xi , tj ) ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ. Âûðàæàÿ uhi j÷åðåç zij è u(xi , tj ) è ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â (21.16)-(21.18), äëÿ zij ïîëó÷èì çàäà÷ózij+1 − zijj+1j= σzx̄x,i+ (1 − σ)zx̄x,i+ Ψji ,τjz0j = zN= 0,zi0 = 0.(21.36)244 21.
ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈÄëÿ çàäà÷è (21.36) ñïðàâåäëèâà îöåíêà, óñòàíàâëèâàåìàÿ òåîðåìîé 21.2, ò.å.max kzij kLh2 6 T max kΨji kLh2 .jjÈñïîëüçóÿ òåïåðü ðåçóëüòàòû óïðàæíåíèÿ 21.1, ïðèõîäèì ê óòâåðæäåíèþ òåîðåìû.21.4 Óñòîé÷èâîñòü â ñìûñëå ìàêñèìóìà ìîäóëÿÒåîðåìà 21.4. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå2(1 − σ)τ 6 1,h2(21.37)òî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (21.16)-(21.18) ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêàmax |uhi j | 6 max |ϕi | + T max |fih j |.ijiij(21.38)Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (21.16) â ïîòî÷å÷íîì âèäåj+1j+1jjuhi−1− 2uhi j+1 + uhi+1uhi−1− 2uhi j + uhi+1uhi j+1 − uhi j=σ+ (1 − σ)+ fih j22τhhè ïðèâåäåì ïîäîáíûå ÷ëåíûµ¶1 2σ+ 2 uhi j+1 =τhµ¶1 2(1 − σ)σ h j+11 − σ hj1 − σ hjσ h j+1−uhi j +ui−1 +u + fih j .= 2 ui−1 + 2 ui+1 +22hhτhhh2 i+1Âîçüìåì ìîäóëè ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé è îöåíèì ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ÷åðåç ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ìîäóëåé uhi j , uhi j+1 è fih j .
Áóäåì èìåòüµ¶1 2σ+ 2 |uhi j+1 | 6τhµ¯¯ 1 2(1 − σ)2σh j+16 2 max |ui| + ¯¯ −ihτh2¯¶¯ 2(1 − σ)¯+max |uhi j | + max |fih j |.¯iih2Áåðÿ òåïåðü ìàêñèìóì ïî i ëåâîé ÷àñòè è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîñëå äîìíîæåíèÿíà τ ïîëó÷èì:¯¶µ¯¯ 2(1 − σ)τ¯2(1−σ)τh j+1¯¯+max |uhi j | + τ max |fih j |.max |ui|6 ¯1−¯22iiihh21.5.
ÑÅÒÎ×ÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÔÓÐÜÅ245Èçó÷èì êîýôôèöèåíò ïðè maxi |uhi j |:2(1 − σ)¯¯1ïðèτ 6 1,¯¯ 2(1 − σ)2(1−σ)τ¯1 −¯+h2τ=.¯¯h2h2 4(1 − σ)τ − 1 > 1 ïðè 2(1 − σ) τ > 1h2h2 ñèëó óñëîâèÿ (21.37) òåîðåìû ðåàëèçóåòñÿ ïåðâàÿ âîçìîæíîñòü, è ñëåäîâàòåëüíîmax |uhi j+1 | 6 max |uhi j | + τ max |fih j |.iÏóñòüi(21.39)imax max |uhi j | = max |uih j0 |.jÒîãäàiimax |uhi j | = max |uhi j0 | 6 max |uih j0 −1 | + τ max |fih j0 −1 |.ijiiiÏðèáàâëÿÿ ñþäà âñå ïðåäûäóùèå íåðàâåíñòâà (21.39) ïðè j = j0 −2, . . .
, j = 0, ïîëó÷èìmaxij|uhi j |6 max |ϕi | +iJXτ max |fih j−1 | 6 max |ϕi | + T max |fih j |.ij=1iijÒåîðåìà äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå 2. Ïðè σ = 1 îöåíêà (21.38) âåðíà íà ëþáîé ñåòêå. Ïðè σ = 0 (21.37)ñîâïàäàåò ñ (21.31), è äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè îöåíêè (21.38) äîëæíî áûòü âûïîëíåíîóñëîâèå (21.33). Åñëè æå σ = 1/2, òî îöåíêà (21.38) âåðíà ïðèτ /h2 6 1.(21.40)21.5 Ñåòî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ÔóðüåÏóñòü {xm } ñîâîêóïíîñòü ðàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ íà îñè Ox.
