Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Интегрирование иррациональных функций§ 4.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ⎛ax + b ⎞⎟ , где n ∈ N , n > 1 , a , b , c , d ∈ R – постоянные,R⎜⎜ x, n⎟+cxd⎝⎠ad − bc ≠ 0 , c ≠ 0 . В случае c = 0 , a ≠ 0 получим, в частности, линейabную иррациональность R x, n Ax + B , где A = , B = .dd1. Рационализация линейных иррациональностей вида R x, n ax + b ,где a и b – постоянные ( a ≠ 0 , n ∈ N , n > 1 ), осуществляется с помощьюподстановки t = n ax + b . Возводя обе части этого равенства в степень n ,n n −1tn −bnполучим t = ax + b , откуда x =, dx = t dt . Переходя в выраaaжении R от переменной x к переменной t , получим рациональное выраже⎛tn −b ⎞ние R⎜⎜, t ⎟⎟ .⎠⎝ a(Основной подход при интегрировании функций, содержащих переменнуюпод знаком радикала, состоит в подборе рационализирующих подстановок,т.е.
таких подстановок, которые приводят подынтегральное выражение к рациональному виду. Назовём этот подход методом рационализации подынтегрального выражения. Рассмотрим некоторые из наиболее известных классовинтегралов от иррациональных функций.4.1. Интегрирование линейных и дробно-линейныхиррациональностей⎛ax + b ⎞⎟dx4.1.1. Интегралы вида ∫ R x, n ax + b dx , ∫ R⎜ x, n⎜⎟+cxd⎝⎠Здесь под R ( x, y ) понимается рациональная функция двух аргументов, т.е.отношение двух алгебраических многочленов соответственно степеней n, m :P ( x, y )R ( x, y ) = n.
При этом многочленом степени n с двумя переменныQ m ( x, y )ми x и y называется выражение видаPn ( x, y ) = a n 0 x n + a 0 n y n + a (n −1)1 x n −1 y + a1(n −1) xy n −1 + ...()... + a 20 x 2 + a11 xy + a02 y 2 + a10 x + a 01 y + a 00 =∑a0≤i + j ≤ niji, j = 0,1,2..., n , где суммарная степень i + j каждого одночлена неотрицаn , причём среди коэффициентовтельнаинепревышаетa n 0 , a(n −1)1 , a(n − 2 )2 ,...
a 0 n есть хотя бы один, отличный от нуля.Дробно-линейнойиррациональностьюназовёмфункцию(2.Аналогичнымвида)образом)(рационализируются)выраженияR x , ax + b , где m, n ∈ N , m > 1, n > 1 . При этом используется подm nmстановка t = ax + b .3. Рационализация дробно-линейных иррациональностей осуществляется сnmпомощью подстановки t =dx =(ad − bc )nt n−1 dt(a − ct )n 2nax + bdt n − bax + bn. Тогда t =, x=,cx + dcx + da − ct nи для интеграла получаем⎛⎛ dt n − b ⎞ (ad − bc )nt n −1ax + b ⎞n⎜⎟=Rx,dxR∫ ⎜ cx + d ⎟ ∫ ⎜⎜⎝ a − ct n , t ⎟⎟⎠ (a − ct n )2 dt .⎝⎠Пример 1.xi y j ,69∫x+9dx .xРешение. Под знаком интеграла имеется линейная иррациональностьax + b = x + 9 , поэтому положим t = x + 9 , тогда x = t 2 − 9 ,dx = 2tdt и имеем:∫()x+9t 2 dtt 2 − 9 + 9dtdx = 2 ⋅ ∫ 2= 2⋅∫=xt −9t2 −9Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл70= 2∫ dt + 18 ⋅ ∫+ 3 lnПример 2.∫3§4. Интегрирование иррациональных функцийdtt −3= 2t + 3 ln+C = 2 x+9 +t +3t −92x+9 −3x+9 +3+ C , где x ≥ −9, x ≠ 0 .2− x2−x; согласно рекомендации применим подстановку t = 3,2+ x2+ x2 1− t34t 3− 12t 2тогда x =, 2−x =, dx =dt .
