Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Положимu = arccos x , x 2 dx = dv . Тогда⎛ x3 ⎞ x31 x 3 dx2xarccosxdx.⎜⎟=arccosxd=arccosx+∫∫⎜ 3 ⎟ 33 ∫ 1− x2⎝ ⎠Образовавшийся в правой части интеграл ещё раз проинтегрируем по частям,− xdx( x ≤ 1) :1− x2x3x2x31arccos x −1− x2 +arccos x − ∫ x 2 d 1 − x 2 =3333положив на этот раз u = x ,2dv =()37§ 2. Основные методы интегрирования()3x3x22122arccosx−1− x2 + C .1− x2 −1−=xdx∫3933arctgxПример 6. ∫dx .x3dx1,Решение. Положим u = arctgx ,= dv . Тогда u ′ = 23xx +1arctgx1⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞v=− 2 и ∫dx = ∫ arctgxd ⎜ − 2 ⎟ =arctgx ⋅ ⎜ − 2 ⎟ −32xx⎝ 2x ⎠⎝ 2x ⎠dx11⎛ 1 ⎞ dx− ∫⎜− 2 ⎟⋅ 2= − 2 arctgx + ∫ 2 2=2 x x +12x⎝ 2x ⎠ x + 1( )+()()1 1+ x2 − x211dx = − 2 arctgx += − 2 arctgx + ∫ 2 22 x x +12x2xdx11 dx1 1+ ( ∫ 2 − ∫ 2 ) = − 2 arctgx + (− − arctgx ) + C =2 x2 xx +12x1⎞ 1⎛ 1+C.= − arctgx ⋅ ⎜ 2 + 1⎟ −2⎠ 2x⎝xПример 7.∫()u = a 2 − x 2 , dv = dx , откуда du = −a −x= x a2 − x2 − ∫− x 2 dxa −x22= x a2 − x2 − ∫a2 − x2 − a22∫Пример 8.a 2 − x 2 dx =∫Решение.
Положим u =u = arcsin t , du =2,− 2∫− 2∫интеграл2dt1x(0 < t ≤ 1) , тогда1− t12dtи dx = − 3 .2ttarcsin tdt . Интегрируя по частям, принявt3−32x=, dv = t dt , v = −1, имеем2t 2dtarcsin t⎛ 1 ⎞ arcsin t−∫=dt = ∫ arcsin td ⎜ 2 ⎟ =232tt⎝t ⎠t 1− t2arcsin t 1 d ⎜⎝ t 2 ⎟⎠ arcsin t=++=t2t22∫ 1t2Таким образом,Пример 10.∫ arcsin∫e− 3 x +11x−1dx = x arcsin1x1−1 + C .t2+ x −1 + C .dx .Решение. Положим t = −3 x + 1 , тогда x = −1 − t , dx = −3t dt и3x + k , dv = dx . Тогда I = ∫ x + k dx =22()2x 2 + k dx (k ≠ 0) .dx =Если подынтегральная функция содержит трансцендентную функцию (логарифмическую, показательную, обратную тригонометрическую, гиперболическую и пр.) сложного аргумента ϕ x , то часто для упрощения подынтегрального выражения бывает полезно сделать замену, приняв этот аргументза новую переменную интегрирования.dx =axxarcsin + C .a2 − x2 +a22x2 + kx 2 + k dx = x x 2 + k + k ln x + x 2 + k + C .⎛1⎞равенства искомый интеграл, находим окончательно:∫x2 + kx2 + k − kОткуда находим окончательно, выражая I :Получаемa −xxa 2 − x 2 dx + a 2 arcsin .
Выражая из полученногоa2∫= x x2 + k − ∫= x x 2 + k + k ln x + x 2 + k + I .v = x . Следовательно, ∫ a 2 − x 2 dx == x a2 − x2 − ∫x 2 dxРешение. Положим t =xdx2= x x2 + k −Пример 9. arcsin 1 dx .∫xa 2 − x 2 dx (a > 0) .Решение. ПоложимХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл382−∫e3x +1dx = −3∫ e t t 2 dt . Интегрируя по частям, получаем239§ 2. Основные методы интегрирования()()− 3 e t t 2 − 2 ∫ te t dt = − 3 e t t 2 − 2te t + 2e t + C = − 3t 2 e t + 6te t −§ 3.− 6e t + C , где t = −3 x + 1 .ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ∫ cos(ln x )dx .Пример 11.Решение.
