Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 9
Текст из файла (страница 9)
∫x2 + 2Решение. Выделим целую часть неправильной рациональной дроби:_ x + 3x + 5 x + 732x2 + 2x+3x3 + 2x_ 3x + 3x + 723x 2 − x + 2∫ (x2) (x − 1)+12Решение. Разложение дроби3x 2 + 6dx .3x 2 − x + 2(x2) (x − 1)+12в сумму простейших дробейищем в виде3x + 1 .x + 3x + 5 x + 73x + 1= x +3+ 2Таким образом,.
Подставляя получен2x +2x +232ное представление под знак интеграла, вычисляем интеграл:3x 2 − x + 2ABx + C Dx + E=+ 2+.22x 2 + 1 ( x − 1) x − 1 x + 1 (x 2 + 1)()Коэффициенты A, B, C , D, E определим, исходя из тождества3x 2 − x + 2 = A(x 2 + 1) + (Bx + C )(x − 1)(x 2 + 1) + (Dx + E )( x − 1) .2Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхме уравненийx , приходим к систе-x 3 + 3x 2 + 5 x + 7x2(3 x + 1)dx = ∫ ( x + 3)dx + ∫ 2+ 3x +dx =∫2x2 + 2x +2x2dx3 2 xdx+ 3x + 3 ln (x 2 + 2 ) + 1 arctg x + C .+ ∫ 2+∫ 2=22 x +2x +2222dx.Пример 4. ∫ 4x +1Решение. Разложим многочлен в знаменателе на множители:x 4 + 1 = ( x 4 + 2 x 2 + 1) − 2 x 2 = (x 2 + 1) −2( 2x)2=59§ 3.
Интегрирование рациональных функций()()= x2 + x 2 +1 x2 − x 2 +1 ,1− x2. Интегралы от первых двух слагаемых равны, соответст2(x 4 − x 2 + 1)113венно, arctgx + C1 и arctg (x ) + C 2 .26+а затем представим подынтегральную функцию в виде суммы:Ax + BCx + D1= 2+ 2.x +1 x + x 2 +1 x − x 2 +14Используя метод неопределённых коэффициентов, найдёмХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл60A=12 2,111, D = . Задача оказалась сведена к вычислению интеB= ,C=−222 2Вычислим интеграл от третьего слагаемого.
Для этого, учитывая, чтоx 4 − x 2 + 1 = (x 4 + 2 x 2 + 1) −⎛ 1⎝ 2 x +x⎛⎜x+⎜ 1=⎜∫⎜ 2 2 x2 + x⎜⎜⎝⎛⎜x−⎜ 1−⎜∫⎜ 2 2 x2 − x⎜⎜⎝=1lnx2 + x 2 +1x − x 2 +1dx.Пример 5. ∫ 6x +14 22+−12x− 21(arctg (x22)((x4)()()x2 1−+ = ( Ax + B ) x 2 − 3 x + 1 + (Cx + D ) x 2 + 3 x + 1 ,2 20 = A+C,1x 2 : − = − 3 A + B + 3C + D ,21x : 0 = A − 3B + C + 3D ,1x0 := B+ D.211Решая систему, находим A = −C =, B=D= .42 3x3 :откуда))Решение. Сначала преобразуем подынтегральную функцию=)(+ 3x + 1 x 2 − 3x + 1 ,Приводя дроби к общему знаменателю, получим тождество2 + 1 + arctg x 2 − 1 +C.(x 4 + 1) + (x 4 − 1) = (x 4 + 1) − (x 4 − 1) =1=x6 +12(x 6 + 1)2(x 6 + 1) 2(x 6 + 1)2Ax + BCx + D1− x2= 2+ 2.422(x − x + 1) x + 3 x + 1 x − 3 x + 1⎞⎟dx =2 + 1 2 2 x − x 2 + 1 ⎟⎠⎞⎟2⎟1dx2⎟−dx + ∫24 ⎛2 +12⎞1⎟⎜x +⎟ + ⎟⎜2 ⎟⎠2 ⎟⎠⎝⎞⎟2⎟1dx2⎟=dx − ∫24 ⎛2 +12⎞1⎟⎜x−⎟ + ⎟⎜2 ⎟⎠2 ⎟⎠⎝x+ 222разложим дробь на сумму элементарных дробей:грала∫ ⎜⎜ 2( 3x ) = (x− x 2 +1) + x 2 (1 − x 2 )(1 + x 2 )x21+=++2(x 6 + 1)2(x 6 + 1)2(x 2 + 1) 2(x 6 + 1)Подставляя в разложение, получим33x−1− x1122.=−42222 x − x + 1 2 3 x + 3x + 1 2 3 x − 3x + 1x+2()Интегрируя, приходим к окончательному ответу:1x 2 + 3x + 111dx3()ln+C.arctgx=arctgx++∫ x6 + 1 264 3 x 2 − 3x + 1§ 3.
