В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Àíàëîãè÷íûåïðåäñòàâëåíèÿ èìåþò ìåñòî è äëÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé:ψ = g h − lh u = g h − g − (lh u − lu) = (g h − g) − ψu .(19.20)Îïðåäåëåíèå 19.6. Çàäà÷à (19.12), (19.13) àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (19.10), (19.11),åñëè Ψ è ψ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè h → 0 âìåñòå ñ Ψu è ψu .Îïðåäåëåíèå 19.7. Ðåøåíèå çàäà÷è (19.12), (19.13) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è(19.10), (19.11), åñëè z → 0 (â êàêîì-ëèáî ñìûñëå) ïðè h → 0.Îïðåäåëåíèå 19.8.
Çàäà÷à (19.12), (19.13) àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (19.10), (19.11)ñ ïîãðåøíîñòüþ ïîðÿäêà n > 0, åñëèkΨu k(1) = o(1),kψu k(2) = o(1),kΨk(1) = O(hn ),kψk(2) = O(hn )Îïðåäåëåíèå 19.9. Ðåøåíèå çàäà÷è (19.12), (19.13) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è(19.10), (19.11) ñî ñêîðîñòüþ O(hn ), åñëèkzk(3) = O(hn ).Ïðîèëëþñòðèðóåì ââåäåííûå ïîíÿòèÿ íà ïðèìåðå çàäà÷è (19.1), (19.2). Òàê êàê âäàííîì ñëó÷àå L = −d2 v/d x2 , àLh v = −òî, â ñèëó (19.7),v(xi+1 ) − 2v(xi ) + v(xi−1 ),h2Ψv = O(h2 ),ò.å.
äèôôåðåíöèàëüíîå âûðàæåíèå v 00 àïïðîêñèìèðóåòñÿ ðàçíîñòíûì âûðàæåíèåì (vi+1 −2vi + vi−1 )/h2 íà ôóíêöèÿõ v(x) ∈ C 4 ñ ïîãðåøíîñòüþ O(h2 ).19.3. ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÜ È ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ207Äàëåå, òàê êàê fih = f (xi ), òî ñ ó÷åòîì (19.19) çàêëþ÷àåì, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå (19.1) àïïðîêñèìèðóåòñÿ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì (19.8) ñ ïîãðåøíîñòüþO(h2 ), åñëè u(x) ∈ C 4 [0, l].Íàêîíåö,lu = {u(0), u(1)},lh u = {u0 , uN },g = {g0 , g1 } = g h ,òàê ÷òîψ = g h − lh u = 0.Èòàê, çàäà÷à (19.8), (19.9) àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (19.1), (19.2) (ïðè u(x) ∈ C 4 [0, l] )ñ ïîãðåøíîñòüþ O(h2 ).Î÷åâèäíî, ÷òî, åñëè âìåñòî óðàâíåíèÿ (19.1) ðàññìîòðåòü óðàâíåíèåL1 u := −u00 (x) + q(x)u(x) = f (x),x ∈ (0, 1)(19.21)i = 1, N − 1(19.22)è àïïðîêñèìèðîâàòü åãî ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåìLh1 uhuhi+1 − 2uhi + uhi−1+ q(xi )uhi = f (xi ),:= −2hòî çàäà÷à (19.22), (19.9) áóäåò àïïðîêñèìèðîâàòü çàäà÷ó (19.21), (19.2) òîæå ñ ïîãðåøíîñòüþ O(h2 ).19.3 Ðàçðåøèìîñòü è ñõîäèìîñòüÈññëåäóåì âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è ê ðåøåíèþ çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé.
Äëÿ óðàâíåíèÿ (19.21) ýòî ñäåëàòü íåñêîëüêî ïðîùå, ÷åì äëÿ óðàâíåíèÿ(19.1). Ïîýòîìó ê íåìó ìû è îáðàòèìñÿ. Íî ñíà÷àëà óñòàíîâèì ñóùåñòâîâàíèå èåäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (19.22), (19.9).Òåîðåìà 19.1. Åñëèq(x) > c1 > 0,0 < x < 1,(19.23)òî ðåøåíèå çàäà÷è (19.22), (19.9) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî, è äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâààïðèîðíàÿ îöåíêà|fi |.(19.24)max |uhi | 6 |g0 | + |g1 | + maxiic1Äîêàçàòåëüñòâî. Çàäà÷à (19.22), (19.9) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà (N +1). Ïîýòîìó âñåãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðàâàÿ ÷àñòü [g0 , f1 , .