Положим∫ e cos tdt . Проинтегрируем его по частям:I = ∫ e d (sin t ) = e sin t − ∫ e sin tdt = e sin t + ∫ e d (cos t ) =sin t + (e cos t − ∫ e cos tdt ) = e (sin t + cos t ) − I . Выражая из поtмает видt= ett = ln x , тогда x = e t , dx = e t dt и интеграл приниtttttttлученного равенства I и приписывая константуC , окончательно находим:x1I = e t (sin t + cos t ) + C = (sin (ln x ) + cos(ln x )) + C .22Можно было вычислить этот интеграл и не прибегая к предварительнойзамене переменной, а сразу непосредственно интегрируя по частям. Так, положим u = cos ln x , dv = dx , тогда()1⎞⎛I = ∫ cos(ln x )dx = x ⋅ cos(ln x ) − ∫ x/ ⋅ ⎜ − sin (ln x ) ⋅ ⎟dx =x/ ⎠⎝= x ⋅ cos(ln x ) + ∫ sin (ln x )dx .Ещё раз проинтегрируем получившийся интеграл по частям:1I = x ⋅ cos(ln x ) + ( x ⋅ sin (ln x ) − ∫ x/ ⋅ cos(ln x ) ⋅ dx =x/= x ⋅ (cos(ln x ) + sin (ln x )) − I ,xоткуда находим I = (sin (ln x ) + cos(ln x )) + C .2xdxdx.
Решение. Полагая u = x , dv =и интегПример 12. ∫2sin xsin 2 xрируя по частям, получимxdx∫ sin2x+∫= − xctgx + ∫ ctgxdx = − xctgx + ∫cos xdx= − xctgx +sin xd (sin x )= − xctgx + ln sin x + C ( x ≠ πn, n ∈ Z ) .sin xОстановимся подробнее на некоторых из наиболее изученных классовинтегрируемых функций и существующих методах их интегрирования. Вданном параграфе речь пойдёт об интегрировании алгебраических рациональных функций. Вначале рассмотрим некоторые из наиболее часто встречающихся типов интегралов от рациональных функций, и уже затем – общийподход к интегрированию таких дробей.3.1.
Интегралы видаax + b∫ cx + d dx (ac ≠ 0;cx + d ≠ 0)Интеграл от дробно-линейной функции легко сводится к сумме двух табличных интегралов выделением в подынтегральной дроби рациональной части:aad(cx + d ) + b −ax + bcc dx = a x + ⎛ b − ad ⎞ dx =⎟⎜∫ cx + d dx = ∫cx + dcc ⎠ ∫ cx + d⎝abc − addxdabc − ad= x+= x+ln x + + C .2∫2d cccccx+c2x + 1Пример. ∫dx .3x − 272()x−+322x + 13 dx = 2 dx + 7 d (3x − 2) =Решение. ∫dx = ∫ 33x − 23x − 23∫9 ∫ 3x − 22⎞27⎛= x + ln 3 x − 2 + C ⎜ x ≠ ⎟ .3⎠39⎝§ 3. Интегрирование рациональных функций3.2. Интегралы вида∫ ax241dx(a ≠ 0)+ bx + cВыделением полного квадрата в квадратном трёхчлене интегралы данноговида приводятся к одному из двух типов табличных интегралов:dtt−A1tdt1∫ t 2 + A 2 = A arctg A + C или ∫ t 2 − A 2 = 2 A ln t + A + C .dx.Пример 1. ∫ 2x + 4 x + 13dxx+21dxРешение.