Интегрирование рациональных функций61Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл62′P (x )P ( x ) ⎛ P1 ( x ) ⎞⎟⎟ + 2,= ⎜⎜Q( x ) ⎝ Q1 ( x ) ⎠ Q2 ( x )3.10. Метод М. В. ОстроградскогоЕщё один метод, используемый при интегрировании правильной несокра-P( x )тимой рациональной дроби, носит название метода Остроградского.Q( x )и затем, приведя дроби в правой части равенства к общему знаменателю, найти неопределённые коэффициенты методом с аналогичным названием и закончить интегрирование по формуле 1 .
Обратимся к примерам.()Суть этого метода состоит в выделении рациональной части первообразной.Остроградский Михаил Васильевич (1801–1861) – русский математик,член Петербургской АН, один из основателей Петербургской математической школы. Основные труды относятся к математическому анализу, теоретической механике, математической физике.( )Пусть многочлен Q x , расположенный в знаменателе интегрируемойдроби, имеет кратные корни, включая и комплексные (чем выше кратностькорней, тем эффективнее, вообще говоря, оказывается данный метод в сравнении с методом неопределённых коэффициентов).
Разложим этот многочленQ x на произведение линейных и квадратичных сомножителей. Составим( )Q2 (x ) так, чтобы каждый корень многочлена Q( x ) являлся быкорнем многочлена Q2 ( x ) , но входил бы в этот многочлен с кратностью 1.Других корней у многочлена Q2 ( x ) , отличных от корней многочлена Q( x ) ,нет. Определим теперь многочлен Q1 ( x ) так, чтобы Q1 ( x ) ⋅ Q2 ( x ) = Q( x ) .То есть каждый корень многочлена Q( x ) , если первоначально он имел кратность n (n ∈ N ) , войдёт с кратностью, равной 1, в многочлен Q2 ( x ) , и составшейся после этого кратностью (n − 1) в многочлен Q1 ( x ) . В частности,все простые (кратности 1) корни многочлена Q( x ) будут корнями Q2 ( x ) ине будут корнями Q1 ( x ) .
Далее, введём в рассмотрение ещё два многочленаP1 ( x ) и P2 (x ) , записав их в общем виде с неопределёнными коэффициента-многочленми, причём их степени на единицу меньше соответственно степеней многочленов Q1 x и Q2 x . Тогда справедлива формула Остроградского()()P(x )P1 ( x )P2 ( x )∫ Q(x ) dx = Q (x ) + ∫ Q (x ) dx .1(1)2Чтобы с её помощью вычислить интеграл в левой части, необходимо вначалепродифференцировать по x это равенство(2)Пример 1.xdx∫ (x − 1) (x + 1)23.Решение. Под знаком интеграла видим правильную дробь, знаменателькоторой Q ( x ) = ( x − 1) ( x + 1) .
