Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Множество других примеров вы сможете найти в тексте пособия.Пример 1. а)Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл30зуем подынтегральное выражение к видуsin 3 x cos xdx = sin 3 xd sin x = t 3 dt .Интеграл от последнего выражения вычисляется легко:t4+C.4Осталось лишь вернуться к переменной x , подставляя sin x вместо t :sin 4 x3=+C .sinxcosxdx∫43∫ t dt =Отметим, что в данном примере основным назначением сделанной заменыпеременной было сведение интеграла от трансцендентной функции тригонометрического вида к интегралу от рациональной алгебраической функции.Нередки ситуации, когда для решения одной и той же задачи могут существовать различные подстановки.
Умение подобрать наиболее эффективную вданной конкретной ситуации подстановку определяет, в том числе, культуруинтегрирования учащегося.Рассмотрим пример задачи, где при вычислении интеграла возможны сразу несколько различных подстановок. Следовательно, возникает проблемавыбора наиболее оптимальной из них. А для того чтобы выбрать более удобную подстановку, надо знать их разновидности и области применения. Итак,сравнивайте и выбирайте.Пример 2.∫xdxx 2 −1.Решение.
1-й способ (подстановка t =подстановкой t =1, тогдаx1). ОДЗ: x > 1 . Воспользуемсяx31§ 2. Основные методы интегрированияdx = −dt,t2Заметим, что можно было бы вычислить данный интеграл с помощью аналогичной подстановки через косинус:11− t2−1=,tt2x2 −1 =x=t = t ⋅ sgn t , в результате получаем:и, учитывая тождествоdtdtdxdtt2==∫ x x 2 − 1 ∫ 1 1 − t 2 = − sgn t ∫ 1 − t 2 = − ∫21t−⋅tt−2-й способ (подстановкаx = cht , t ≥ 0 . Тогда∫xt = x − 1 ).x −1 ,22dxx2 −1=∫xxdx2x2 −1== arctg∫ (t(t/dtdt= arctgt + C ==∫ 2t +1+ 1 t/2))x2 −1 + C .1).sin t1, гдеВыполним тригонометрическую подстановку x =sin t3-й способ (тригонометрическая подстановка x =1cos 2 t cos tx −1 =−1 ==sin tsin 2 tsin 2 tcos t= sgn(sin t ) ⋅ ctgt , dx = − 2 dt и для интеграла имеем:sin tcos t−dt2dxtsin= − sgn (sin t )∫ dt =∫ x x 2 −1 = sgn(sin t )∫ 1⋅ ctgtsin t11− sgn(sin t ) ⋅ t + C = − sgn x ⋅ arcsin + C = − arcsin + C .xx⎡ π ⎞ ⎛ π⎤t ∈ ⎢− ,0 ⎟ U ⎜ 0, ⎥ , тогда⎣ 2 ⎠ ⎝ 2⎦2x 2 − 1 = ch 2 t − 1 = sh 2 t = sht и, следова-тельно,тогда x = t + 1 , xdx = tdt и∫xx = cht ).Теперь вычислим интеграл при помощи гиперболической подстановки2Сделаем рационализирующую замену переменной, положив t =1⎡ π ⎞ ⎛π ⎤, где t ∈ ⎢0, ⎟ U ⎜ , π ⎥ .cos t⎣ 2⎠ ⎝2 ⎦4-й способ (гиперболическая подстановка1= − arcsin t + C = − arcsin + C .x2Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл32dxx 2 −1=dx∫xx2 −1=∫d (cht )sht=∫dt =cht ⋅ shtcht ⋅ sgn (sht )shtdtcht ⋅ dtd ( sht )= sgn (sht )∫= sgn (sht )∫=2chtch t1 + sh 2 td ( sht )= sgn (sht )∫= sgn(sht ) ⋅ arctg (sht ) + C = arctg sht + C =1 + sh 2 t= sgn (sht )∫ch 2 t − 1 + C = arctg x 2 − 1 + C .= arctg5-й способ (1-я подстановка Эйлера).Положимdx =t = x 2 − 1 + x , тогда x 2 − 1 = (t − x )2 ⇒ x =t2 +1⇒2tt 2 −1dt и для интеграла получаем2t 2∫xdxx2 −1=∫t2 −1dt2t 2= 2arctgt + C =dt = 2 222t +1t +1 t −1⋅2t2t= 2arctg∫()x2 −1 + x + C .Подчеркнём ещё раз, что замена переменной – наиболее мощный и частоиспользуемый метод при вычислении интегралов от иррациональных итрансцендентных функций.
Как правило, подобрать подходящую замену всложных случаях – целое искусство. В некоторых случаях удаётся сформулировать общие рекомендации по заменам, ориентируясь на конкретный классинтегрируемых функций. Например, разработаны и проверены практикойспециальные рационализирующие подстановки при интегрировании ирра-33§ 2.
Основные методы интегрированияциональных алгебраических функций; существуют рекомендации по заменамв классе тригонометрических функций. Многие из таких подстановок будутрассмотрены ниже в соответствующих пунктах.u ( x ) и v( x ) – дифференцируемые на одном и том же множествефункции и существует первообразная для функции u ( x )v ′( x ) , то существуети первообразная для функции v( x )u ′( x ) , причём справедлива формула инЕслитегрирования по частям:∫ u (x )v′(x )dx = u (x )v(x ) − ∫ v(x )u ′(x )dxили, в краткой форме,∫ udv = uv − ∫ vdu .В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv – оставшаяся часть подынтегрального выражения,содержащая dx , из которой можно определить v путём интегрирования.Данный метод используют в тех случаях, когда интеграл в правой частиформулы вычисляется проще исходного интеграла (в левой части).