. . , fN −1 , g1 ] ýòîé ñèñòåìû (áåðåòñÿ ïåðâîå óðàâíåíèåèç (19.9), çàòåì ïîñëåäîâàòåëüíî âñå óðàâíåíèÿ (19.22) è, íàêîíåö, âòîðîå óðàâíåíèå(19.9)), ÷òî ðåøåíèå uh ñóùåñòâóåò. Íàïðèìåð, âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé íàáîð ÷èñåë208 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌuh0 , uh1 , .
. . , uhN è ïîäñòàâèì åãî â ëåâûå ÷àñòè (19.22), (19.9). Ýòèì ìû îïðåäåëèì ïðàâûå÷àñòè (19.22), (19.9), ïðè êîòîðûõ ðåøåíèå çàâåäîìî ñóùåñòâóåò.Ïîëó÷èì àïðèîðíóþ îöåíêó ýòîãî ðåøåíèÿ. Ïóñòümax |uhi | = |uhi0 |.iÅñëè i0 = 0 èëè i0 = N , òî â ñèëó (19.9)max |uhi | 6 max{|g0 |, |g1 |} 6 |g0 | + |g1 |,i(19.25)÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ (19.24).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìàêñèìóì ìîäóëÿ äîñòèãàåòñÿ âî âíóòðåííåì óçëå xi0 ∈ ω .
Çàïèøåì óðàâíåíèå (19.22) â ýòîì óçëå−Åñëè uhi0 > 0, òîuhi0 −1 − 2uhi0 + uhi0 +1+ qi0 uhi0 = fi0 .h2−[(uhi0 −1 − uhi0 ) + (uhi0 +1 − uhi0 )] > 0/\\0è, ñëåäîâàòåëüíî,/\\0qi0 uhi0 6 fi0 .Îòñþäà ñ ó÷åòîì (19.23)fi016max |fi |.qi0c1 i0 6 uhi0 6Åñëè æå uhi0 < 0, òî−[(uhi0 −1 − uhi0 ) + (uhi0 +1 − uhi0 )] 6 0\//0è, ñëåäîâàòåëüíî,Îòñþäà(19.26)(19.27)\//0qi0 uhi0 > fi0 .−qi0 |uhi0 | > fi0è ñíîâà|uhi0 | 6 −1fi06max |fi |.qi0c1 i(19.28)Ñîáèðàÿ îöåíêè (19.25), (19.26), (19.28), ïðèõîäèì ê (19.24). Àïðèîðíàÿ îöåíêà ïîëó÷åíà.Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ðåøåíèå åäèíñòâåííî. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å. äîïóñòèìñóùåñòâîâàíèå äâóõ ðåøåíèé uh(1) è uh(2) . Î÷åâèäíî, ÷òî èõ ðàçíîñòü z = uh(1) − uh(2)óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (19.22) è îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì(19.9).
 ñèëó àïðèîðíîé îöåíêè (19.24)max |zi | 6 0.i19.3. ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÜ È ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ209Ñëåäîâàòåëüíî, zi ≡ 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Ìû äîêàçàëè, ÷òî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà (19.22), (19.9) èìååò ëèøü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöàýòîé ñèñòåìû íåâûðîæäåíà, è çàäà÷à (19.22), (19.9) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðèëþáûõ g0 , g1 è fi . Òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 19.2. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (19.23), è ðåøåíèå u(x) çàäà÷è (19.21), (19.2)ïðèíàäëåæèò C 4 [0, l], òî ðåøåíèå uh çàäà÷è (19.22), (19.9) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþçàäà÷è (19.21), (19.2) ñî ñêîðîñòüþ O(h2 ), ò.å.¯¯¯u(xi ) − uhi ¯= O(h2 ).Äîêàçàòåëüñòâî.
