В.Б. Андреев - Численные методы (1113834), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ïåðâàÿ èç íèõ ñîñòîèò â ïðåäñòàâëåíèè èíòåãðàëà ïðîèçâåäåíèåì äëèíû îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ è çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè âëåâîì êîíöå îòðåçêàZb(15.4)ϕ(x) dx ≈ |b − a|ϕ(a),aà âòîðàÿ ïðîèçâåäåíèåì äëèíû îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ è çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â ïðàâîì êîíöå îòðåçêàZ bϕ(x) dx ≈ |b − a|ϕ(b).(15.5)aÎáå ýòè ôîðìóëû òî÷íû òîëüêî íà ìíîãî÷ëåíàõ íóëåâîé ñòåïåíè è èìåþò ïîãðåøíîñòüO(|b − a|2 ).à) Ìåòîä Ýéëåðà. Çàìåíèì èíòåãðàë â (15.2) ôîðìóëîé ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ(15.4).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî(15.6)u(tn+1 ) − u(tn ) ≈ τ f (tn , u(tn )).Îïðåäåëèì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (15.1) êàê òàêóþ ñåòî÷íóþ ôóíêöèþ, çàäàííóþ íà ω , êîòîðîå ïðåâðàùàåò ñîîòíîøåíèå (15.6) â ðàâåíñòâî. Ðàçäåëèâ ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî íà τ , áóäåì èìåòüun+1 − un= f (tn , un ),τn = 0, 1, .
. . ,u0 = u(0).(15.7)Ñîîòíîøåíèå (15.7) ïîçâîëÿåò ðåêóððåíòíûì îáðàçîì íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèåâî âñåõ óçëàõ. ×èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è (15.1), ðåàëèçóåìûé ôîðìóëàìè(15.7), íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ýéëåðà .15.2. ÏÐÈÌÅÐÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ151á) Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà. Çàìåíèì òåïåðü èíòåãðàë â (15.2) ôîðìóëîé ïðàâûõïðÿìîóãîëüíèêîâ (15.5). Äëÿ îòûñêàíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ïîëó÷èì óðàâíåíèÿun+1 − un= f (tn+1 , un+1 ),τn = 0, 1, .
. . ,u0 = u(0).(15.8)Ñîîòíîøåíèÿ (15.8) êîðåííûì îáðàçîì îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòíîøåíèé (15.7): äëÿ îòûñêàíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ un+1 òåïåðü íóæíî ðåøàòü íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿun+1 − τ f (tn+1 , un+1 ) = un .Ìåòîä (15.8) íàçûâàåòñÿ íåÿâíûì ìåòîäîì Ýéëåðà . Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðîñòîòû âû÷èñëåíèé îí ñèëüíî óñòóïàåò îáû÷íîìó ìåòîäó Ýéëåðà (15.7).
Êàê áóäåò ïîêàçàíîïîçæå, ïî òî÷íîñòè îáà ìåòîäà ñðàâíèìû. Åùå ïîçæå áóäåò óñòàíîâëåíà ñóùåñòâåííîáîëüøàÿ óñòîé÷èâîñòü ìåòîäà (15.8) ïî ñðàâíåíèþ ñ (15.7).â) Ìåòîä Ðóíãå. Çàìåíèì èíòåãðàë â (15.2) ôîðìóëîé öåíòðàëüíûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ (15.3)u(tn+1 ) − u(tn ) ≈ τ f (tn+1/2 , u(tn+1/2 )).(15.9)Èñïîëüçîâàííûé íàìè ðàíåå ïðèåì ïîëó÷åíèÿ ÷èñëåííîãî ìåòîäà ïóòåì ïðåâðàùåíèÿïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà â òî÷íîå çà ñ÷åò çàìåíû u(tn ) íà un çäåñü íàïðÿìóþ íåïðîõîäèò: â ïðèáëèæåííîì ðàâåíñòâå ôèãóðèðóåò çíà÷åíèå f ïðè u â òî÷êå tn+1/2 , êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ óçëîâîé. Åñëè æå ìû âñå æå âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ïðèåìîì è ââåäåìïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â òî÷êå tn+1/2 , òî íàì ïîòðåáóåòñÿäîïîëíèòåëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â òî÷êå tn+1/2 .Îáîçíà÷èì ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ÷åðåç un+1/2 .
