Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Среди используемых Лейбницемспециальных способов интегрирования были: замена переменной, интегрирование по частям, а также дифференцирование по параметру под знаком интеграла. Г. Лейбницу принадлежит также идея интегрирования рациональныхдробей при помощи разложения их на простейшие дроби, впоследствии усовершенствованная другими учёными.
Именно Г. Лейбниц предложил использовать для обозначения интеграла знак∫ ydx(1686), где символ∫есть стили-S (первая буква слова ”Summa”). Термин «первообразная»(или примитивная) функция ввёл в начале XVIII в. Джозеф Луи Лагранж(1736–1813). Термин «интеграл» впервые употребил в печати Я. Бернулли в1690 г., после чего вошло в обиход и выражение «интегральное исчисление».Независимо от Г. Лейбница и ещё до него эти результаты были полученыИсааком Ньютоном (1643–1727). Многие задачи из механики и физики ведут, как известно теперь, к понятию первообразной функции и неопределённого интеграла, однако исторически, в частности у И. Ньютона, это понятиевозникло из геометрии как задача квадратуры кривой.
Ньютону удалось доказать, что площадь S x криволинейной трапеции, ограниченной снизу осьюзованное удлинённое()12Хорошилова Е.В. Неопределённый интегралy = f ( x ) , определённой и непрерывнойна отрезке [a, b ] , если её рассматривать на отрезке [a, x ] , где x – произвольно взятое на [a, b ] значение, есть первообразная функция для функцииy = f ( x ) : S (x ) = F ( x ) − F (a ) . Это равенство, пользуясь современнымиабсцисс, сверху – графиком кривойсимволами, можно записать в видеx∫ f (x )dx = F (x ) − F (a ) .aДля определения площади всей криволинейной трапеции следует положитьx = b:b∫ f (x )dx = F (b) − F (a ) .aЭто и есть так называемая формула Ньютона–Лейбница, содержание которойпо существу восходит к И.
Барроу. В ней определённый интеграл, рассматриваемый как функция верхнего переменного предела интегрирования x , представлен в виде одной из первообразных( )F (x ) + C ( C = − F (a ) ) подынте-гральной функции f x . Эта формула носит также название основной формулы интегрального исчисления. Она позволяет сводить довольно сложноевычисление определённых интегралов, т.е.
нахождение пределов интегральных сумм, к сравнительно более простой операции отыскания первообразных. Правая часть в этой формуле называется двойной подстановкой и записывается в виде F ( x ) a . Итак, задача вычисления площади фигур, т.е. квадbратура, ведёт к понятиям как определённого, так и неопределённого интегралов. Вот почему вычисление интегралов стали иногда называть квадратурой.Важнейшую роль в интегрировании Ньютон уделял разложению интегрируемой функции в степенной ряд и затем почленному его интегрированию.
Интегрирование в конечном виде также не было оставлено Ньютоном без внимания, хотя играло в его исследованиях второстепенную роль.В XVIII в. наибольший вклад в развитие и популяризацию дифференциального и интегрального исчислений внёс Л. Эйлер. До него кроме «Анализабесконечно малых» Лопиталя (1696), содержащего лишь начальные сведенияпо дифференциальному исчислению, и курса лекций по интегральному исчислению И. Бернулли (1742), составленных, как и книга Лопиталя, в 90-хгодах XVII в., по сути, не было никаких учебников или общих руководств поэтой новой отрасли науки. Указанные две книги значительно устарели и впервой половине XVIII в.
отстали от развития анализа. Остро чувствоваласьпотребность в новом систематическом курсе. Это обстоятельство и побудило§ 1. Понятие неопределённого интеграла13Эйлера составить полный курс математического анализа. Этот курс состоитиз следующих книг.1) «Введение в анализ бесконечных», 2 тома (1748).2) «Дифференциальное исчисление», 1 том (1755).3) «Интегральное исчисление», 3 тома (1768–1769).Эти книги содержат как результаты работ предшественников и современников Эйлера, так и многие его собственные исследования в области анализа.В своих трудах Эйлер излагает многочисленные приёмы вычисления неопределённых интегралов, применяя и развивая новые методы такие, как, например, интегрирование по параметру, использование разных подстановок (подстановки Эйлера) и др.
В отличие от Лейбница у Эйлера, как и у Ньютона,исходным является понятие первообразной, т.е. неопределённого интеграла.«Неопределённым» интеграл называется потому, что определяется с точностью до произвольной постоянной C . Определённый интеграл был для Эйлера лишь частным случаем неопределённого, одной из первообразных.Именно Л. Эйлер предложил использовать знак∑(греческая буква «сиг-ма») для обозначения интегральных сумм.Существенный вклад в развитие интегрального и дифференциального исчислений внесли также французский учёный и просветитель Жан Даламбер(1717–1783) и, особенно, крупный французский математик Огюстен Луи Коши (1789–1857).Развитием математического анализа в XIX в.