Находим, что2тогда Q1 ( x ) =3Q2 (x ) = ( x − 1)( x + 1) иQ(x )2= ( x − 1)( x + 1) . Так как степень многочлена Q1 ( x )Q2 ( x )P1 ( x ) – квадратный трёхчлен, записанный в общем виде:P1 ( x ) = ax + bx + c . Аналогично, поскольку степень Q2 ( x ) равна 2, тоP2 (x ) – многочлен первой степени P2 (x ) = δx + e . Следовательно, имеемпять неопределённых коэффициентов a , b , c , δ , e . Формула Остроградравна 3, то2ского примет видxdx∫ (x − 1) (x + 1)23=ax 2 + bx + c(x − 1)(x + 1)2+∫δx + e(x − 1)(x + 1)dx .x , получим′⎛ ax 2 + bx + c ⎞δx + ex⎟ +== ⎜⎜232 ⎟(x − 1) (x + 1) ⎝ (x − 1)(x + 1) ⎠ (x − 1)(x + 1)Продифференцировав последнее равенство по22(2ax + b )( x − 1)( x + 1) − (ax 2 + bx + c )(( x + 1) + 2( x − 1)( x + 1))+=(x − 1)2 (x + 1)4δx + e+.
Сократив первую из дробей в правой части на ( x + 1)(x − 1)(x + 1)приведя все дроби к общему знаменателю, получим:x=(x − 1) (x + 1)3(2ax + b )(x − 1)(x + 1) − (ax 2 + bx + c )(3x − 1) + (δx + e)(x − 1)(x + 1)2 .=(x − 1)2 (x + 1)32и§ 3. Интегрирование рациональных функций63Итак, при всех x ≠ ±1 должно выполняться данное тождество. Так как знаменатели дробей слева и справа равны, то должны быть тождественно равнымногочлены, находящиеся в числителях:x ≡ (2ax + b )(x 2 − 1) − (ax 2 + bx + c )(3x − 1) + (δx + e )(x 2 − 1)( x + 1) .Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл64(x+ (Ex + F )x4 :x3 :x2 :x1 :x0 :0=δ0 = −a + δ + e0 = −2b + a + e − δ1 = −2a − 3c + b − e − δ0 = −b + c − e4x :x3 :x2 :x1 :x0 :∫ (x1111a = − , b = − , c = − , δ = 0, e = − .8848Подставим значения коэффициентов в формулу Остроградского:xdx∫ (x − 1) (x + 1)23=−x2 + x + 28( x − 1)( x + 1)2−11dx .∫8 ( x − 1)( x + 1)Осталось вычислить интеграл11 (1 + x ) − ( x − 1)∫ (x − 1)(x + 1) dx = 2 ∫ (x − 1)(x + 1) dx =1 ⎛ 11 ⎞1= ∫⎜−⎟dx = ln x − 1 − ln x + 1 + C .2 ⎝ x −1 x + 1⎠2Итак, окончательно имеем:xdx∫ (x − 1) (x + 1)2Пример 2.∫ (x3dx∫ (x3dx3=−+ 1)2+ 1)2124, D = − E = , F = . Итак,3992x−22x=+ ln x + 1 − ∫ 2dx =39 x − x +13(x + 1) 9Решая систему, находимРешая систему пяти уравнений с пятью неизвестными, находимx2 + x + 28( x − 1)( x + 1)2−1x −1ln+ C (x ≠ ±1) .16 x + 1.
Решение. Согласно формуле Остроградского,Ax 2 + Bx + Cdx=+ D∫+3x +1x +1Ex + F∫ x 2 − x + 1dx .Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество1 ≡ − Ax 4 − 2 Bx 3 − 3Cx 2 + 2 Ax + B + D(x 5 − x 4 + x 3 + x 2 − x + 1)++ x 3 + x + 1) ,0= D+E,0 = −A − D + E + F ,0 = −2 B + D + F ,0 = −3C + D + E ,0 = 2A − D + E + F ,1= B+ D+ F .5откуда x :Найдём коэффициенты a , b , c , δ , e методом неопределённых коэффициентов (сняв временно ограничения x ≠ ±1).