Òîãäà èç(15.9)un+1 − un= f (tn+1/2 , un+1/2 ),(15.10)τà äëÿ îòûñêàíèÿ un+1/2 íàïèøåì, íàïðèìåð, ñîîòíîøåíèå Ýéëåðà (15.7)un+1/2 − un= f (tn , un ).τ /2(15.11)Èòàê, â ìåòîäå (15.10), (15.11) âû÷èñëåíèå íîâîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ èñêîìîãî ðåøåíèÿ un+1 îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîýòàïíî. Ñíà÷àëà íàõîäèòñÿ ïðîìåæóòî÷íîåçíà÷åíèå un+1/2 ïî ôîðìóëå (15.11), à çàòåì è ñàìî un+1 èç (15.10). Âû÷èñëåíèÿ ïîîáåèì ôîðìóëàì ÿâíûå. Ìåòîä (15.10), (15.11) áûë ïðåäëîæåí íåìåöêèì ìàòåìàòèêîìÐóíãå è íîñèò åãî èìÿ.
Áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî òî÷íîñòü ìåòîäà (15.10), (15.11) âûøå, ÷åìòî÷íîñòü ìåòîäîâ (15.7) è (15.8); äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà âñå æå èñïîëüçîâàíà áîëååòî÷íàÿ êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà.Çàìå÷àíèå 15.1.  íåêîòîðûõ ó÷åáíèêàõ ïî ÷èñëåííûì ìåòîäàì ìåòîä (15.10),(15.11) íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ïðåäèêòîð-êîððåêòîð (ïðåäñêàçûâàþùå êîððåêòèðóþùèì).152 15. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÏÅÐÂÛÅ ÏÐÈÌÅÐÛã) Ìåòîä òðàïåöèé. Íàêîíåö, çàìåíèì èíòåãðàë â (15.2) ôîðìóëîé òðàïåöèé. Âðåçóëüòàòå ïîëó÷èìun+1 − unf (tn , un ) + f (tn+1 , un+1 )=,τ2n = 0, 1, . . . ,u0 = u(0).(15.12)Êàê è â ñëó÷àå íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà (15.8), ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà (15.12) òðåáóåòðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿτun+1 − f (tn+1 , un+1 ) = F (un ).2Áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî òî÷íîñòü ìåòîäà (15.12) ñðàâíèìà ñ òî÷íîñòüþ ìåòîäà Ðóíãå(15.10), (15.11), à ïî óñòîé÷èâîñòè îí çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ïîñëåäíèé è â ýòîìîòíîøåíèè áëèçîê ê íåÿâíîìó ìåòîäó Ýéëåðà (15.8).
Ìåòîä (15.12) èíîãäà íàçûâàþòìåòîäîì òðàïåöèé .15.3 Àïïðîêñèìàöèÿ.Îïðåäåëåíèå 15.1. Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿzn = un − u(tn ),n = 1, 2, . . .íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ ðåøåíèÿ.Çàìå÷àíèå 15.2. Ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ îïðåäåëåíà òîëüêî â óçëàõ îñíîâíîé ñåòêèω , íî íå â ïðîìåæóòî÷íûõ óçëàõ.Âûâåäåì óðàâíåíèå, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ â ìåòîäå Ýéëåðà (15.7).
Ïîäñòàâèâ un = zn + u(tn ) â (15.7), ïîëó÷èìzn+1 − zn u(tn+1 ) − u(tn )+= f (tn , u(tn ) + zn ).(15.13)ττÏðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïóòåì ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìóëå Òåéëîðàf (tn , u(tn ) + zn ) = f (tn , u(tn )) + zn∂f(tn , ũ),∂uãäåũ = u(tn ) + θzn ,0 < θ < 1.Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå â (15.13) è ïðåîáðàçîâûâàÿ, íàéäåì, ÷òî∂fzn+1 − zn=(tn , ũ)zn + ψn ,τ∂uãäåψn = f (tn , u(tn )) −Èñêîìîå óðàâíåíèå ïîëó÷åíî.u(tn+1 ) − u(tn ).τ(15.14)(15.15)15.3. ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß.153Îïðåäåëåíèå 15.2.
Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ψn , çàäàâàåìàÿ ñîîòíîøåíèåì (15.15), íà-çûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (15.1) óðàâíåíèåì (15.7).Çàìå÷àíèå 15.3. Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü ìåæ-äó ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿìè óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùåãî ÷èñëåííûé ìåòîä, åñëè òóäàâìåñòî ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ïîäñòàâèòü òî÷íîå.Îöåíèì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ìåòîäà Ýéëåðà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðàè ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óðàâíåíèå (15.1), â ïðåäïîëîæåíèè íåïðåðûâíîñòè âòîðîéïðîèçâîäíîé u(t), èç (15.15) áóäåì èìåòüψn = f (tn , u(tn )) −u(tn ) + τ u0 (tn ) +τ 2 00u (tn2+ θτ ) − u(tn )ττ 000= [f (tn , u(tn )) − u (tn )] + u (tn + θτ ) = O(τ ).2=Òåì ñàìûì, ìåòîä Ýéëåðà èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè.Óïðàæíåíèå 15.1.
Èññëåäîâàòü ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ìåòîäîâ (15.8) è(15.12).Óêàçàíèå. Äëÿ óïðîùåíèÿ âûêëàäîê ðàçëîæåíèå ïî ôîðìóëå Òåéëîðà â ìåòîäå(15.8) âåñòè â òî÷êå tn+1 , à â ìåòîäå (15.12) â òî÷êå tn+1/2 .154 15. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÏÅÐÂÛÅ ÏÐÈÌÅÐÛ 16Ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòû16.1 Îáùàÿ êîíöåïöèÿ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿdu= f (t, u),dtt > 0,u(0) = u0(16.1)è ñèñòåì òàêèõ óðàâíåíèé, íàèáîëåå øèðîêî èñïîëüçóåìûå â âû÷èñëèòåëüíîé ïðàêòèêå, äåëÿòñÿ íà äâà áîëüøèõ êëàññà: ìíîãîøàãîâûå ìåòîäû è ìåòîäû òèïà ÐóíãåÊóòòû. Âñå ïðèâåäåííûå â êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ÷èñëåííûå ìåòîäû îòíîñÿòñÿ ê ìåòîäàìÐóíãå-Êóòòû, õîòÿ íåêîòîðûå èç íèõ ìîãóò òðàêòîâàòüñÿ è êàê ìíîãîøàãîâûå (îäíîøàãîâûå).Ñåé÷àñ ìû îïèøåì îáùóþ êîíöåïöèþ ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòû.
Äëÿ ýòîãî âíîâüîáðàòèìñÿ ê èíòåãðàëüíîìó ñîîòíîøåíèþ (15.2), íà îñíîâå êîòîðîãî ìû ñòðîèëè èçëîæåííûå âûøå ìåòîäû. Íî ïðåæäå ñäåëàåì îäíî äîïóùåíèå îòíîñèòåëüíî óðàâíåíèÿ(16.1), êîòîðîå â äàëüíåéøåì ñóùåñòâåííî îáëåã÷èò íàì æèçíü. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü,÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü f ýòîãî óðàâíåíèÿ íå çàâèñèò ÿâíûì îáðàçîì îò t, ò.å.
f ≡ f (u) è,ñëåäîâàòåëüíî,du= f (u), t > 0, u(0) = u0 .(16.10 )dtÑäåëàííîå äîïóùåíèå íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì, èáî âñå ÷èñëåííûå ìåòîäû, ïîñòðîåííûå äëÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþò î÷åâèäíîå ðàñïðîñòðàíåíèå íà ñëó÷àé ñèñòåìû, ò.å., âîîáùå ãîâîðÿ, u ìîæíî ñ÷èòàòü âåêòîðîì. Åñëè æå f çàâèñèò ÿâíûìîáðàçîì îò t, òî, îáîçíà÷èâ íàïðèìåð, t = u0 (t) è îáúÿâèâ u0 (t) íîâîé íåèçâåñòíîé,óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþu00 (t) = 1,u0 (0) = 0,ìû ñâåäåì çàäà÷ó ê ðàíåå îãîâîðåííîìó ñëó÷àþ.155156 16.
ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛÈòàê, ïóñòü f = f (u). Ïåðåïèøåì äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ èíòåãðàëüíîå ñîîòíîøåíèå(15.2)Z tn+1u(tn+1 ) − u(tn ) =f (u) dt.(16.2)tnÑäåëàåì â èíòåãðàëå (16.2) çàìåíó ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîëàãàÿ(16.3)(t − tn )/τ = θ.Ýòà çàìåíà ïåðåâîäèò îòðåçîê [tn , tn+1 ] â [0, 1] òàê, ÷òîZ1u(tn+1 ) − u(tn ) = τf (û(θ)) dθ,0(16.4)ãäåû(θ) = u(t(θ)).Ïóñòü(16.5)0 6 θ1 < θ2 < · · · < θ s 6 1ñóòü óçëû, à b1 , b2 , . . .
, bs âåñà íåêîòîðîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû, àïïðîêñèìèðóR1þùåé èíòåãðàë ϕ(θ)dθ. Èñïîëüçóÿ ýòó ôîðìóëó äëÿ àïïðîêñèìàöèè èíòåãðàëà â0(16.4), áóäåì èìåòüu(tn+1 ) − u(tn ) ≈ τsXbi f (û(θi )) .(16.6)i=1×òîáû ïîëó÷èòü èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ÷èñëåííûé ìåòîä, íóæíî òî÷íûå çíà÷åíèÿèñêîìîãî ðåøåíèÿ çàìåíèòü íà ïðèáëèæåííûå, à ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî íàîáîðîòíà òî÷íîå. Íî ïðåæäå ìû äîëæíû ââåñòè äîïîëíèòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ. Áóäåì îáîçíà÷àòü çíà÷åíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â òî÷êå t, îòâå÷àþùåé óçëó êâàäðàòóðíîéôîðìóëû θi (t = tn + τ θi ) ÷åðåç Yi . Òîãäà èñêîìîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèäun+1 = un + τsX(16.7)bi f (Yi ).i=1×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ Yi , ïðîèíòåãðèðóåì (16.10 ) îò tn äîtn + τ θi è ñäåëàåì çàìåíó (16.3)ZZtn +τ θiû(θi ) − u(tn ) =θif (u(t)) dt = τtnf (û(θ)) dθ.0Çàìåíèì è çäåñü èíòåãðàë êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé ñ òåìè æå óçëàìè (16.5).
Ýòàêâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà áóäåò íåñêîëüêî ñâîåîáðàçíîé, èáî íå âñå åå óçëû áóäóò ëåæàòü16.2. ÎÄÍÎÝÒÀÏÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ157íà îòðåçêå èíòåãðèðîâàíèÿ. Ðàçóìååòñÿ, åå âåñà, âîîáùå ãîâîðÿ, äîëæíû áûòü îòëè÷íûîò bj è äàæå áûòü ñâîèìè äëÿ êàæäîãî i. ÏóñòüY i = un + τsXaij f (Yj ),i = 1, s.(16.8)j=1Ñîîòíîøåíèÿ (16.7), (16.8) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ÷èñëåííûé ìåòîä.Èòàê, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå un+1 (êîãäà un óæå íàéäåíî),ñíà÷àëà íóæíî ðåøèòü, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëèíåéíóþ ñèñòåìó (16.8) è îïðåäåëèòü Yi ,i = 1, s, êîòîðûå çàòåì ñëåäóåò ïîäñòàâèòü â (16.7).Îïðåäåëåíèå 16.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