∫ 2=∫= arctg+C.23x + 4 x + 13(x + 2) + 9 3dx.Пример 2. ∫ 2x − 6 x − 16dxdx1 ( x − 3) − 5Решение. ∫ 2=∫= ln+C =2x − 6 x − 16(x − 3) − 25 10 (x − 3) + 51x −8= ln+C .10 x + 2dx(a ≠ b)3.3. Интегралы вида ∫(x + a )(x + b )Наряду со способом, изложенным выше в п.3.2, для вычисления интегралов данного вида можно воспользоваться следующим очевидным тождеством: a − b = x + a − x + b , тогда имеем() (dx)1(x + a ) − (x + b ) dx =∫ (x + a )(x + b ) = a − b ∫ (x + a )(x + b)1x+b1 ⎛ dxdx ⎞−∫ln+C .⎜∫⎟=a−b⎝ x+bx+a⎠ a −b x+adx(a ≠ 0) .Пример 1. ∫ 2x − a2dx(x + a ) − (x − a )dx =dx1=∫Решение. ∫ 2=⋅∫2(x + a )(x − a ) 2a (x + a )(x − a )x −ax−a1 ⎛ dxdx ⎞ 1= ⎜∫ln+ C (x ≠ ±a ) .−∫⎟=2a ⎝ x − ax + a ⎠ 2a x + a=Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл42Пример 2.∫x2dx.+x−2Решение. Имеем(x + 2) − (x − 1) = 1 ⎛ 1111 ⎞==−−⎜⎟,3( x − 1)( x + 2) 3 ⎝ x − 1 x + 2 ⎠x + x − 2 (x − 1)( x + 2)2следовательно,∫x21 ⎛ dxdx ⎞ 1dx1= ⎜∫−∫⎟ = ln x − 1 − ln x + 2 + C =x + 2⎠ 33+ x − 2 3 ⎝ x −11 x −1= ln+ C ( x ≠ −2;1) .3 x+23.4.
Интегралы видаdx∫ (x + a ) (x + b )mn( a ≠ b; m, n ∈ N )Интегралы указанного вида берутся, в т.ч., подстановкой t =гда dt =b−a( x + b )2x+a. Тоx+bdx ,x + a ⎞ 1− t1 ⎛11 (x + b ) − (x + a ).⋅ ⎜1 −=⋅=⎟=b−a ⎝x+b⎠ b−ax+b b−ax+bТаким образом,b−a11⋅⋅dx =m2(x + a ) (x + b ) b − a ⎛ x + a ⎞n+ m−2 (x + b )⎜⎟ ⋅ (x + b )⎝ x+b⎠n+ m −2(11− t)=dt .⋅tm(b − a )n+ m−1dxmn=Следовательно,dx∫ (x + a ) (x + b )mПриn=1(b − a )n + m−1∫(1 − t )n + m−2 dt .tmm = n = 2 интеграл вычисляется при помощи тождества(1)43§ 3.
Интегрирование рациональных функций⎛ (x + a ) − (x + b ) ⎞1≡ ⎜⎟ .a−b⎠⎝2=−⎛ (x + a ) − (x + b ) ⎞⎟ =Имеем= ⎜⎜22(x + a ) (x + b ) ⎝ (a − b )(x + a )(x + b ) ⎟⎠⎛ 12 ⎛ 11 ⎞11⎜−−=⎜⎟+22 ⎜(a − b ) ⎝ (x + b ) (a − b ) ⎝ x + b x + a ⎠ (x + a )23.5. Интегралы вида⎞⎟.⎟⎠Тогдаdx∫ (x + a ) (x + b )22=1(a − b )2a + b + 2x(a − b ) (x + a )(x + b )Пример 1.2112−−ln x + 2 + C (x ≠ −2;3) .ln x − 3 +12525( x − 3) 25( x + 2) 12521+C = −Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл442dx∫ (x − 2) (x + 3)2Решение.
