Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Интегралы видаax 2 + bx + c( Ax + B )dx5x − 33x + 4( Ax + B )dxИнтегралы указанного вида чаще всего вычисляются выделением в числителе дроби производной от подкоренного выражения:(1414 ⎤, −2 +⎥.22 ⎦3x + 4dx .− x 2 + 6x − 8Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения:Решение.
Выделяя полный квадрат по переменной x , преобразуем квад-4.2.4. Интегралы вида∫1135ln x + 2 + x 2 + 4 x + + C ,2 x 2 + 8x + 1 −22277∫Pn ( x )dxax 2 + bx + cИнтегралы данного вида, где Pn ( x ) – алгебраический многочлен n -йстепени, находятся с помощью тождества∫Pn (x )dxax + bx + c2= Qn −1 ( x ) ax 2 + bx + c + λ ∫dxax + bx + c2,(1)где Qn −1 ( x ) – многочлен (n − 1) -й степени с неопределёнными коэффициентами,λ– ещё один неопределённый коэффициент. Дифференцируя этотождество и умножая нанов:ax 2 + bx + c , получим равенство двух многочле-()1Pn ( x ) = Qn′ −1 ( x ) ax 2 + bx + c + Qn −1 (x )(2ax + b ) + λ ,2из которого методом неопределённых коэффициентов можно определить коэффициенты многочлена Qn −1 ( x ) и число λ .Пример.∫(x3)− 2 dxx + x +12.Решение. Воспользуемся формулой (1) :Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл78(x∫3)− 2 dxx2 + x +1(= ax 2 + bx + c)x2 + x +1 + λ∫Дифференцируя это тождество, имеемx −23x + x +12λ+(ax= (2ax + b ) x 2 + x + 1 +§4. Интегрирование иррациональных функцийdxx2 + x +1)+ bx + c (2 x + 1)22 x + x +12., откуда, умножая на 2 x + x + 1 , получимx2 + x +12 x 3 − 2 = (4ax + 2b ) x 2 + x + 1 + (ax 2 + bx + c )(2 x + 1) + 2λ .Для нахождения неопределённых коэффициентов a, b, c и λ имеем систему⎧2 = 4 a + 2 a⎪0 = 4a + 2b + a + 2b15⎪уравнений ⎨, откуда определяем a = , b = −,abbc0422=+++312⎪⎪⎩− 4 = 2b + c + 2λx 3 − 2 dx125c = − , λ = − .
Следовательно, ∫=2416x2 + x +1(2)()()51 ⎞dx25⎛1= ⎜ x2− x − ⎟ x2 + x +1 −=∫21224 ⎠16⎝313⎛⎞⎜x + ⎟ +2⎠4⎝51 ⎞251⎛1ln x + + x 2 + x + 1 + C .= ⎜ x2− x − ⎟ x2 + x +1 −1224 ⎠162⎝3∫ (x − α )4.2.6. Интегралы видаИнтегралы видаподстановки t =∫dtAt + Bt + C2∫ (x − α )dxndxax 2 + bx + cax 2 + bx + c(n = 1)(n ∈ N )берутся с помощью1.
В результате они приводятся к интегралам типаx −α. Интегралы вида∫ (x − α )dxnax 2 + bx + c1dt1. Тогда x = + α , dx = − 2 ,tx −αt22aα + bα + c t + (2aα + b )t + aются с помощью замены t =(ax 2 + bx + c =+также вычисля-79∫ (x − α ))dxnи получаем, чтоt2ax 2 + bx + c= −∫(aαt n −1 dt2+ bα + c )t 2 + (2aα + b )t + a(т.е. интеграл сводится к интегралу предыдущего типа п.4.2.5).Пример 1.dx∫x.5x 2 − 2 x + 111dtРешение. Положим t = , тогда x = , dx = − 2 и, подставляя в интеxttграл, получим (при t > 0 , см.