Áóäåì èñïîëüçîâàòüîáîçíà÷åíèåv(xm ) = vm ,m ∈ Z.Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî vm ∈ l2 , ò.å.XZ|vm |2 < ∞.(21.41)m∈Îïðåäåëåíèå 21.2. Áóäåì íàçûâàòü 2π -ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ(F vm )(ξ) =XZm∈ñåòî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå.vm e−imξ = ṽ(ξ)(21.42)246 21. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈÎïðåäåëåíèå 21.3. Îáðàòíûì ñåòî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå íàçûâàåòñÿ ñå-òî÷íàÿ ôóíêöèÿ(F−11ṽ)m =2πZ2πṽ(ξ)eimξ dξ = vm .(21.43)0Çàìå÷àíèå 21.2. Ñîîòíîøåíèå (21.42) íà ñàìîì äåëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììóðÿäà Ôóðüå, êîýôôèöèåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé íàìèñåòî÷íîé ôóíêöèè vm . Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ (21.43) åñòü ôîðìóëà äëÿ êîýôôèöèåíòîâÔóðüå 2π -ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ṽ(ξ).Çàìå÷àíèå 21.3.
Ìîæíî áûëî áû íàçûâàòü ñåòî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèþXF vm =Zhvm e−i(mh)ξ/h ≡ ṽ(ξ/h),ξ/h = ξ 0 ,(21.44)m∈ãäå h ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè óçëàìè h = xm − xm−1 . Òîãäà îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðèíÿëî áû âèä1F −1 ṽ =2πhZ2π1ṽ(ξ 0 )ei(mh)ξ/h dξ =2π0Zπ/h0ṽ(ξ 0 )ei(mh)ξ dξ 0 .(21.45)−π/hÓñòðåìëÿÿ â (21.44) è â (21.45) h ê íóëþ, ïîëó÷èì îáû÷íûå ïðÿìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:Z∞F v(x) =v(x)e−ixξ dx = ṽ(ξ),−∞F−11ṽ(ξ) =2πZ∞ṽ(ξ)eixξ dξ = v(x).−∞Äëÿ äàëüíåéøåãî íàì ïîòðåáóåòñÿ èçâåñòíîå èç òåîðèè ðÿäîâ Ôóðüå ðàâåíñòâîÏàðñåâàëÿZ2π11 X|ṽ|2 dξ =: kṽk2L2 (0,2π) =kvm k2l2 :=|vm |2 .(21.46)2π2πZm∈0Ïóñòü T åñòü îïåðàòîð ñäâèãà íàïðàâî, ò.å.T vm = vm+1 .Îáðàòíûì ê íåìó áóäåò îïåðàòîð ñäâèãà íàëåâîT −1 vm = vm−1 .21.6. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÏÎ ÍÀ×ÀËÜÍÛÌ ÄÀÍÍÛÌ247Íàéäåì ñåòî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ýòèõ îïåðàòîðîâXF (T vm ) =vm+1 e−imξ e−iξ eiξ = eiξ ṽ(ξ).Zm∈Àíàëîãè÷íîF (T −1 vm ) = e−iξ ṽ(ξ).Òåïåðü íàéäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàçíîñòíûõ îòíîøåíèé.
ÈìååìF vx,m=1eiξ − 1F (T − I)vm =ṽ(ξ),hh(21.47)F vx̄,m=1 − e−iξ1(I − T −1 )vm =ṽ(ξ),hh(21.48)F vx̄x,m ==1eiξ − 1 − 1 + e−iξF (vx,m − vx̄,m ) =ṽ(ξ) =hh2(eiξ/2 − e−iξ/2 )24 sin2 ξ/2ṽ(ξ)=−ṽ(ξ).h2h2(21.49)21.6 Óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì ðàçíîñòíîéñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèÐàññìîòðèì ðàçíîñòíóþ ñõåìó (21.19) ïðè f h ≡ 0 íà ñåòêå, çàäàííîé íà âñåé îñè Ox,ò.å. ïóñòüuht,m = σûhx̄x,m + (1 − σ)uhx̄x,m ,m ∈ Z.(21.50)Òåîðåìà 21.5.