Íàïèøåì çàäà÷ó äëÿ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ zi = uhi − u(xi ).Áóäåì èìåòüzi+1 − 2zi + zi−1+ qi z i = Ψ i ,z0 = zN = 0.h2Ê çàäà÷å (19.29)ïðèìåíèì òåîðåìó 19.1, â ñèëó êîòîðîé−max |zi | 6i(19.29)1max |Ψi |.c1 iÍî â ñèëó âûøåäîêàçàííîãî Ψi = O(h2 ), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.Çàìå÷àíèå 19.3. Áîëåå äåòàëüíûé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òîmax |uhi − u(xi )| 6i1h2max |uIV (x)| .c1 x∈[0,l]12Òåîðåìà 19.3 (Î ìîíîòîííîñòè). Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèåqi > 0,i = 1, N − 1,(19.30)à ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ Ui , i = 0, N òàêîâà, ÷òîU0 > 0,èLh1 Ui > 0,UN > 0i = 1, N − 1,òîUi > 0,i = 1, N − 1.(19.31)(19.32)(19.33)Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å.
äîïóñòèì, ÷òî ôóíêöèÿ Ui ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé óçåë xi0 , i0 ∈ {1, 2, . . . , N−1},÷òîmin Ui = Ui0 < 0(19.34)iè â ñèëó (19.27)−(Ui0 −1 − 2Ui0 + Ui0 +1 ) 6 0.210 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌÈññëåäóåì îáå ýòè âîçìîæíîñòè. Åñëè −(Ui0 −1 − 2Ui0 + Ui0 +1 ) < 0, òî ñ ó÷åòîì (19.30)è (19.34)Lh1 Ui0 = −Ui0 −1 − 2Ui0 + Ui0 +1 + qi0 Ui0 < 0,è ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ (19.32). Åñëè (Ui0 −1 − 2Ui0 + Ui0 +1 ) = 0, à qi0 6= 0,ìû ñíîâà ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå. Äëÿ âûõîäà èç ýòèõ ïðîòèâîðå÷èé ìû äîëæíûïðåäïîëîæèòü, ÷òî qi0 = 0 è (Ui0 −1 − 2Ui0 + Ui0 +1 ) = 0.
Íî â ñèëó (19.27), (19.34)ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Ui0 −1 = Ui0 = Ui0 +1 < 0, è â êà÷åñòâå i0 èç (19.34) ìîæíî âçÿòüòàêæå (i0 − 1) èëè (i0 + 1). Äåëàÿ ýòîò âûáîð, ìû òåìè æå ðàññóæäåíèÿìè ïðèõîäèìê óòâåðæäåíèþ, ÷òî è Ui0 −2 = Ui0 (èëè Ui0 +2 = Ui0 ). È ò.ä. Ïîñêîëüêó â ñèëó (19.31),(19.34) ôóíêöèÿ Ui , i = 0, N íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé, òî ñóùåñòâóåò òàêîé óçåë xi1 ,i1 ∈ {1, 2, . . . , N − 1}, ÷òî Ui1 = Ui0 , à Ui1 −1 èëè Ui1 +1 áîëüøå Ui1 .  ýòîì óçëå −(Ui1 −1 −2Ui1 + Ui1 +1 ) < 0, è ìû âåðíóëèñü ê óæå ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ, êîòîðûé ïðèâåëíàñ ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ (19.32).
Âñå ïðîòèâîðå÷èÿ ñíèìàþòñÿ, åñëè ìû îòêàæåìñÿ îòïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî Ui ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà.Îïðåäåëåíèå 19.10. Ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè ëþáîé âåêòîð x, äëÿêîòîðîãî Ax > 0, ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì.Òåîðåìà 19.4 (Ïðèíöèï ñðàâíåíèÿ). Ïóñòü uhi ðåøåíèå çàäà÷è (19.22), (19.9),à Ui ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è:Lh1 Ui = Fi ,i = 1, N − 1,U0 = G0 ,UN = G1 .Ïóñòü|fi | 6 Fi ,|g0 | 6 G0 ,|g1 | 6 G1 .(19.35)Òîãäà, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (19.30), òî|uhi | 6 Ui ,i = 1, N − 1.(19.36)Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ (Ui − uhi ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷èLh1 (U − uh )i = Fi − fi ,i = 1, N − 1,U0 − uh0 = G0 − g0 ,UN − uhN = G1 − g1 . ñèëó (19.35) è òåîðåìû 19.3 çàêëþ÷àåì, ÷òî Ui − uhi > 0.
