В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 23
Текст из файла (страница 23)
çàìåíèì n+1íà n:kXun − un−1 = τbj f (un−j ).j=1Ñðàâíèâàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå ñ (17.17), íàõîäèì, ÷òîα0 = 1, α1 = −1, α2 = · · · = αk = 0, β0 = 0, bj = βj , j = 1, k.Îïðåäåëèì, äëÿ êàêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ÿâíûå ìåòîäû Àäàìñà òåîðåòè÷åñêè äàþò òî÷íîå ðåøåíèå â óçëàõ ñåòêè. Ýòî ïðîèçîéäåò â òîì ñëó÷àå, êîãäà èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Lk−1 (t), îïðåäåëÿþùèé ÿâíûé ìåòîä Àäàìñà, ñîâïàäàåò ñf (u) èëè ñ f (t, u). Ïóñòü f (t, u(t)) = f (t), ò.å.
f íå çàâèñèò îò u è ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîìñòåïåíè íå âûøå k −1. Òîãäà f (t) ñîâïàäàåò ñî ñâîèì èíòåðïîäÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîìLk−1 (t), è ÿâíûé ìåòîä Àäàìñà òî÷åí äëÿ óðàâíåíèéu0 = qtq−1 ,q = 0, . . . , k.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè (17.19) íà ðåøåíèÿõ ýòèõ óðàâíåíèéðàâíà íóëþ. Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé u = tq â (17.19) ïðè n = 0, ïîëó÷èìψ0 =k ·Xβj q(−τ j)j=0q−1¸1q− αj (−τ j) = 0,τq = 0, . . . , k,÷òî ñîâïàäàåò ñ ïåðâûìè (k + 1) óðàâíåíèÿìè (17.20). Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè, ÷òîÿâíûé k -øàãîâûé ìåòîä Àäàìñà èìååò ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè íå íèæåk . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åãî ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè â òî÷íîñòè ðàâåí k .Óïðàæíåíèå 17.4. Äîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè íåÿâíîãî k -øàãîâîãîìåòîäà Àäàìñà íå íèæå k + 1.Óïðàæíåíèå 17.5.
Äîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè k -øàãîâîé ôîðìóëûäèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä íå íèæå k .17.5. ÏÎÓ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÏÐÈÌÅÐ18117.5 Ïîó÷èòåëüíûé ïðèìåðÏîñòðîèì äâóõøàãîâûé ÿâíûé ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè. Ñîãëàñíî ðàíåå ñêàçàííîìó, ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ýòîãî ìåòîäà äîëæåí áûòü ðàâåí òðåì.Èç (17.20), (17.23) èìååìα0 + α1 + α2= 0,α1 + 2α2 = − (β0 + β1 + β2 ),α1 + 4α2 = −2(β1 + 2β2 ),α1 + 8α2 = −3(β1 + 4β2 ),β0 + β1 + β2 = 1,β0 = 0.Ðàçðåøàÿ ýòó ëèíåéíóþ ñèñòåìó, íàõîäèì, ÷òî1α0 = ,62α1 = ,35α2 = − ,62β1 = ,31β2 = .3Òåì ñàìûì, ìåòîä (17.17) ïðèîáðåòàåò âè䵶·¸14521un + un−1 − un−2 = τ fn−1 + fn−2 .66633(17.24)Ïðèìåíèì ýòîò ìåòîä ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (17.1) ñ f (u) = λu, ãäå λ=const.
Áóäåìïðè ýòîì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî íà÷àëüíîå çíà÷åíèå u0 = 1.  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à (17.1)ïðèìåò âèäu0 (t) = λu, u(0) = 1,(17.25)à åå ðåøåíèåì áóäåò ôóíêöèÿu(t) = eλt .(17.26)Îòâå÷àþùèé (17.25) ìåòîä (17.17) ìîæíî çàïèñàòü òàêkX(αj − τ λβj )un−j = 0,(17.27)j=0à ïðèìåíèòåëüíî ê ìåòîäó (17.24)µ¶µ¶4 25 11un +− τ λ un−1 + − − τ λ un−2 = 0.66 36 3(17.28)Ýòî åñòü ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè (ñì. 6).
