Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Неопределённый интеграл483.8. Метод алгебраических преобразованийТак как фундаментальный подход, основанный на разложении рациональной дроби на простейшие дроби (который будет изложен ниже в п.3.9), частотребует громоздких выкладок, то при вычислении интегралов от рациональных функций при любой возможности полезно использовать альтернативныеподходы в виде различных упрощающих алгебраических преобразований,вспомогательных замен переменных – всего того, что так или иначе упрощаетвычисление интегралов.
Рассмотрим примеры таких преобразований, в которых рациональные выражения интегрируются непосредственным сведением ктабличным интегралам, часто путём использования различных искусственных приёмов и иногда введения новых переменных.Пример 1.Решение.∫ x(1 − 2 x )37⎛ 1dx .1⎞∫ ⎜⎝ − 2 (1 − 2 x ) + 2 ⎟⎠(1 − 2 x )+37dx = −1(1 − 2 x )38 dx +∫21(1 − 2 x )37 dx = 1 ∫ (1 − 2 x )38 d (1 − 2 x ) −∫2449§ 3.
Интегрирование рациональных функций−1(1 − 2 x )37 d (1 − 2 x ) = 1 (1 − 2 x )39 − 1 (1 − 2 x )38 + C .∫4156152Пример 2.∫ x (1 − 5 x )2 103dx .Решение. Сделаем замену t = 1 − 5 x , откуда2x2 =1− t, 2 xdx =51= − dt и в результате приходим к интегралу:5t 12t 111 10⎛ 1 − t ⎞ ⎛ dt ⎞ 1 11=−+C =t−=tdt−tdt⎜⎟⎜⎟∫ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 10 ⎠ 50 ∫600 55050 ∫=(1 − 5x )2 12600−(1 − 5x )2 11550Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл50112 ⎛ 11 ⎞−−−⎜⎟dx =∫25( x − 3) 25( x + 2 ) 125 ⎝ x − 3 x + 2 ⎠1122=−−−ln x − 3 +ln x + 2 + C (x ≠ −2;3) .12525(x − 3) 25( x + 2 ) 125xdx.Пример 5. ∫ 4x + 2x 2 + 542Решение.
Преобразуя знаменатель дроби, получим x + 2 x + 5 =2dt= x 2 + 1 + 4 . Выполним подстановку t = x 2 + 1 , тогда xdx = . От2=−()сюда для интеграла находим1x2 +11dt1txdxarctg+C.==arctg+C=∫ x 4 + 2x 2 + 5 2 ∫ t 2 + 4 4422+C .2Пример 3.x dx∫ (x + 2)100.Пример 6.Решение. Выполним подстановку t = x + 2 , которая позволяет сделатьтак, чтобы степень суммы оказалась не в знаменателе, а в числителе дроби,что существенно удобнее для вычисления данного интеграла:(t − 2)2 dt⎛ t 2 − 4t + 4 ⎞−98−99−100=∫ ⎜⎜⎝ t 100 ⎟⎟⎠dt = ∫ (t − 4t + 4t )dt =∫ t 100t −97t −98t −9912=−+ 4⋅− 4⋅+C = −+−979897989997( x + 2 )49( x + 2 )4−+ C (x ≠ −2) .9999( x + 2 )Пример 4.dx.−14Решение. Так как2⎛1⎛ 11 ⎞⎞Решение. ∫−= ∫ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ dx =22( x + 2 ) ( x − 3)⎝ 5 ⎝ x − 3 x + 2 ⎠⎠2dx1dx1dx==+−22∫∫∫25 ( x − 3)( x + 2 )25 ( x − 3)25 ( x + 2 )() (( )())11x2 +1 − x2 −11, то−==224222 x −1 2 x +1x −1 2 x − 1 x + 1() ()1 x −1 1dx= ln− arctgx + C ( x ≠ ±1) .−1 4 x + 1 2dx.Пример 7.