Èç àíàëîãè÷íûõ ñîîáðàæåíèé íàõîäèì, ÷òî è Ui + uhi > 0. Òåì ñàìûì, −Ui 6 uhi 6 Ui , è òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 19.4. Ôóíêöèÿ Ui èç (19.36) íàçûâàåòñÿ áàðüåðîì.Òåîðåìà 19.5. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (19.22), (19.9) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (19.30)ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêàmax |uhi | 6 |g0 | + |g1 | +il2max |fi |.8 i19.4. ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ñ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÌÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÌÈ211Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ(19.37)Ui = |g0 |(1 − xi ) + xi |g1 | + c xi (1 − xi ) > 0,ãäå c > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Î÷åâèäíî, ÷òî U0 = |uh0 |, UN = |uhN |. Ëåãêîïðîâåðèòü, ÷òîLh1 Ui = 2c + qi Ui =: Fi > 2c.Ïóñòü c = 1/2 max |fi |. Òîãäà |fi | 6 Fi , è ìû íàõîäèìñÿ â óñëîâèÿõ òåîðåìû 19.4, ò.å.|uhi | 6 Ui . Íîimax Ui 6 |g0 | + |g1 | + c/4.iÒåîðåìà äîêàçàíà.Óïðàæíåíèå 19.2. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó î ñêîðîñòè ñõîäèìîñòèðàçíîñòíîé çàäà÷è (19.22), (19.9).19.4 Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìèÐàññìîòðèì îáùåå ñàìîñîïðÿæåííîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäê൶ddu−p(x)+ q(x)u = f (x),0 < x < 1.dxdx(19.38)è èçó÷èì âîïðîñ î åãî àïïðîêñèìàöèè. Íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ âïîëíå åñòåñòâåííûì ðàçäèôôåðåíöèðîâàòü ïåðâîå ñëàãàåìîå ëåâîé ÷àñòè (19.38)−p(x)dud2 u0−p(x)+ q(x)u = f (x)d x2dx(19.39)è â ýòîì âèäå çàìåíèòü d2 u/dx2 è du/dx ñîîòâåòñòâóþùèìè ðàçíîñòíûìè îòíîøåíèÿìè.
Íî òàê ïîñòóïàòü ïëîõî â ñèëó öåëîãî ðÿäà ïðè÷èí.  ÷àñòíîñòè, óðàâíåíèå (19.38)ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëüíî ñàìîñîïðÿæåííûì ïî Ëàãðàíæó (ñèììåòðè÷íûì, ò.å. åñëè Lv :=R1R1−(pv 0 )0 +qv , à u(x) è v(x) îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè x = 0 è x = 1, òî vLu d x = uLv d x.00Ñðàâíèòü ñ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé A = AT (Ax, y) = (x, Ay)). Åñëè æå àïïðîêñèìèðîâàòü (19.39), êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî (19.38) ïðè ãëàäêîé p(x), òî àïïðîêñèìàöèÿ,âîîáùå ãîâîðÿ, ñèììåòðè÷íîé íå áóäåò.
Óðàâíåíèå (19.38) íóæíî àïïðîêñèìèðîâàòüñðàçó â èñõîäíîì âèäå.Ïîñòðîèì àïïðîêñèìàöèþ (19.38) ïðè ïîìîùè èíòåãðî - èíòåðïîëÿöèîííîãî ìåòîäà (ìåòîäà áàëàíñà, ìåòîäà êîíå÷íûõ îáúåìîâ). Ïóñòü xi±1/2 = xi ± h/2. Ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (19.38) ïî îòðåçêó (xi−1/2 , xi+1/2 ).
Áóäåì èìåòü− p(xi+1/2 )u0 (xi+1/2 ) + p(xi−1/2 )u0 (xi−1/2 )+Z xi+1/2+[q(x)u(x) − f (x)] d x = 0.xi−1/2(19.40)212 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌÇàìåíèì â (19.40) èíòåãðàë êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé ïðÿìîóãîëüíèêîâ, à ïðîèçâîäíûå ñîîòâåòñòâóþùèìè ðàçíîñòíûìè îòíîøåíèÿìè. Èìåííî×xi−1/2xi−1xi×xi+1/2xi+1Ðèñ. 1xi+1/2Z[q(x)u − f (x)] dx ≈ qi ui h − fi h,(19.41)xi−1/2ui − ui−1ui+1 − ui, u0i−1/2 ≈.hhÏîäñòàâëÿÿ (19.41) â (19.40), ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