Подставляя в инте1+ t31+ t3(1 + t 3 )23()грал, получим∫()pkp1p2⎛⎞qqqaxbax+bax+b+12⎜ ⎛⎛⎞ k ⎟⎞ ⎛⎞Rx,,,...,⎜⎟ ⎟dx =∫ ⎜⎜ ⎜⎝ cx + d ⎟⎠ ⎜⎝ cx + d ⎟⎠⎝ cx + d ⎠ ⎟⎝⎠nn −1⎛ t d − b p1l 1 p 2l 2p ⎞ nt (ad − bc ),t,t,..., t kl k ⎟⎟dt .= ∫ R⎜⎜ − n2⎠ ct n − a⎝ t c−a(Пример 1.∫(dxx 1+ 3 x)).Решение. Интеграл является интегралом рассматриваемого типа, где23⎧q1 ⋅ l1 = n⎪q ⋅ l = nnt n −1 (ad − bc )t nd − b⎪ 2 2.Выражаем,dxdt и в резуль==−x⎨2t nc − act n − a⎪...............⎪⎩q k ⋅ l k = nтате приходим к следующему интегралу от рациональной функции:2−xdx.⋅2 + x (2 − x )2Решение. Под знаком интеграла видим дробно-линейную иррациональность712− xdx3 ⎛2+ x⎞3 dt3⋅= − ⋅∫ 3 = 2 +C = ⋅3 ⎜⎟ +C22 + x (2 − x )8 ⎝2− x⎠4 t8t(x ≠ ±2) .4.1.2. Интегралы видаpkp1p2⎞⎛⎜ ⎛ ax + b ⎞ q1 ⎛ ax + b ⎞ q2⎛ ax + b ⎞ qk ⎟∫ R⎜⎜ x, ⎜⎝ cx + d ⎟⎠ , ⎜⎝ cx + d ⎟⎠ ,..., ⎜⎝ cx + d ⎟⎠ ⎟⎟dx⎠⎝Интегралы указанного вида, где R – рациональная функция своих аргуpментов, показатели степеней i ( pi ∈ Z , qi ∈ N ) , i = 1,2,..., k , – несокраqiтимые дроби, находятся с помощью рационализирующей подстановкиt=nax + b, где n = НОК (q1 , q 2 ,..., q k ) .cx + dТогда найдутся такие натуральные l1 , l 2 ,..., l k , чтоa = d = 1, b = c = 0,p1 1 p 2 1= ,= .
Общий знаменатель этих дробейq1 2 q 2 3равен 6, поэтому применяем подстановку t = 6 x , в результате освобождаясьот обоих радикалов. С помощью этой рационализирующей подстановки интеграл от иррациональной функции оказывается сведённым к интегралу от ра-x = t 6 , dx = 6t 5 dt , x = t 3 ,t 2 dtdx6=∫1+ t2 =x 1+ 3 xциональной функции. Имеем∫= 6∫Пример 2.(t(x = t 2 , тогда)dt ⎞+ 1) − 1⎛= 6⎜ ∫ dt − ∫⎟ = 6(t − arctgt ) + C =21+ t2 ⎠1+ t⎝= 6 6 x − arctg 6 x + C (x > 0 ) .2(∫3)x + 3 x2 + 6 x(x 1+ 3 x)dx .Решение.
Этот интеграл также относится к интегралам указанного вида,причём a = d = 1 , b = c = 0 ,p1 2 p 2 1 p3 1= ,= ,= . Общий знамеq1 3 q 2 6 q 3 3натель всех дробей равен 6, поэтому, аналогично предыдущему примеру,Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл72применяем подстановку t =3x = t . Следовательно,24= 6⋅∫∫6x . Тогда x = t 6 , dx = 6t 5 dt ,x + 3 x2 + 6 x(x 1+ 3 x)§4. Интегрирование иррациональных функций3x = t2,dx =t5 + t3 +1t 3 (t 2 + 1) + 1dtdtdt = 6∫ t 3 dt + 6∫=⋅6=22∫1+ t1+ t1+ t2= 32 t 4 + 6arctg (t ) + C =32⋅ 3 x 2 + 6 ⋅ arctg( x ) + C (x > 0) .6∫t 2 + Adt (с точностью до коэффициента); если же a < 0 и c −лим эти интегралы.1.∫A 2 − t 2 dt .