∫63x ( x − 1)x −1dx. Положим t =, тогда имеемРешение. I = ∫6x−x1⎛⎞x9 ⎜⎟⎝ x ⎠∫xимеем4(1 − t )7 dt =dx∫ (x + 2)2 (x − 3)2 .dx∫x1 − 7t + 21t 2 − 35t 3 + 35t 4 − 21t 5 + 7t 6 − t 7dt =∫ t6∫t6dtdtdtdtdtdt= ∫ 6 − 7 ∫ 5 + 21∫ 4 −35∫ 3 + + 35∫ 2 − 21∫ +7 ∫ dt −ttttttt2177 35 35− ∫ tdt = − 5 + 4 − 3 + 2 −− 21 ln t + 7t − + C ,2t5t4tt2tгде t =x −1 (x ≠ 0;1) .x51§ 3. Интегрирование рациональных функцийПример 8.dx∫ x(1 − x )3 2.Пример 11.Решение.dx∫ x(1 − x )3 2=∫x 2 dx()3 21dx 3= ∫3 x3 1 − x3()21du= ∫=3 u (1 − u )2x 1− x1du1 ⎛11 ⎞1 1 ⎛11 ⎞+ ∫⎜ += ∫⎟du =⎜ +⎟du = ∫23 (1 − u )3 ⎝ u 1− u ⎠3 1− u ⎝ u 1− u ⎠31 11u=− ⋅+ ln+ C = 1 ⋅ 31 + 1 ln x 3 + C ( x ≠ 0;1) .3 1− u 3 1− u3 x −1 3 1− xdx.Пример 9.
∫ 3 2x (x − 2 )Решение.=3dx 2du11dx=∫ x 3 (x 2 − 2) 2 ∫ x 4 x 2 − 2 = 2 ∫ u 2 (u − 2) =1 du 1du1 u −2−u==− ∫ 2du = − ∫ 2 + ∫4 u4 u (u − 2 )4 u (u − 2 )()1 1 u−211 x2 − 2+ ln+ C = 2 + ln+ C ( x ≠ 0;± 2 ) .u4u 88x24xПример 10.Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл52∫ (xПример 12.1 ⎞⎛x/ 2 ⎜1 + 2 ⎟x +1⎝ x ⎠ dx . Так как ⎛1 + 1 ⎞dx =dx = ∫Решение. ∫ 4⎜⎟1 ⎞x +1x2 ⎠⎝2⎛ 2x/ ⎜ x + 2 ⎟x ⎠⎝21 ⎛1 ⎞1⎞1⎞⎛⎛= d⎜ x − ⎟ и x2 + 2 = ⎜ x2 − 2 + 2 ⎟ + 2 = ⎜ x − ⎟ + 2 ,x⎠x⎠xx ⎠⎝⎝⎝1⎞⎛d⎜ x − ⎟1x2 −1x⎠⎝arctg+C.то приходим к интегралу ∫=22x 21⎞⎛⎜x − ⎟ + 2x⎠⎝)+ x +12dx .x2 +1∫ x 4 + 3x 2 + 1 dx .Решение.
См. решение примера 6 из п.1.2.x4 +1∫ x 6 − 1 dx .x4 +1x 4 + 1 − 2x 2x2Решение. ∫ 6dx = ∫dx + 2∫ 6dx =x −1x6 −1x −1Пример 13.⎛1⎞d⎜ x + ⎟x2 −12 dx 31 x3 −1x⎠⎝+==∫ 4dx++ln26∫23 x −1 ∫ ⎛x + x +13 x3 + 11⎞⎜ x + ⎟ −1x⎠⎝1+ C = ln21−1 1 x2 −11 x2 − x +1xln+C=ln++3 x2 +12 x2 + x +11x + +1xx+1 x2 −1+ ln 2+ C (x ≠ ±1) .3 x +1222Решение. См. решение примера 5 из п.1.2.x +1dx .4+1∫xx2 −13.9. Представление рациональной дроби в виде суммыпростейших дробей с использованиемметода неопределённых коэффициентовИдея интегрирования рациональных дробей при помощи разложения ихна простейшие дроби принадлежит, как отмечалось выше, Г. Лейбницу (1702–1703). Рассмотрим общий подход к интегрированию рациональных дробей,т.е.
функций видаP( x ), где P( x ) и Q( x ) – целые алгебраические многоQ( x )члены от x . Этот подход обычно применяют в случае, когда нет более простых приёмов, позволяющих вычислить интеграл.53§ 3. Интегрирование рациональных функций1. Интегрирование неправильной дроби.P( x ) больше или равна степени многочленаP( x )Q( x ) (иными словами, дробьнеправильная), то делением многочленаQ( x )P(x ) на многочлен Q( x ) вначале выделяют целую часть – многочлен S (x ) ,P( x )R( x )т.е. представляют дробь в виде= S (x ) +, где степень многочленаQ( x )Q( x )R(x ) меньше степени многочлена Q( x ) . Таким образом, интегрированиеЕсли степень многочленадробно-рациональной функции P( x ) в общем случае сводится к интегрироQ( x )ванию многочлена S x и правильной рациональной дроби R( x ) .Q( x )(xP( x ), в которой степеньQ( x )многочлена P( x ) меньше степени многочлена Q( x ) .