Приравняем коэффициенты приодинаковых степенях x слева и справа:4dx3+ 1)2A=C =0, B =(x + 1) + 2 arctg 2 x − 1 + C (x ≠ −1) .1+ ln 233(x + 1) 9 x − x + 1 3 33dx.Пример 3. ∫ 43x + 2 x + 3x 2 + 2 x + 12x=(Решение. Поскольку x + 2 x + 3 x + 2 x + 1 = xжение, согласно формуле Остроградского, ищем в виде4∫x4322+ x + 1) , то разло2dxAx + BCx + D= 2+∫ 2dx ,2+ 2 x + 3x + 2 x + 1 x + x + 1x + x +13откуда, дифференцируя равенство и приводя дроби к общему знаменателю,получаем тождество1 ≡ A(x 2 + x + 1) − ( Ax + B )(2 x + 1) + (x 2 + x + 1)(Cx + D ) .0=C,x3 :20= −A + D + C ,x :1x : 0 = D − 2B + C ,21x 0 : 1 = A − B + D , откуда A = D = , B = , C = 0 .33Подставляя в формулу Остроградского, окончательно получаем∫x4dx2x + 12dx=+ ∫ 2=22+ 2 x + 3 x + 2 x + 1 3( x + x + 1) 3 x + x + 142x + 12x + 1arctg+C .=+23( x + x + 1) 3 33365§ 3. Интегрирование рациональных функцийХорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл66Задачи для самостоятельного решения4(1 − x )11 + 2(1 − x )10 − 25 (1 − x )9 + C .1192(x + 1) − 2 x + 2 ln 1 + x + C (x ≠ −1) .Ответ:21x3Ответ: − −− arctgx + C (x ≠ 0) .2x 2(1 + x ) 2Ответ: −Найти неопределённые интегралы:1.2.3.4.5.6.1 − 2x∫ 4 x − 3dx .2x + 3∫ 3x + 2dx .dx∫ 3x 2 + 4 x + 1 .dx∫ 15 − 2 x − x 2 .dx∫ (x + 2)(x + 3) .3⎞11⎛x − ln 4 x − 3 + C ⎜ x ≠ ⎟ .4⎠28⎝2522⎞⎛Ответ: x + ln x + + C ⎜ x ≠ − ⎟ .3933⎠⎝1 3x + 11 ⎞⎛Ответ: ln+ C ⎜ x ≠ − ;−1⎟ .2 3x + 33 ⎠⎝1 x+5Ответ: ln+ C (x ≠ −5;3) .8 x−3x+2Ответ: ln+ C ( x ≠ −3;−2) .x+3Ответ: −(x + 3)dx∫ (x + 2)(x − 1) .2 xdx∫ x 2 + 3x − 4 .x +18.
∫dx .25x + 2x + 15x + 39. ∫ 2dx .x + 10 x + 2910.11.12.∫ (x − 1)∫ (1 − 3x )30x 3 dx∫ (x − 1)1008125x + 1ln (5 x 2 + 2 x + 1) + arctg+C.10525x+52Ответ: ln (x + 10 x + 29 ) − 11arctg+C.22(x − 1)11 + C .Ответ:111Ответ:(1 − 3x )−29 + C ⎛⎜ x ≠ 1 ⎞⎟ .3⎠87⎝..Ответ: −13.2Ответ:dx .dxln 5 (x − 1) (x + 4) + C ( x ≠ −4;1) .Ответ:7.101 (x − 1)ln+ C ( x ≠ −2;1) .3x+24Ответ:199( x − 1)9928∫ (2 x + 3) (1 − x ) dx .−398( x − 1)98−397( x − 1)97−196( x − 1)96x2 +1∫ x + 1 dx .dx.15. ∫ 2x (1 + x 2 )214.16.17.x2 +13∫ (x + 2) (x + 1) .22.(x − 1) + 1 arctg 2 x + 1 + C (x ≠ 0;1) .1 1+ lnx 6 x2 + x +133Ответ:1 x2 −1 1− arctg x 2 + C ( x ≠ ±1) .ln 28 x +1 4( )x3 − 2x∫ (x 2 + 1)2 dx .∫ (x2+ 2 x + 2)+ 2 x + 1022x + 323.∫ (x24.∫ (x25.∫ (x2+ 2x + 5dx24.23x + 2+ 2)dx3+ 1)2..)232(x + 1)Ответ:x 2 dx∫ (x4+ C (x ≠ −2;−1) .x+22Ответ:Ответ: −+ C ( x ≠ 1) .Ответ: ln x + 1 +2dx∫ x5 − x2 .xdx.19.