замечание в п.4.2.13):∫xdx5x − 2 x + 12= −∫dtt21 5 2− +1t t2 t= − ln t − 1 + t 2 − 2t + 5 + C = − ln= −∫1−1+xdtt − 2t + 52=1 2− +5 +C =x2 x1 − x + 5x 2 − 2 x + 1= − ln+ C (x > 0) .xПример 2.(3x + 2)dx∫ (x + 1)x 2 + 3x + 3.Решение. Разобьём интеграл на сумму двух интегралов:(3x + 2)dx∫ (x + 1)=∫3( x + 1) − 1dx =(x + 1) x 2 + 3x + 3x 2 + 3x + 3dxdx= 3∫−∫= 3 ⋅ I1 + I 2 .(x + 1) x 2 + 3x + 3x 2 + 3x + 3Вычислим каждый из интегралов I 1 и I 2 .Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл80§4. Интегрирование иррациональных функцийПриравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t , получаем систему⎧2 = 20 A⎪⎨0 = 15 A + 10 B⎪0 = 2 A + 5 B + 2λ ,⎩3+ x 2 + 3x + 3 + C1 ;21(t > 0) :в интеграле I 2 положим t =x +1dtdtt2I2 = ∫=∫=22tt++11 ⎛1 ⎞⎛1 ⎞⎜ − 1⎟ + 3⎜ − 1⎟ + 3t ⎝t ⎠⎝t ⎠1= ln t + + t 2 + t + 1 + C 2 .2I 1 = ln x +∫=+ lnПример 3.x + 3x + 311+ +x +1 2∫ (x − 1)= 3 ln x +3+ x 2 + 3x + 3 +2dxДифференцируя это тождество, получаем5t + 5t + 1= A 5t 2 + 5t + 1 +( At + B )(10t + 5) +2 5t + 5t + 12λ5t + 5t + 12Умножим полученное тождество на 2 ⋅ 5t + 5t + 1 :22t = t (20 A) + t (15 A + 10 B ) + (2 A + 5B + 2λ ) .22−.x 2 + 3x + 1111Решение.
Положим t =, тогда x = 1 + , dx = − 2 dt и в резульx −1ttтате перехода к новой переменной приходим при t > 0 к интегралуt 2 dtI = −∫. Далее воспользуемся формулой (1) :5t 2 + 5t + 1t 2 dtdt2∫ 5t 2 + 5t + 1 = ( At + B ) 5t + 5t + 1 + λ ∫ 5t 2 + 5t + 1 .25ln t +11+ t2 + t + + C .2511113⎞⎛1ln t + + t 2 + t + + C ,I = − ⎜ t − ⎟ 5t 2 + 5t + 1 −2540 5⎝ 10 10 ⎠13x − 5x 2 + 3x + 1 −где t =, или I =2x −120( x − 1)x 2 + 3x + 3+ C (x + 1 > 0) .x +13t21Окончательно имеем(3x + 2)dx21311, B=−, λ=.
Далее,102040d (t + 1 2 )dt1=⋅∫=255t 2 + 5t + 1(t + 1 2) − 1 20откуда находим A =Окончательно имеем∫ (x + 1)81.1140 5(x + 1)ln5 + 2 x 2 + 3x + 1+ C (x > 1) .x −1dx(n ∈ Z )+ a ⋅ bx 2 + cИнтегралы этого типа при bc ≠ 0 вычисляются подстановкой′ctdtct 2bx22t = bx + c =. Тогда x =, xdx =и,2222b b−tt −bbx + c2умножая и деля подынтегральную дробь на bx , получим⎛⎞bx11dx⎜=∫ x 2 + a n ⋅ bx 2 + c b ∫ x 2 x 2 + a n ⎜⎝ bx 2 + c ⎟⎟⎠ xdx =11ctdt⋅t ⋅.= ∫n22b ⎛ ct 2 ⎞⎛ ct 2t −b⎞⎜⎜⎟⎜+ a ⎟⎟2 ⎟⎜2⎝ b b − t ⎠⎝ b b − t⎠4.2.7. Интегралы вида∫ (x)n2)(((()() ()())())Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл82Пример.∫ (xdx2)+1 x2 + 2t=Решение.
Положим()24.2.9. Интегралы вида2)′+2 =xx2 + 2x2 =, тогда2t 2,1− t 2∫ (xdx2)+1 x2 + 2=∫x ⋅ xdxx2 + 2 ⋅ x2∫⋅ (x + 1)=24.2.8. Интегралы вида∫ (x2)2tt2 +1⋅1− t 2 1− t 2xdt=∫ 2= arctgt + C = arctgt +1x +22+ a ⋅ bx 2 + c=∫ (x(n ∈ Z )t −ctdtt = bx + c . Тогда x =, xdx =и интеграл преобразуется кbb22виду∫tdt1∫ (x 2 + a )n ⋅ bx 2 + c = b ∫ ⎛ t 2 − c ⎞ n .⎜⎜+ a ⎟⎟ ⋅ tb⎝⎠xdx∫ (x2+ 1) x 2 + 2Решение.