Оно основано на представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей.1) Первое, что необходимо сделать, – это выписать разложение дроби всумму элементарных дробей. Вид этого разложения зависит от разложениязнаменателя Q x на множители. Известно, что алгебраический многочлен( )любой степени раскладывается на сомножители линейного(x − a )и (или)( )квадратичного вида x + bx + c .
Предположим, в разложении Q x намножители присутствует сомножитель линейного вида в n -й степени:2( x − a )n( a – действительный корень многочлена кратностибудет соответствовать сумма ровно n простейших дробей:A3AnA1A2+++ ... +,23x − a (x − a )(x − a )( x − a )nгдеn ). Тогда емуквадратичноговидаm -йвстепени2(где)2M 3x + N3+(x2+ bx + c)3+ ... +M i , N i , i = 1,2,..., m , – постоянные.(x2+ bx + c(1)Q( x ) несколько, то каждому из них со-)m,(2)P( x )в виде конечQ( x )Таким образом, выписывается представление дробиной суммы элементарных дробей видаM m x + Nm(1) и (2) :A3AnA1A2P( x )+++ ... ++ ...
+=23Q( x ) x − a ( x − a )(x − a )( x − a )nM 1 x + N1M 2x + N2+2x + bx + cx 2 + bx + c()2+M 3 x + N3(x2+ bx + c)3+ ... +M m x + Nm(x2+ bx + c)m.(3)2) Далее методом неопределённых коэффициентов находятся постоянныеAk , M i , N i ,… ( k = 1,2,..., n ; i = 1,2,..., m ;…). Для этого все простейшие(3) приводятся к общему знаменателю (этимзнаменателем будет многочлен Q( x ) , как и в левой части).
При этом в числителе полученной в результате дроби окажется некоторый многочлен T ( x ) ,дроби в правой части равенстваx зависят от неизвестныхP( x ) T ( x )Ak , M i , N i ,…. Поскольку две рациональные дробиис одинаQ( x ) Q( x )у которого коэффициенты при различных степеняхковыми знаменателями тождественно равны (т.е. равны сразу при всех допустимых значениях x ) тогда и только тогда, когда равны их числители, то осталось записать условие тождественного равенства многочленовAk , k = 1,2,..., n , – некоторые постоянные. Если сомножителей линей-ного типа в разложении многочленаответствует аналогичная сумма.сомножителюmM 1 x + N1M 2x + N2+2x + bx + c x 2 + bx + c+Рассмотрим интегрирование правильной дробиКаждому+ bx + c ) , где трёхчлен x 2 + bx + c не имеет действительных корней,соответствуют, в свою очередь, m простейших дробей:()2.
Интегрирование правильной дроби.Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл54P( x ) иT ( x ) . В свою очередь, два многочлена тождественно равны тогда и толькотогда, когда равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях x .Приравнивая эти коэффициенты, составляют систему алгебраических уравнений, в которой количество неизвестных (неопределённых коэффициентов)совпадает с количеством уравнений системы.