Положим t =3⎛121 ⎞x+b⎟⎟ +ln⎜⎜ −−−⎝ x+b a−b x+a x+a⎠+2x+aln+ C ( x ≠ −a, x ≠ −b ) .3(a − b) x + b.x−2и, применяя формулу (1) , где a = −2 ,x+3b = 3 , m = 2 , n = 3 , получим:31 (1 − t )dx1 ⎛1 3⎞∫ (x − 2)2 (x + 3)3 = 625 ∫ t 2 dt = 625 ∫ ⎜⎝ t 2 − t + 3 − t ⎟⎠dt =t2 ⎞1 ⎛ 1x−2⎜⎜ − − 3 ln t + 3t − ⎟⎟ + C , где t =(x ≠ 2, x ≠ −3) .=625 ⎝ t2⎠x+3dx.Пример 2. ∫(x + 2)2 (x − 3)22⎛1⎛ 11 ⎞⎞Решение. ∫−= ∫ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ dx =22( x + 2 ) ( x − 3)⎝ 5 ⎝ x − 3 x + 2 ⎠⎠dx21dx1dx= ∫=+−22∫∫25 ( x − 3)( x + 2 )25 ( x − 3)25 ( x + 2 )112 ⎛ 11 ⎞=−−−−⎜⎟dx =∫25( x − 3) 25( x + 2 ) 125 ⎝ x − 3 x + 2 ⎠dx∫ axAx + Bdx (a ≠ 0)+ bx + c2Эти интегралы вычисляются выделением в числителе дроби выражения,равного производной знаменателя дроби:∫ axAx + Bdx =+ bx + c2A(2ax + b ) + ⎛⎜ B − Ab ⎞⎟A d ax 2 + bx + c2a2a ⎠⎝+dx==∫2a ∫ ax 2 + bx + cax 2 + bx + cA d ax 2 + bx + c ⎛Ab ⎞dxAb ⎞⎛+ ⎜B −+⎜B −=⎟⋅∫ 2⎟⋅I ,2∫2a ⎠2a ⎠ ax + bx + c 2a ax + bx + c⎝⎝dxвычисляется способом, рассмотренным вгде интеграл I = ∫2ax + bx + c((п.3.2.Пример 1.∫x2))x+2dx .+2 x + 5′+ 2 x + 5) = 2(x + 1) , имеем:x+2(x + 1) + 1x+2∫ x 2 +2 x + 5dx = ∫ (x + 1)2 +4dx = ∫ (x + 1)2 +4dx =Решение.
Так как(x2()1 d x 2 + 2x + 5x +1dxdx+=∫ (x + 1)2 + 4 2 ∫ x 2 + 2 x + 5 +(x + 1)2 +4d ( x + 1)11x +1+∫= ln x 2 + 2 x + 5 + arctg+C.2222(x + 1) + 2 2x+2Пример 2. ∫ 2dx .x +2 x − 3=∫Решение.∫x2x+2dx =+2 x − 3( x + 1) + 1dx =2−4∫ (x + 1)x +1dx +2−4∫ (x + 1)dx∫ (x + 1)2−4=45§ 3. Интегрирование рациональных функций=()1 d x 2 + 2x − 3+2 ∫ x 2 + 2x − 3x +111d ( x + 1)+C= ln x 2 + 2 x − 3 + l −2x+34−4 2I2 =∫ (x + 1)3.6. Интегралы вида∫ (xХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл46(z2a a + z22)2 n −1+n = 3 в (1) , получаемz3z3z+ 2 I2 =I3 =+ 4 2+22222 22224a4a (a + z )4a (a + z ) 8a (a + z )n2+2b⎞b2⎛2Выделением полного квадрата x + bx + c = ⎜ x + ⎟ + c −и заме2⎠4⎝bинтеграл приводится к видуной z = x +2dzIn = ∫.na2 + z2Для вычисления последнего интеграла используется подстановка z = a ⋅ tguили выводится рекуррентное соотношение, позволяющее понизить степень nв знаменателе интегрированием по частям.