Положим t =ходим к интегралу.(xx 2 + 2 , тогда x 2 = t 2 − 2 , xdx = tdt и при-dt1 t −11x + 2 −1∫ t 2 − 1 = 2 ln t + 1 + C = 2 ln x 2 + 2 + 1 + C .)+ px + q )n∫=ax 2 + bx + c2( A1 x + B1 )dx(x2+ px + q )n+12.A1(2 x + p ) + B1 − A1 p , то222d x + px + qdx= C1 ⋅ ∫.+ D1 ⋅ ∫11+nn+22x + px + q 2(x + px + q ) 2(2+ px + q )1n+2)()Первый из полученных интегралов табличный. Для вычисления интегралаdx(x+ px + q2применяется подстановка Абеля: t =(x2)n+(1)12)′+ px + q .В общем случае, когда отношение трёхчленовax 2 + bx + cиx + px + q непостоянно, в интеграле( Ax + B)dx2∫ (x2+ px + q)nax 2 + bx + cделают замену переменной интегрирования так, чтобы во вновь полученныхтрёхчленах одновременно исчезли члены с первой степенью.
Это достигается,например, с помощью дробно-линейной подстановки x =p≠22( A1 x + B1 )dxxdxПример.( Ax + B)dx∫Интегралы данного вида при bc ≠ 0 рационализируются подстановкой2(Поскольку A1 x + B1 =+C .xdxn(1 − t )22222 2( Ax + B )dxПредположим вначале, что ax + bx + c = a x + px + q . Тогдаразделим подынтегральное выражение на x :2tdt∫ (xне имеет действительных корней.. Для удобства преобразований умножим иt⋅83(n ∈ N )n+ px + q ) ax 2 + bx + c22Здесь считается, что p − 4q < 0 , т.е квадратный трёхчлен x + px + q.(xt2 +12tdt, xdx =x2 +1 =21− t1− t2§4. Интегрирование иррациональных функцийαt + βt +1, еслиbbp, и x = t − , если p = .a2aВ результате получаем интеграл∫ (t2Mt + N+λ)nδt 2 + rdt ,для вычисления которого представим его в виде суммы(2)Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл84∫ (tMtdt2+λ)nδt 2 + r+ N ⋅∫(t2+λ)dtnδt 2 + rК первому из этих интегралов применяем подстановку u =второму – подстановку v =Пример 1.∫ (x( δt2+r) (см. п.4.2.7–п.4.2.8).′dx2)+ x +1 x + x −12§4. Интегрирование иррациональных функций2-й способ. Вычислим этот же интеграл без применения тригонометриче-.ских подстановок. Полагая y = x +δt 2 + r ,а коп.4.2.7)∫ (xdx)+ x +1 x + x −12dx=∫218 + 3 cos u54 d (cos u )+ C , где u = arcsinln.=∫2x + 168 − 3 cos u3 82− cos u31⎡ 1⎤Окончательно получим при x ∉ − 1 + 5 ,5 −1 ⎥ :⎢ 22⎣⎦=(∫ (xdx2)+ x +1 x + x −12) ()(2 x + 1) 2 + 3(x 2 + x − 1)= 1 ln+C.6(2 x + 1)()2 − 3 x + x −12dy, который рационализируется подстановкой2′⎛ 2 5⎞t = ⎜⎜ y − ⎟⎟ =4⎠⎝.=2⎛⎛⎞ ⎛1315⎞⎞⎜⎜ x + ⎟ + ⎟ ⎜ x + ⎟ −⎜⎝2⎠4 ⎟⎠ ⎝2⎠4⎝dx2x + 1.