Åñëè ïàðàìåòð σ ñõåìû (21.50) ïîëîæèòåëåí è óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþ1 h2−2 4τòî äëÿ ðåøåíèÿ (21.50) èìååò ìåñòî àïðèîðíàÿ îöåíêàσ>max kuh j kLh2 6 kuh 0 kLh2 ,jj = 1, 2, . . . .(21.51)(21.52)Äîêàçàòåëüñòâî. Ñäåëàåì â (21.50) ñåòî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüåũt +4 sin2 ξ/2 ˆ(σ ũ + (1 − σ)ũ) = 0.h2ˆ,Ðàçðåøàÿ ýòî îáûêíîâåííîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ũïîëó÷èìũˆ = q(ξ)ũ,(21.53)248 21. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈãäå4τξsin22h2.4τξ1 + σ 2 sin2h21 − (1 − σ)q(ξ) =Èç (21.53)(21.54)ˆ L2 (0,2π) = kq(ξ)ũkL2 (0,2π) 6 max |q(ξ)| kũkL2 (0,2π) .kũk660 ξ 2πÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî L2 -íîðìà îáðàçà Ôóðüå ðåøåíèÿ íå áóäåò âîçðàñòàòü, åñëè(21.55)|q(ξ)| 6 1.Ïðè ýòîìˆ L2 (0,2π) 6 kũkL2 (0,2π) 6 · · · 6 kũ0 kL2 (0,2π) .kũkÏðèíèìàÿ òåïåðü âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (21.46), ïðèõîäèì ê (21.52).Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî (21.55) ñëåäóåò èç (21.51).
Òàê êàê σ > 0, òî çíàìåíàòåëü â(21.54) ïîëîæèòåëåí, è âñåãäà q 6 1. Îñòàëîñü ïðîâåðèòü óñëîâèå q > −1, êîòîðîåýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ4τξ2 − (1 − 2σ) 2 sin2 > 0h2èëèh21 − 2σ 6.2 ξ2τ sin2Íî ýòî óñëîâèå áóäåò âûïîëíåíî, åñëèh21 − 2σ 6 minξ2τ sin2ξ2=h2,2τ÷òî ýêâèâàëåíòíî (21.51). Òåîðåìà äîêàçàíà.Óïðàæíåíèå 21.2. Ðàññìîòðåòü íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå è óñòàíîâèòü îöåíêóðåøåíèÿ ÷åðåç ïðàâóþ ÷àñòü. 22Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿêîëåáàíèé ñòðóíû22.1 ÀïïðîêñèìàöèÿÐàññìîòðèì äðóãîé ïðèìåð óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè óðàâíåíèå êîëåáàíèé ñòðóíû∂2u∂ 2u=, 0 < x < 1, 0 < t < T.(22.1)∂t2∂x2Ýòî ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå.
Êîððåêòíîé äëÿ íåãî ÿâëÿåòñÿ ñìåøàííàÿ çàäà÷à,íàïðèìåð,∂uu(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = ū(x),(x, 0) = ū¯(x).(22.2)∂tÃðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè x = 0 è x = 1 ïðåäïîëàãàþòñÿ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìèóñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà, à â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ ôóíêöèé âçÿòû íåêîòîðûå ôóíêöèèū(x) è ū¯(x).Êàê è ïðè ïîñòðîåíèè àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, àïïðîêñèìèðóåì ñíà÷àëà ïðîèçâîäíóþ ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé x.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èìçàäà÷óühi (t) = uhx̄x,i (t), i = 1, .
. . , N − 1,uh0 (t) = uhN (t) = 0,hu (xi , 0) = ū(xi ),(22.3)u̇ (xi , 0) = ū¯(xi ),hêîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó Êîøè äëÿ ñèñòåìû (N − 1) äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà. Òåïåðü ïðîèçâåäåì àïïðîêñèìàöèþ ïî âðåìåííîé ïåðåìåííîé: ïðîèçâîäíóþ ü(t) çàìåíèì âòîðûì ðàçíîñòíûì îòíîøåíèåìut̄t (tj ) ≡ [u(tj+1 ) − 2u(tj ) + u(tj−1 )]/τ 2 ,249250 22. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÑÒÐÓÍÛà ïðàâóþ ÷àñòü (22.3) ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé åå çíà÷åíèé ïðè t = tj−1 , t = tj èt = tj+1 .  ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòüuht̄t,i = σûhx̄x,i + (1 − 2σ)uhx̄x,i + σǔhx̄x,i ,i = 1, . . . , N − 1,(22.4)ãäå íàðÿäó ñ óæå ââåäåííûì ðàíåå îáîçíà÷åíèåì v̂i = vi (tj+1 ) ïðèíÿòî îáîçíà÷åíèåv̌i = vi (tj−1 ). Ïðàâàÿ ÷àñòü (22.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå îáùóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ,à ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ, ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî tj−1 è tj+1 .Ê óðàâíåíèÿì (22.4) íóæíî äîáàâèòü ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, êîòîðûåäîëæíû àïïðîêñèìèðîâàòü ñîîòâåòñòâåííî óñëîâèÿ (22.3)uh0 j = uhNj = 0,j = 0, .