Íàéäåì åãî ðåøåíèå. Äëÿ ýòîãî íóæíî íàïèñàòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, îòâå÷àþùåå ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (17.28), è íàéòè åãî êîðíè.Èñêîìîå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèäq 2 + 4(1 − τ λ)q − (5 + 2τ λ) = 0,(17.29)182 17. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÅ ÌÅÒÎÄÛà åãî êîðíè ñóòü√9 − 6τ λ + 4τ 2 λ2 = 1 + τ λ + O(τ 2 λ2 ),√q2 = −2 + 2τ λ − 9 − 6τ λ + 4τ 2 λ2 = −5 + O(τ λ).q1 = −2 + 2τ λ +(17.30)Óïðàæíåíèå 17.6. Äîêàçàòü, ÷òî q1 − eτ λ = O(τ 4 λ4 ).Ïîñêîëüêó êîðíè (17.30) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ðàçëè÷íû, òî îáùåå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (17.28) èìååò âèäun = c1 q1n + c2 q2n ,(17.31)ãäå c1 è c2 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.Ðàññìàòðèâàåìûé íàìè ìåòîä (17.24) ÿâëÿåòñÿ äâóõøàãîâûì, è îäíîãî íà÷àëüíîãîóñëîâèÿu0 = 1(17.32)äëÿ åãî ðåàëèçàöèè íåäîñòàòî÷íî.
Ïîñêîëüêó òî÷íîå ðåøåíèå íàì èçâåñòíî, òî íåáóäåì ëîìàòü ãîëîâó íàä òåì, êàê çàäàòü íåäîñòàþùåå íà÷àëüíîå óñëîâèå ïðè n = 1,à ïðîñòî ïîëîæèìu1 = u(t1 ) = eτ λ .(17.33)Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ðåøåíèå (17.31) óäîâëåòâîðÿëî óñëîâèÿì (17.32), (17.33). Ïîñëåïðîñòûõ âû÷èñëåíèé íàõîäèì, ÷òî èñêîìîå ðåøåíèå èìååò âèäun =eτ λ − q2 n q1 − eτ λ nq +q .q1 − q2 1q1 − q2 2(17.34)Èçó÷èì ïîâåäåíèå ýòîãî ðåøåíèÿ ïðè n → ∞. Ïóñòü t = nτ ôèêñèðîâàíî, à τ → 0.Òîãäà n = t/τ → ∞. Ñ ó÷åòîì (17.30) è óïðàæíåíèÿ 17.6 íàõîäèì, ÷òîeτ λ − q21 + O(τ ) + 5== 1 + O(τ ),q1 − q26 + O(τ )q1 − eτ λO(τ 4 )c2 === O(τ 4 ).q1 − q26 + O(τ )(17.35)£¤nq1n = eτ λ + O(τ 4 ) = eλτ n (1 + O(τ 4 ))n = eλt (1 + O(τ 3 )).(17.36)c1 =Äàëåå,Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü (17.35), (17.36), (17.30) â (17.34), áóäåì èìåòüun = [1 + O(τ )] etλ + O(τ 4 ) [−5 + O(τ )]n .Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.
Ïåðâîå ñëàãàåìîå àïïðîêñèìèðóåò ðåøåíèå(17.26) çàäà÷è (17.25), à âòîðîå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ ïàðàçèòíûì. Óæå ïðè íå ñëèøêîìáîëüøèõ n ýòî ñëàãàåìîå ïðåâîñõîäèò ïåðâîå, èáîõ ¶ ! µµ ¶¶n4ttn4.−5 + OO(τ ) [−5 + O(τ )] = OnnÌåòîä (17.28) ñõîäÿùèìñÿ íå ÿâëÿåòñÿ. 18Óñòîé÷èâîñòü ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ18.1 Íóëü-óñòîé÷èâîñòüÎáðàòèìñÿ ê ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (17.27) è ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿρ(ζ) :=kXαj ζ k−j ,σ(ζ) :=kXj=0βj ζ k−j .(18.1)j=0Îïðåäåëåíèå 18.1. Ìíîãî÷ëåíû ρ(ζ) è σ(ς) èç (18.1) íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííîïåðâûì è âòîðûì ïðîèçâîäÿùèìè ìíîãî÷ëåíàìè ëèíåéíîãî ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà(17.17).Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) äëÿ óðàâíåíèÿ(17.25) ïðèíèìàåò âèä ëèíåéíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè (17.27).
Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå åñòüρ(q) − τ λσ(q) = 0.(18.2)Ïðèìåíèòåëüíî ê äâóøàãîâîìó ìåòîäó (17.24)ρ(q) = q 2 + 4q − 5,à êîðíè óðàâíåíèÿρ(q) = 0(18.3)ñóòüq1 = 1,q2 = −5,ò.å. ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè ÷ëåíàìè êîðíåé (17.30) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ(17.29).Èìåííî íàëè÷èå êîðíÿ q2 è ïðèâåëî ê íåóñòîé÷èâîñòè ìåòîäà (17.24). Òåì ñàìûì,êîðíè óðàâíåíèÿ (18.3) ïîçâîëÿþò ñóäèòü îá óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ìåòîäà (17.17).
À îíè ñâÿçàíû ñ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (18.2).  ñèëó (17.18), α0 6= 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ñòåïåíè óðàâíåíèé (18.2) è (18.3) ñîâïàäàþò.183184 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂÏîýòîìó õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (18.2) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåãóëÿðíîåâîçìóùåíèå (ïðè ìàëûõ τ λ) óðàâíåíèÿ (18.3) (îáúÿñíåíèå òåðìèíîâ: êîýôôèöèåíòûìíîãî÷ëåíà ρ(ζ) ñóòü ïðåäåëû ïðè τ λ → 0 ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà, è ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î âîçìóùåíèè; ðåãóëÿðíîñòüåñòü ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ñòåïåíè âîçìóùåííîãî è íåâîçìóùåííîãî ìíîãî÷ëåíîâ ñîâïàäàþò). Íî òîãäà (â ñèëó ðåãóëÿðíîñòè âîçìóùåíèÿ) êîðíè óðàâíåíèÿ (18.3) ÿâëÿþòñÿïðåäåëàìè êîðíåé óðàâíåíèÿ (18.2) ïðè τ λ → 0.
Ïîýòîìó âîïðîñ î òîì, áóäåò ëèðåøåíèå óðàâíåíèÿ (17.27) íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàòü ïðè n → ∞ (è ôèêñèðîâàííîìt = nτ ), ìîæíî ðåøèòü ïðè àíàëèçå êîðíåé óðàâíåíèÿ (18.3). Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå(18.3) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì äëÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿkXαj un−j = 0,(18.4)j=0êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîëó÷àåòñÿ èç (5.27), åñëè â íåì ïîëîæèòü λ = 0.
Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî (18.4) åñòü ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä äëÿ óðàâíåíèÿu0 = 0.(18.5)Òåì ñàìûì, îòáðàêîâêà "ïëîõèõ"(íåóñòîé÷èâûõ) ìåòîäîâ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíàïðè àíàëèçå èõ ñâîéñòâ ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèþ (18.5).Èòàê, íàëè÷èå ó óðàâíåíèÿ (18.3) êîðíåé, ìîäóëè êîòîðûõ ïðåâîñõîäÿò åäèíèöó,ïðèâîäèò ê íåóñòîé÷èâîñòè. Îäíàêî îïàñíîñòü ïðåäñòàâëÿþò íå òîëüêî òàêèå êîðíè,íî è êîðíè, ðàâíûå ïî ìîäóëþ åäèíèöå, åñëè îíè êðàòíûå.  ñàìîì äåëå, ïóñòü q1 êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (18.3) êðàòíîñòè s > 1 òàêîé, ÷òî |q1 | = 1.Òîãäà ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿPs−1 (n)q1náóäåò ðàñòóùèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18.4), â òî âðåìÿ êàê ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (18.5),êîòîðîå è àïïðîêñèìèðóåò èçó÷àåìîå óðàâíåíèå (18.4), åñòü ïîñòîÿííàÿ.Îïðåäåëåíèå 18.2. Ãîâîðÿò, ÷òî ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) óäîâëåòâî-ðÿåò êîðíåâîìó óñëîâèþ, åñëè1) âñå êîðíè ïåðâîãî ïðîèçâîäÿùåãî ìíîãî÷ëåíà (18.1) ðàñïîëîæåíû â åäèíè÷íîìêðóãå |ζ| 6 1;2) íóëè ρ(ζ), ðàñïîëîæåííûå íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè |ζ| = 1 ïðîñòûå.Îïðåäåëåíèå 18.3.
Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17), óäîâëåòâîðÿþùèéêîðíåâîìó óñëîâèþ, íàçûâàåòñÿ íóëü-óñòîé÷èâûì (óñòîé÷èâûì).Çàìå÷àíèå 18.1. Åñëè ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) àïïðîêñèìèðóåò êàêîå-ëèáî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, òî ñðåäè íóëåé ρ(ζ) îáÿçàòåëüíî åñòü ζ = 1, î ÷åìñâèäåòåëüñòâóåò ïåðâîå èç óñëîâèé (17.20), ÿâëÿþùåå ñîáîé óñëîâèå ρ(1) = 0.18.1. ÍÓËÜ-ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ185Ïðèìåðû.
1◦ ßâíûé è íåÿâíûé ìåòîäû Àäàìñà.  îáîèõ ñëó÷àÿõ α0 = 1, α1 = −1,à îñòàëüíûå αj = 0. Ïîýòîìóρ(q) = q k − q k−1è, ñëåäîâàòåëüíî,q1 = 1,q2 = · · · = qk = 0.Ìåòîäû Àäàìñà íóëü-óñòîé÷èâû.2◦ Äâóõøàãîâàÿ ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä (17.16).31ρ(q) = q 2 − 2q + ,22q1 = 1, q2 = 1/3.Ìåòîä íóëü-óñòîé÷èâ.3◦ Òðåõøàãîâàÿ ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä (17.3)ρ(q) =11 331q − 3q 2 + q − .623Õîòÿ ýòî è ìíîãî÷ëåí òðåòüåé ñòåïåíè, íóëè åãî ëåãêî íàõîäÿòñÿ, èáî îäèí èç åãîíóëåé åñòü q1 = 1. Äåëÿ ρ(q) íà (q − 1), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ11 2 71q − q+ =0663ñ êîðíÿìèq2,3Îòñþäà√7 ± i 39=.22¯ ¯2 2¯q2,3 ¯ =< 1.11Ìåòîä íóëü-óñòîé÷èâ.Òåîðåìà 18.1 (Ïåðâûé áàðüåð Äàëêâèñòà).
Ïîðÿäîê p óñòîé÷èâîãî ëèíåéíîãîk -øàãîâîãîp6kp6k+1p6k+2ìåòîäà ïîä÷èíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îãðàíè÷åíèÿì:äëÿ ÿâíûõ ìåòîäîâ;äëÿ íåÿâíûõ ìåòîäîâ ïðè íå÷åòíîì k ;äëÿ íåÿâíûõ ìåòîäîâ ïðè ÷åòíîì k . êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû ìîæåò ñëóæèòü ïîñòðîåííûé íàìè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ÿâíûé äâóõøàãîâûé ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè p = 3, êîòîðûé îêàçàëñÿ íåóñòîé÷èâûì.Óïðàæíåíèå 18.1. Ïîñòðîèòü îáùèé ÿâíûé óñòîé÷èâûé äâóõøàãîâûé ìåòîä ìàê-ñèìàëüíîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè.186 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂÎòâåò: α0 ïàðàìåòð ìåòîäà,α1 = 1 − 2α0 ,β0 = 0,α2 = α0 − 1,11β1 = + α0 ,β2 = − α0 .22Óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè: 1/2 6 α0 < ∞.