занимались и русские учёные, например, М.В. Остроградский (1801–1862) и П.Л. Чебышёв (1821–1894). Академику Михаилу Васильевичу Остроградскому принадлежат такиеважнейшие результаты в области интегрального исчисления, как формула,сводящая вычисление тройного (и, вообще, n -кратного) интеграла к вычис-()лению двойного ( n − 1 -кратного) интеграла, общий приём интеграции рациональных функций, формула преобразования переменных в многомерныхинтегралах и др. Пафнутий Львович Чебышёв посвятил шесть больших мемуаров интегрированию алгебраических функций. Среди его классическихрезультатов имеется знаменитая теорема об интегрировании биномиальныхдифференциалов.Итак, рассмотрим задачу восстановления функции по её известной производной.
Это важнейшая задача интегрального исчисления. Процедура нахождения функции по её производной называется интегрированием. Интегрирование является процедурой обратной дифференцированию (нахождению производной от заданной функции).Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл141.2. Понятие первообразной функциии неопределённого интеграла(a, b) , возможно бесконечном, определена функцияодной действительной переменной f ( x ) .Опр.1 (точной первообразной).
Функция F ( x ) называется точной первообразной по отношению к функции f ( x ) на интервале (a, b ) , если в любойточке этого интервала функция F ( x ) дифференцируема и имеет производную F ′( x ) , равную f ( x ) (или, что то же самое, f ( x )dx служит дифференциалом для F ( x ) : dF ( x ) = f ( x )dx ).Пусть на интервалеНапример, функция sin x является точной первообразной для функцииcos x на множестве всех действительных чисел R , поскольку(sin x )′ = cos x .Замечание. Под точной первообразной для функции f ( x ) на сегменте[a, b] будем понимать функцию F (x ) , имеющую производную F ′(x ) влюбой внутренней точке сегмента, равную f ( x ) , и, кроме того, имеющуюправую производную F ′(a + 0) , равную f (a + 0) , и левую производнуюF ′(b − 0) , равную f (b − 0) .Заметим, что если функция f ( x ) имеет на (a, b ) хотя бы одну первообразную функцию F ( x ) , то она имеет на этом интервале сразу бесконечноемножество первообразных, поскольку любая функция вида F ( x ) + C , где C– произвольное действительное число, также будет удовлетворять определению первообразной.
Более того, если F x – одна из первообразных для()функцииf ( x ) на (a, b ) , то любая другая первообразная F (x ) для этой()функции на данном интервале имеет вид F ( x ) = F x + C , где C – некоторое действительное число. Таким образом, любые две первообразные однойфункции могут отличаться только на константу. Подчеркнём, что, в силудифференцируемости, первообразная всегда является непрерывной функцией.Не всякая функция имеет первообразную в приведённом выше строгомсмысле слова, потому что не всякая функция является производной от другойфункции. Но если функция f x , определённая на a, b , имеет на этоммножестве первообразную, то она называется интегрируемой на нём.
Расши-( )()15§ 1. Понятие неопределённого интеграларить класс интегрируемых функций позволило введение понятия обобщённойпервообразной.Опр.2 (обобщённой первообразной). Функция F x называется обобщён-()ной первообразной для функции f ( x ) на интервале (a, b ) , если:1) F ( x ) непрерывна на (a, b ) ;2) в любой точке x ∈ (a, b ) , за исключением, быть может, множестваточек K , функция F ( x ) дифференцируема и имеет производную F ′( x ) ,равную f ( x ) .
При этом в случае конечного интервала (a, b ) множество Kсостоит не более чем из конечного числа точек. Если же интервал (a, b ) бесконечен, т.е. имеет вид (− ∞, b ) , (a,+∞ ) или (− ∞,+∞ ) , то множество Kможет быть счётным, но при этом каждый конечный подинтервал из (a, b )не должен содержать более конечного числа точек K .Таким образом, в отличие от определения точной первообразной, в понятии обобщённой первообразной допускается, что производная может не существовать в отдельных точках интервала интегрирования. Если нет необходимости подчёркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщённойпервообразной, то будем называть F x просто первообразной.()Пример 1. Найти все первообразные для функциитервале (− 1,1) .f (x ) = sgn x на ин-Решение. Покажем, что точная первообразная для данной функции⎧1, если x ∈ (0,1),⎪f ( x ) = ⎨0, если x = 0,на указанном интервале не существует и⎪− 1, если x ∈ (− 1,0),⎩можно найти лишь обобщённую первообразную.
Действительно, приx ∈ 0,1 первообразная F x имеет общий вид x + C1 , а при x ∈ − 1,0 ,( )()(− x + C 2 , где C1 ,C 2 – произвольные действительныеконстанты. Учтём, что в точке x = 0 первообразная должна быть непрерывной.Записавусловиенепрерывностиlim (− x + C 2 ) == lim ( x + C1 ) =x →0 + 0x →0−0F (0) , определяем искомое соотношение между констан-C 2 = C1 . Таким образом, общий вид любой из первообразных:F (x ) = x + C1 , где C1 ∈ R .
Любая из этих функций непрерывна на (− 1,1) итами:∀x ∈ (− 1,0) U (0,1) её производная совпадает с sgn x . При этом в точкеx = 0 первообразная не имеет производной.xПример 2. Найти общий вид первообразной для функции f ( x ) = e навсей числовой прямой.x > 0 f ( x ) = e x и первообразная имеет вид F (x ) == e x + C1 , где C1 ∈ R .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