. . , J,(22.5)uhi 0 =i = 1, . . . , N − 1.(22.6)ū(xi ),Âòîðîå èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé (22.3) ñîäåðæèò ïðîèçâîäíóþ. Àïïðîêñèìèðóÿ åå ïîäâóì òî÷êàì, ïîëó÷èìuht,i0 = ū¯(xi ), i = 1, . . . , N − 1.(22.7)Òåîðåìà 22.1. Åñëè ðåøåíèå u(x, t) óðàâíåíèÿ (22.1) îáëàäàåò íåïðåðûâíûìè ÷åòâåðòûìè ïðîèçâîäíûìè, òî ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû (22.4)åñòü O(τ 2 + h2 ).Äîêàçàòåëüñòâî.Ψji = σûx̄x,i + (1 − 2σ)ux̄x,i + σǔx̄x,i − ut̄t,i = στ 2 ux̄xt̄t,i + ux̄x,i − ut̄t,i =∂ 2u∂ 2u2=+O(h)−+ O(τ 2 ) = O(τ 2 + h2 ).∂x2∂t2Òåîðåìà äîêàçàíà.Íàéäåì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (22.7)∂uτ ∂2uτ ∂ 2u2¯(xi ) = −(xi , 0) −(x,0)+O(τ)+ū(xi , 0) + O(τ 2 ).i∂t2 ∂t22 ∂t2(22.8)Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (22.7) åñòü O(τ ).
Ïîñòðîèì äðóãóþàïïðîêñèìàöèþ ñ ïîãðåøíîñòüþ íå õóæå O(τ 2 + h2 ). Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçóåì (22.8). Â∂ 2u∂ 2uñèëó (22.1) 2 (x, 0) =(x, 0), è ïîýòîìó∂t∂x2◦ψ i = −u0t,i + ū¯(xi ) = −τ ∂ 2u(xi , 0) + O(τ 2 ).ψi = −22 ∂x◦Ïðèíèìàÿ òåïåðü âî âíèìàíèå (22.2), áóäåì èìåòü◦τψ i = − ū00 (xi ) + O(τ 2 ).222.2.
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÏÎ ÍÀ×ÀËÜÍÛÌ ÄÀÍÍÛÌ251τ¯(xi ) â (22.7) ïîëîæèòü ū¯(xi ) + ū00 (xi ),Îòñþäà è èç (22.8) ñëåäóåò, ÷òî åñëè âìåñòî ū2ò.å. íàïèñàòü óñëîâèåτuht,i0 = ū¯i + ū00i ,(22.9)2òî ïîãðåøíîñòü ýòîé àïïðîêñèìàöèè áóäåò O(τ 2 ). Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî åñëè âìåñòîū00i â (22.9) ïîäñòàâèòü ūx̄x,i , ò.å. âçÿòüτuht,i0 = ū¯i + ūx̄x,i ,2(22.10)òî ïîãðåøíîñòü ýòîé àïïðîêñèìàöèè áóäåò O(τ 2 + h2 ).Àïïðîêñèìàöèÿ (22.10) âñåì õîðîøà çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî íî.
Èìåííî, äëÿ àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (22.1) ìû èñïîëüçîâàëè îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ðàçíîñòíûõ ñõåì, ñðåäè êîòîðûõ èìåþòñÿ êàê ÿâíàÿ (σ = 0), òàê è íåÿâíûå (σ 6= 0).Àïïðîêñèìàöèÿ æå (22.10) âñåãäà ÿâíàÿ. Âíåñåì ïàðàìåòð è â íà÷àëüíîå óñëîâèå.Ïóñòüτ10uht,i0 = ū¯i + [γuhx̄x,i+ (1 − γ)uhx̄x,i].2ßñíî, ÷òî ïîãðåøíîñòü ýòîé àïïðîêñèìàöèè ñíîâà íå õóæå O(τ 2 + h2 ). Íàêîíåö, ñîãëàñóåì ïàðàìåòð γ ñ ïàðàìåòðîì σ , ïîëàãàÿ γ/2 = σ . Àïïðîêñèìàöèÿ âòîðîãî íà÷àëüíîãîóñëîâèÿ (22.2) ïðèìåò ñëåäóþùèé îêîí÷àòåëüíûé âèä110uht,i0 = τ σuhx̄x,i+ τ ( − σ)uhx̄x,i+ ū¯i .2(22.11)22.2 Óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûìÈññëåäóåì âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ñõåìû (22.4) ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Îãðàíè÷èìñÿèçó÷åíèåì çàäà÷è Êîøè, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