Затем эта система решается(достаточно подобрать одно какое-либо решение) и, таким образом, неопределённые ранее коэффициенты оказываются найденными.§ 3. Интегрирование рациональных функций55Ak , M i , N i ,… подP( x )ставляются в разложение (3) , и интегрирование рациональной дробиQ( x )3) После этого найденные значения коэффициентовоказывается в результате сведено к интегрированию суммы элементарныхдробей 3 . Осталось рассмотреть завершение процедуры интегрирования.Итак, интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию дробей вида:()AA(n ≥ 2, n ∈ N ) ; В) 2Mx + N ;; Б)А)nx−ax + bx + c(x − a )Mx + N(m ≥ 2, m ∈ N ) .Г)m2x + bx + c()Вычисление интегралов от указанных дробей осуществляется следующимобразом:AА) ∫dx = A ⋅ ln x − a + C ;x−aAA1Б) ∫dx = −⋅+ C (n ≥ 2, n ∈ N ) ;nn − 1 ( x − a )n −1(x − a )MMb(2x + b) + N −Mx + N2 dx =dx = ∫ 2В) ∫ 2x + bx + cx 2 + bx + cM d x 2 + bx + c ⎛Mb ⎞dx= ∫ 2+ ⎜N −=⎟∫222 ⎠ ⎛x + bx + c⎝b⎞ ⎛b2 ⎞⎜ x + ⎟ + ⎜⎜ c − ⎟⎟2⎠ ⎝4 ⎠⎝bx+()−NMb/2M2 +C⋅ arctg=ln x 2 + bx + c +22c−b /4c − b2 / 4b22> 0 ).(так как x + bx + c не имеет действительных корней, то c −4()Г) Вычисление интегралов вида∫ (xMx + N2было рассмотрено в п.3.7.+ bx + c )mdx (m ≥ 2, m ∈ N )Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл56Рассмотрим применение данного метода на примерах.Пример 1.xdx∫ (x + 1)(x − 2)2Решение. Разложение дроби.x(x + 1)(x − 2)2в сумму простейших дробейищем в видеx(x + 1)(x − 2)2=ABC.++x + 1 x − 2 ( x − 2 )2(5)(5) к общему знаменателю, имеем2A(x − 2 ) + B ( x + 1)( x − 2 ) + C ( x + 1).(x + 1)(x − 2)2Приводя дроби в правой частиx(x + 1)(x − 2)2=Приравнивая числители дробей, получаем тождествоx = A( x − 2 ) + B ( x + 1)( x − 2 ) + C ( x + 1) .2(6)Приведём многочлен в правой части к стандартному виду, упорядочив степени x в порядке убывания:x = ( A + B )x 2 + (C − B − 4 A)x + (4 A − 2 B + C ) .Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем системутрёх уравнений с тремя неизвестными A, B, C :⎧A + B = 0⎪⎨C − B − 4 A = 1⎪4 A − 2 B + C = 0,⎩11решая которую находим неопределённые коэффициенты A = − , B = ,992C = .
Наконец, подставим найденные коэффициенты в разложение (5) и3проинтегрируем, разбивая интеграл на сумму трёх табличных интегралов:xdx∫ (x + 1)(x − 2)=2=−1 dx1 dx2dx+ ∫+ ∫=∫9 x + 1 9 x − 2 3 ( x − 2 )21 x−2 2 1ln− ⋅+ C , x ≠ −1, x ≠ 2 .9 x +1 3 x − 257§ 3. Интегрирование рациональных функцийХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл58Иногда полезно в равенство, полученное приравниванием многочлена⎧A + B = 0⎪− B + C = 0⎪⎪⎨2 A − C + D + B = 3⎪C − B + E − D = −1⎪⎪⎩ A − C − E = 2.P(x ) к числителю T ( x ) дроби, полученной после приведения к общемузнаменателю простейших дробей, подставлять вместо x некоторые специально подобранные числа (обычно это действительные корни знаменателяQ x данных дробей). В результате получаются линейные уравнения относительно искомых коэффициентов, хотя следует помнить, что при подстановке произвольных чисел полученные уравнения могут оказаться зависимыми.( )Применим данный приём к предыдущему примеру.
Для этого, не приводямногочлен в правой части этого тождества 6 к стандартному виду, поло-()жим в нём последовательно вначалеx = 2 , и найдём при этом 2 = 3C , от-2куда C = . Затем положим x = −1 , получив, что − 1 = 9 A , а значит31A = − . Наконец, положим в (5) x = 0 (не корень многочлена Q( x ) , но9тоже достаточно удобное для подстановки число). В результате имеем0 = 4 A − 2 B + C , откуда с учётом найденных ранее A = −определяем B =12и C=934A + C 1= . И далее интегрируем по описанной выше29схеме.Пример 2.Полагая x = 1 , находим A = 1 . Решая систему с учётом A = 1 , определяемостальные коэффициенты: B = −1, C = −1, D = 1, E = 0 . Следовательно,3x 2 − x + 2∫ (x2) (x − 1)+12dx =dxx +1xdxdx + ∫=2+1(x 2 + 1)2∫ x −1 − ∫ x111= ln x − 1 − ln x 2 + 1 − arctgx − ⋅ 2+ C ( x ≠ 1) .22 x +1x 3 + 3x 2 + 5 x + 7dx .Пример 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