Ïðè α0 = 1 èìååì ÿâíûé ìåòîä Àäàìñà, ïðèα0 = 1/2 ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ øàãîì τ 0 = 2τ . Ïðè α0 = 1/6 ìåòîä èìååòïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè O(τ 3 ), íî íåóñòîé÷èâ.Óïðàæíåíèå 18.2. Ïîñòðîèòü óñòîé÷èâûé äâóõøàãîâûé ìåòîä ìàêñèìàëüíîãîïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè.Îòâåò:α0 = 1/2,β0 = 1/6,α1 = 0, α2 = −1/2,β1 = 2/3, β2 = 1/6.Ýòîò ìåòîä èíîãäà íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ñèìïñîíà (ïî àíàëîãèè ñ îäíîèìåííîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé). Ìåòîä èìååò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè.18.2 Æåñòêèå çàäà÷èÏðè îïðåäåëåíèè íóëü-óñòîé÷èâîñòè ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà ìû ìîãëè îãðàíè÷èòüñÿ èçó÷åíèåì ïðîñòåéøåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (18.5), èáî ïðîèçâîäÿùèéìíîãî÷ëåí ρ(ζ) èç (18.1) ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà (17.17), îò ðàñïîëîæåíèÿ íóëåé êîòîðîãî çàâèñèò, áóäåò ëè ìåòîä óñòîé÷èâûì èëè íåò, ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèììíîãî÷ëåíîì èìåííî â ïðèìåíåíèè ê óðàâíåíèþ (18.5).
Óñëîâèå íóëü-óñòîé÷èâîñòèïðåäúÿâëÿåò ìèíèìàëüíûå òðåáîâàíèÿ ê ÷èñëåííîìó ìåòîäó, ïðîèçâîäÿ ëèøü ãðóáóþîòáðàêîâêó àáñîëþòíî íåïðèãîäíûõ äëÿ âû÷èñëåíèé ìåòîäîâ. Ïî ñóùåñòâó, íóëüóñòîé÷èâîñòü ìåòîäà îáåñïå÷èâàåò ëèøü îãðàíè÷åííîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ äëÿêîíå÷íîãî âðåìåííîãî èíòåðâàëà [0, T ] ïðè n → ∞.Îäíàêî èìåþòñÿ çàäà÷è, îòûñêàíèå ðåøåíèé êîòîðûõ ïðè ïîìîùè òîëüêî íóëüóñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ îêàçûâàåòñÿ âåñüìà çàòðóäíèòåëüíûì, åñëè íå íåâîçìîæíûì.Ïðîùå âñåãî îáúÿñíèòü âîçíèêàþùèå òðóäíîñòè íå íà ïðèìåðå îäíîãî óðàâíåíèÿ,à íà ïðèìåðå ñèñòåì óðàâíåíèé.Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèu0 = Au,ãäå u = [u1 u2 ]T , àu(0) = u0 ,¸a11 a12.A=a21 a22·(18.6)18.2.
ÆÅÑÒÊÈÅ ÇÀÄÀ×È187Íàéäåì è ïðîàíàëèçèðóåì ðåøåíèå çàäà÷è (18.6). Êàê îáû÷íî, áóäåì åãî èñêàòü ââèäåu(t) = ξeλt ,(18.7)ãäå ξ äâóìåðíûé ÷èñëîâîé âåêòîð, à λ ïîñòîÿííàÿ. Ïîäñòàâëÿÿ (18.7) â (18.6),íàõîäèì, ÷òîλξeλt = eλt Aξ,à, ñîêðàùàÿ íà eλt , ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:Aξ = λξ.(18.8)Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî A ìàòðèöà ïðîñòîé ñòðóêòóðû, ò.å. ó íåå èìååòñÿ ïîëíûéíàáîð ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