Положим u =tdtdu = −A2 − t 2∫Рассмотрим основные приёмы вычисления интегралов от квадратичныхиррациональностей, т.е. интегралов вида∫ R(x,)стоянные, a ≠ 0 . При этом будем дополнительно считать, что квадратныйтрёхчлен−∫ax + bx + c dx ,где R – рациональная функция своих аргументов, a, b, c – некоторые по-∫2тимся вначале к некоторым важным частным случаям.4.2.1. Интегралы вида∫ax + bx + c dx22.∫∫A − t dt2или∫∫ax 2 + bx + c ⋅ dx =∫2b ⎞b2⎛= ∫ a⎜ x ++ c ⋅ dx .⎟ −2a ⎠4a⎝bДалее, если a > 0 , то подстановкой t = x +интеграл приводится к виду2a2A 2 − t 2 dt =− t 2 dt22A −t22= t A2 − t 2 −dt = t A 2 − t 2 − ∫ A 2 − t 2 dt + A 2 arcsint.AA2ttA2 − t 2 +arcsin + C ( t ≤ A) .2A2t 2 + Adt .
Положим u = t 2 + A , dv = dt .∫−∫t + Adt .ba ( x 2 + x) + c ⋅ dx =a2A2 − t 2I=2Действительно, выделив полный квадрат, получим2Интегрируя по частям, получаемИнтегралы указанного вида выделением полного квадрата под знакомрадикала приводятся к одному из двух типов интегралов2, v = t . Интегрируя по частям, получаемA −t − A2A 2 − t 2 dt . Вычис-A 2 − t 2 , dv = dt , откудаA − t dt = t A − t − ∫2b2>0,4aВыражая из полученного равенства искомый интеграл, находим окончательно:ax 2 + bx + c не имеет кратного корня, т.е. не представим в видеa( x − x1 ) , иначе корень из этого выражения является рациональным. Обра-∫аналогичной подстановкой получаем интеграл вида4.2.
Интегрирование квадратичных иррациональностей273t 2 + Adt = t t 2 + A −t + A− A2t +A2t 2 + Adt =t +A2= t t2 + A −dt = t t 2 + A + A ln t + t 2 + A + I .Отсюда находим окончательно, выражая∫∫t 2 dtI:()t 2At + A + ln t + t 2 + A + C t 2 + A ≥ 0 .22Другие способы вычисления интегралов∫A 2 − t 2 dt и∫t 2 + Adt рас-сматриваются в п.4.2.11-п.4.2.13.Замечание. Если в квадратном трёхчлене2ax 2 + bx + c выделить полныйb ⎞ ⎛b2 ⎞⎛квадрат a⎜ x +⎟ + ⎜⎜ c − ⎟⎟ и положить2a ⎠ ⎝4a ⎠⎝Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл74t=b ⎞⎛⋅⎜x +⎟ , то интеграл22a ⎠c − b / (4a ) ⎝aводится к одному из следующих трёх видов:∫ R (t ,Пример 1.
∫1)2x + 8 x + 25dx = ∫(x2)( x + 4 )2 + 9 d ( x + 4 ) =+)∫ (x + 4)2+ 9dx =k 2 − t 2 dt =tk2tk2 −t2 +arcsin + C .2k2∫ (2 x + 7) x + x + 1dx .Решение. ∫ (( 2 x + 1) + 6 ) x + x + 1dx = ∫ (2 x + 1) x + x + 1dx ++ 6 ∫ x + x + 1dx = ∫ x + x + 1d (x + x + 1) +222222()− 2 x + 8dx =9 − ( x − 1) dx =∫ ( Ax + B )2=23ax 2 + bx + c dxax 2 + bx + c dx =)31⎞32⎛2∫ ⎜⎝ x + 2 ⎟⎠ + 4 dx = 3 x + x + 1 +⎛ x 1⎞13+ 6⎜⎜ ( + ) x 2 + x + 1 + ln x + + x 2 + x + 1 ⎟⎟ + C =28⎝ 2 4⎠+6⎛ AAb ⎞ ⎞⎛2= ∫ ⎜⎜ (2ax + b ) + ⎜ B −⎟ ⎟⎟ ax + bx + c dx =2a ⎠ ⎠⎝⎝ 2aAb ⎞A⎛2=ax 2 + bx + c d (ax 2 + bx + c ) + ⎜ B −⎟ ∫ ax + bx + c dx =∫2a ⎠2a⎝3Ab ⎞A⎛=ax 2 + bx + c + ⎜ B −⎟ ⋅ I , где интеграл I после выделения2a ⎠3a⎝)t 2kt + k + ln t + t 2 + k + C222Интегралы данного вида вычисляются выделением в выражении Ax + Bпроизводной 2ax + b от подкоренного выражения с последующим разбиением в сумму двух табличных интегралов:∫ ( Ax + B )t 2 + k dt =Пример.x −19x −1− x 2 + 2 x + 8 + arcsin+ C (x ∈ [− 2,4]) .2234.2.2.