∫ 8x −121.135x −1−+ ln+ C ( x ≠ −3;1) .2()8x−132x+34( x − 1)x 2 dx18.20.Ответ: −∫ (x − 1) (x + 3) dxОтвет:2+1ln (x 2 + 1) + C .21+ arctg ( x + 1) + C .x + 2x + 22dx .1x +13x +1arctg+C.−−232 x + 2 x + 10 18 x + 2 x + 10 54()2)2dx .Ответ:()Ответ:(x8 x +22Ответ:+12 2)2(x +11x−7arctg+C.+28 x + 2 x + 5 16(+)23x3 2x+arctg+C.26432 x + 22x()4 x4 +1(arctg (x)+3 1x2 + x 2 +1(ln 2+4 4 2 x − x 2 +1)())2 + 1 + arctg x 2 − 1 )+ C .67§ 3. Интегрирование рациональных функцийx2 +1112x 2 − 1 13(x 2 + 1)2 + Cdx.Ответ:++arctgxarctgln∫ x6 +1312 x 4 − x 2 + 12 331x4 +1327.Ответ: arctgx + arctg (x ) + C .∫ x 6 + 1 dx .317 21 − x728.Ответ: ln x − ln (1 + x ) + C ( x ≠ 0;−1) .∫ x(1 + x 7 )dx .726.29.x2 + 2∫ x 3 + x 2 − 2 x dx .Ответ: lnx2 − x + 2dx .4− 5x 2 + 4∫x31.x 2 + 2x + 6∫ (x − 1)(x − 2)(x − 4) dx .Ответ:1 ( x + 1) ( x − 2 )+ C ( x ≠ −2;−1;1;2) .ln3 ( x − 1)( x + 2)2Ответ: ln (x − 1) ( x − 4 ) + C ( x ≠ 1;2;4) .74 x + 4 x − 11235( x − 2)132.∫ (2 x − 1)(2 x + 3)(2 x − 5) dx .Ответ: 8 ln33.∫x34.x3 + 4x 2 + 6∫ (x + 1)2 x 2 + 2 dx .(2 x − 1)2 (2 x − 5)32x + 3⎛⎝3 1 5⎞2 2 2⎠+C ⎜x ≠ − ; ; ⎟x+4dx .+ 6 x 2 + 11x + 631Ответ: ln x + 1 − 2 ln x + 2 + ln x + 3 + C ( x ≠ −3;−2;−1) .22(Ответ:35.x230.3(x − 1)(x + 2 ) + C (x ≠ −2;0;1) .)2x131arctg+ C (x ≠ −1) .ln x + 1 −+ ln (x 2 + 2 ) −3x +1 3323x + 1∫ x(1 + x )2 2dx .Ответ: ln x −13x + 13ln 1 + x 2 ++ arctgx + C .2222 1+ x() ()x5 + 1∫ x 4 − 8 x 2 + 16 dx .31129x233127Ответ:+ln x + 2 + C , x ≠ ±2−+ln x − 2 +16(x + 2) 322 16( x − 2 ) 3236.§4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