Положим t =, тогда=∫225⎛⎞5 5 ⎜ ⎛ 2x + 1 ⎞3 ⎛ 2x + 1 ⎞⎟ −1⎟⎟ + ⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜8 ⎝⎝ 5 ⎠5 ⎟⎠ ⎝ 5 ⎟⎠dt5dt = 2dx и, значит, приходим к интегралу 4 ∫. Поло5 ⎛ 2 3⎞ 2⎜t + ⎟ t −15⎠⎝dt11жим теперь t =, откуда = sin u , − 2 = cos udu . Поэтомуtsin ut4sin udu4cos u sin udu4dt==− ∫=− ∫∫8355 ⎛ 3 2 ⎞25 ⎛ 2 3⎞ 2− cos u⎜1 + sin u ⎟ cos u⎜t + ⎟ t −15 55⎠⎝ 5⎠⎝2∫⎛1, сразу приходим к интегралу (см.23⎞ 2 5⎜y + ⎟ y −4⎠4⎝Решение. 1-й способ. Выделяя полный квадрат, перепишем интеграл ввиде85yy2 −54dyоткудаy2 −Подставляя в интеграл, имеем∫34dt=− 2t2163 + 8tln3 − 8t+ C , где t =(∫ (xdx2)+ x +1 x2 + x −1Пример 2.∫dx(x2+x+21=)56ln2 x2 + x −1) ((2 x + 1)(2 x + 1)54dt.1− t22x + 11⎡ 11+ 5 ,2⎣ 2и окончательно получаем при x ∉ −⎢=,)⎤5 −1 ⎥⎦(3(x) +C .+ x − 1)2 + 3 x2 + x −12−2.Решение. Это интеграл вида (1) , воспользуемся для его вычисления подстановкой Абеля, положив t =(x2)′+x+2 =2x + 1.
Тогда2 x2 + x + 24t 2 (x 2 + x + 2) = 4 x 2 + 4 x + 1 = 4(x 2 + x + 2) − 7 ,−722откуда x + x + 2 = 2. Дифференцируя равенство t x + x + 2 =4t − 41= x + с использованием в его левой части правила d (uv ) = vdu + udv ,21⎞⎛2имеем d t x + x + 2 = d ⎜ x + ⎟ ,2⎠⎝()Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл86(2 x + 1)dxx 2 + x + 2 ⋅ dt + t ⋅§4.
Интегрирование иррациональных функций= dx ,2 x +x+22I2 = ∫x 2 + x + 2 ⋅ dt + t 2 dx = dx ,(xоткуда получаем требуемое соотношение, связывающее дифференциалы«старой» и «новой» переменных интегрирования:dt.=22x + x + 2 1− t∫=∫(4t(x2+x+2))5dx(x +x+2 x +x+222Пример 3.∫ (x((x + 2)dx2).=∫xdx+1 x2 + 22)2∫(=(x + 2)dx2)+1 x2 + 2(x2)+1 x2 + 2=второго+∫ (x2dx2ставляя в интеграл, получим)+1 x2 + 2∫2)+1 x2 + 2x2 + 2 −1x + 2 +12интеграла2tdt(1 − t )2 22t 2 t 2 + 1⋅1− t2 1− t2xx2 + 2=+C.∫ (x2x2 + 2 −1x2 + 2 +1dx)11x − 132)− x +1 x2 +1xx2 + 2новкой x =αt + βt +1x2 − x +1 =∫ (u + 1)1 + 2u(x < 0).dx ..
Найдём коэффициентыα2иβ . Имеемα 2 t 2 + 2αβ t + β 2 − (αt + β )(t + 1) + t 2 + 2t + 1(t + 1)2.Приравнивая к нулю коэффициент при t в числителе этой дроби, получаемсоотношением между α и β :2αβ − α − β + 2 = 0 .+C.положим+C.на промежутке x > 0+1 x2 + 2− du1приводится к видуx2∫ (x+ 2arctgРешение. Так как отношение трёхчленов x − x + 1 и x + 1 не являетсяконстантой, то приведём этот интеграл к виду (2 ) дробно-линейной подста-= I1 + I 2 .Посколькуt=(x2t 2t2 +12tdt2Тогда x =, x +1 =, xdx =2221 −t1− t1− t2x +2x2=21 z −11ln+ C = ln2 z +12вычисления)Пример 4.u = x 2 , а затем z = u + 2 , получимdudz1I1 = ∫=∫ 22 (u + 1) u + 2(z − 1) =Для(x + 2)dxзаменой u =Положив в первом из интегралов=2 x( xdx)2dt= 2arctgt + C = 2arctgt2 +1Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