Интегралы видаbсводится к одному из2aили− x 2 + 2 x + 8dx .2(∫∫29ln x + 4 + x 2 + 8 x + 25 + C .22=2x+4 2x + 8 x + 25 +2∫Решение. ∫ − x + 2 x + 8dx = ∫ − (x= ∫ − (( x − 1) − 1) + 8dx = ∫Пример 2.(+ 8 x + 16 + 9dx =под корнем полного квадрата и замены t = x +75следующих интегралов (см. п.4.2.1):x 2 + 8 x + 25dx .2=∫))ax + bx + c dx при21 − t dt , ∫ R2 t , t − 1 dt , ∫ R3 t , 1 + t dt .2Решение.∫(∫ R(x,§4. Интегрирование иррациональных функций(x)31⎞⎛+ x + 1 + 3⎜ x + ⎟ x 2 + x + 1 +2⎠⎝91+ ln x + + x 2 + x + 1 + C .4224.2.3. Интегралы вида∫dxax + bx + c2Интегралы указанного вида путём выделения полного квадрата из квадратного трёхчленаным интегралам∫dxA −x2Пример 1.2∫ax 2 + bx + c под знаком радикала приводятся к таблич-= arcsinx+ C илиAdx− 3x 2 + 4 x − 1∫dxx +A2= ln x + x 2 + A + C ..Решение.
Выделяя полный квадрат по переменной x , преобразуем интеграл к видуХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл76d ( x − 2 3)1∫31 9 − ( x − 2 3)=Пример 2.∫2=13arcsinx−2 3+C =13⎛⎛ 1 ⎞⎞arcsin(3 x − 2) + C ⎜⎜ x ∈ ⎜ ,1⎟ ⎟⎟ .3⎝ 3 ⎠⎠⎝dx1x 2 + 2x + 5.§4. Интегрирование иррациональных функций⎡где x ∉ ⎢− 2 −⎣Пример 2.∫(x + 1)2 + 4 . В результате приходим к интегралуd ( x + 1)2∫ (x + 1)2 + 4 = ln x + 1 + x + 2 x + 5 + C .ратный трёхчлен к виду∫A(2ax + b ) + B − Ab2a2a dx =∫ ax 2 + bx + c = ∫2ax + bx + c2A d ax + bx + c ⎛Ab ⎞dx=.⋅∫⋅∫+ ⎜B −⎟2a2a ⎠ax 2 + bx + cax 2 + bx + c ⎝Пример 1.∫)2 x 2 + 8x + 1dx .Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения:5(4 x + 8) − 135x − 354x + 84dx=∫ 2x 2 + 8x + 1∫ 2 x 2 + 8x + 1 dx = 4 ∫ 2 x 2 + 8 x + 1 dx −dx513dx=2 x 2 + 8x + 1 −− 13∫=∫2x 2 + 4x + 1 22 x 2 + 8x + 1 2=dx =∫− 3 2 ⋅ (− 2 x + 6 ) + 13dx =− x 2 + 6x − 8− x 2 + 6x − 8− 2x + 63dx=− ∫dx + 13∫=222− x + 6x − 81 − ( x − 3)= −3 − x 2 + 6 x − 8 + 13 arcsin ( x − 3) + C (x ∈ (2,4 )) .4.2.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