Действительно, представляя I n ввиде комбинации I n −1 и∫ (az 2 dz2+ z2n,ивычисляя последний из интегра-лов интегрированием по частям, получимIn = ∫(adz2+z)2 n=1a2(a + z ) − z∫ (a + z )222 n22dz =1I n −1 −a2⎞⎛ 11111zdz⎟== 2 I n −1 − 2 ∫ zd ⎜z⋅nn−12 ∫2222⎟⎜()aa(a + z ) a⎝ 2 1 − n (a + z ) ⎠11zdz= 2 I n −1 +−=n −12 ∫22222(n − 1)a (a + z 2 )n −1a2a (n − 1)(a + z )−z2n − 3I n −1 .2a 2 (n − 1)(1)2a (n − 1)(a + z )1zЗная интеграл I 1 = arctg + C , по этой формуле (1) при n = 2 поaa=лучаем222 n −1+z3arctg + C5a8a(3)и т.д.Таким образом можно вычислить интеграл I n для любого натуральногоПример 1.))(2)Полагаяdx+ bx + c )2(n ∈ N , n ≥ 2; b − 4c < 0)(11zzI = 2 2+ 3 arctg + C .2 12a2a2a (a + z ) 2aРешение.∫ (a∫ (adx2+ x2 )2dx2+x )xdx2 2n..=1a2(a + x ) − x∫ (a + x )2222 m2dx =1a2∫a2dx−+ x211x1⎛ 1 ⎞= 3 arctg + 2 ∫ xd ⎜ 2x=2 ∫22 ⎟a 2aa⎝x +a ⎠(a 2 + x 2 ) ax1x1 ⎛1dx ⎞ 1= 3 arctg + 2 ⎜ x ⋅ 2−∫ 2= 3 arctg +22 ⎟a 2a ⎝ x + aaax +a ⎠ a11 ⎛11x⎞x+ 2 ⎜x⋅ 2− arctg ⎟ + C =arctg +23aa⎠a2a2a ⎝ x + ax+ 2 2+C .2a (x + a 2 )Можно было просто воспользоваться формулой (2 ) .
Наконец, можно было воспользоваться тригонометрической подстановкой x = atgt , где−a2adt⎛ π π⎞22,, и поэтомуx+a=t ∈ ⎜ − , ⎟ . Тогда dx =cos 2 tcos 2 t⎝ 2 2⎠dx11 (1 + cos 2t )2∫ x 2 + a 2 2 = a 3 ∫ cos tdt = a 3 ∫ 2 dt =(=)1(t + sin t cos t ) + C . Осталось сделать обратную подстановку:2a 347§ 3. Интегрирование рациональных функцийxt = arctg , sin t = sin⎛⎜ arctg x ⎞⎟ =aa⎠⎝x⎞⎛cos t = cos⎜ arctg ⎟ =a⎠⎝xa⎛ x⎞1+ ⎜ ⎟⎝a⎠122=xx2 + a2a=x + a22;.⎛ x⎞1+ ⎜ ⎟⎝a⎠11xxПоэтому искомый интеграл равенarctg + 2 2+C.3a 2a x + a 22adxПример 2.∫ (1 + x )2 3.Решение.
Воспользуемся формулойdx∫ (1 + x )2 3=x4(1 + x)2 2+(3) при a = 1 :3x3+ arctgx + C .28(1 + x ) 8∫ (xAx + Bdxn+ bx + c )(n ∈ N , n ≥ 2; b 2 − 4c < 0)Ax + BДля вычисления интегралов вида ∫dx (квадратное выра2(x + bx + c )n3.7. Интегралы вида∫ (x2+ bx + c )ndx =∫A(2 x + b ) + B − Ab22 dx =n2x + bx + c()A d (x + bx + c ) ⎛Ab ⎞dx= ∫ 2+ ⎜B −=⎟∫ 2n2 ( x + bx + c)2 ⎠ (x + bx + c )n⎝A 1Ab ⎞1⎛= ⋅⋅+⎜B −⎟∗ Jn ,n −122 1 − n (x + bx + c )2 ⎠⎝2гдеJn = ∫.+ bx + c )Вычисление интеграла J n рассматривалось выше в п.3.6.3x + 1Пример. ∫dx .(x 2 + x + 1)2Решение.(xdx∫ (xn23x + 1)+ x +122dx =∫3(2 x + 1) − 1222 dx = 3 d x + x + 1 dx −2 ∫ x2 + x +1 2(x 2 + x + 1)2(())1⎞⎛d⎜ x + ⎟2⎠⎝311dx=− ∫=−222∫22 (x 2 + x + 1)2 x + x +1 2 ⎛⎞⎜ ⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ + 3 ⎟⎜⎝2⎠4 ⎟⎠⎝2x + 112x + 13−arctg=−+C .−321 2⎞2(x + x + 1)⎛336⎜ + ( x + ) ⎟⎛ 3 ⎞22 ⎠ 4⎜ ⎟⎝4⎝4⎠−()2жение в знаменателе дроби не имеет действительных корней) представимлинейную функцию в числителе в виде комбинации производной квадратноготрёхчлена и некоторой константы, т.е.Ax + BХорошилова Е.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