Как правило, формула применяется в ситуациях, когда подынтегральная функцияпредставляет собой произведение «разнородных» функций, например, алгебраической и трансцендентной функций. В целом, интегрирование по частямимеет более ограниченную область применения, чем замена переменной, ноесть целые классы интегралов, например,ne ax dx ,∫xnsin axdx ,∫xncos axdx ,∫xnln m xdx(n, a ∈ R, n ≠ −1, m ∈ N ) , ∫ sin (ln x )dx , ∫ cos(ln x )dx , а такжеaxaxax∫ e cos bxdx , ∫ e sin bxdx (a, b ∈ R ) , ∫ P(x )e dx , ∫ P(x )sin axdx∫ P(x )cos axdx , ∫ P(x )ln xdx , ∫ P(x )arcsin xdx , ∫ P(x ) arccos xdx ,∫ P(x )arctgxdx , ∫ P(x )arcctgxdx ,гдекоторые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям. Приэтом в интегралах∫ P(x )eaxdx , ∫ P( x )sin axdx , ∫ P ( x ) cos axdxu следует принять P(x ) , а за dv – соответственно выражения e ax dx ,sin axdx , cos axdx ; а в интегралах вида∫ P(x )ln xdx , ∫ P(x )arcsin xdx , ∫ P(x ) arccos xdx ,за2.3.
Интегрирование по частям∫xХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл34P(x ) – целый алгебраический многочлен относительно x= a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 (ai ∈ R, a n ≠ 0) ,∫ P(x )arctgxdx , ∫ P(x )arcctgxdxu принимаются соответственно функции ln x , arcsin x , arccos x ,arctgx , arcctgx , а за dv – выражение P(x )dx .заВ некоторых случаях для получения результата приходится несколько разинтегрировать по частям, постепенно упрощая задачу. Иногда на каком-тоэтапе обнаруживается, что исходный интеграл выражается через некоторыефункции и себя самого, тогда его вычисляют, выражая из данного равенства(рассматривая равенство как уравнение относительно искомого интеграла).Повторное применение правила интегрирования по частям приводит к такназываемой обобщённой формуле интегрирования по частям.
Пусть функцииu x и v x имеют в рассматриваемом промежутке непрерывные производ-( )( )ные всех порядков до(n + 1) -го включительно:u ′, v ′, u ′′, v ′′,..., u (n +1) , v (n +1) .Тогда имеет место формула∫ uv( n +1)dx = uv (n ) − u ′v (n −1) + u ′′v (n − 2 ) − ... ++ (− 1) un(n )v + (− 1)n +1∫u( n +1)vdx .Особенно выгодно пользоваться этой формулой, когда одним из сомножителей в подынтегральной функции служит алгебраический многочлен n -й сте( n +1)пени. Тогда производная uтождественно равна нулю и для интеграла влевой части получается окончательное выражение.С помощью интегрирования по частям иногда удаётся вывести рекуррентную формулу понижения для отдельных типов интегралов, содержащихнатуральный параметр n , позволяющую свести вычисление данного интеграла к вычислению интеграла такого же типа, но с меньшим значением n .Например, для интегралаIn =∫ (xdx2+ a2 )получена формула понижения степениn(n ∈ N )35§ 2.
Основные методы интегрированияxIn =+1 2n − 3⋅ I n −1 .a 2 2n − 22a 2 (n − 1)(x 2 + a )1xЗная интеграл I 1 = arctg , за конечное число шагов приходим к интеaaгралу I n (см. подробнее п.3.6). Обратимся к примерам.Пример 1.2 n −1ln x приводит к упрощению, поdx1 43, v = x и, интегрируя положим u = ln x , dv = x dx . Тогда du =x4частям, находим111 41x ln x − ∫ x 3 dx = x 4 ln x − x 4 + C (x > 0) .416442Пример 2. ∫ x sin xdx .3ln xdx =∫ x d (− cos x ) = − x cos x − ∫ (− cos x )d (x ) =cos x + 2 ∫ x cos xdx = − x cos x + 2(x sin x − ∫ sin xdx ) =Решение.= − x22222= − x 2 cos x + 2( x sin x + cos x ) + C . В общей сложности здесь правилоинтегрирования по частям пришлось применить дважды.Пример 3.ax∫ e sin bxdx (a ≠ 0) .Решение.
Интегралы вида∫eaxsin bxdx ,∫eaxcos bxdx вычисляютсядвукратным интегрированием по частям. В результате получается уравнениеотносительно неизвестного интеграла. В данном случае положим u = sin bx ,dv = e ax dx .Тогдаdu = b cos bxdx ,v=1 axeaиимеем:1 axbe sin bx − ∫ e ax cos bxdx .
Ещё раз проинтегрируемaaпо частям образовавшийся справа интеграл, положив в нём u = cos bx ,1dv = e ax dx . Тогда du = −b sin bxdx , v = e ax и придём к результату:a1 axb ⎛ 1 axb ax⎞ax∫ e sin bxdx = a e sin bx − a ⎜⎝ a e cos bx + a ∫ e sin bxdx ⎟⎠ =∫eaxsin bxdx =2b1 ⎛⎞ b= e ax ⎜ sin bx − cos bx ⎟ − 2 ∫ e ax sin bxdx . Обозначим теперь исходaa ⎝⎠ aный интеграл через I . Тогда имеем уравнение относительно I :2b1 ⎛⎞ bI = e ax ⎜ sin bx − cos bx ⎟ − 2 I ,a ⎝a⎠ aоткуда выражаем3∫ x ln xdx .Решение. Так как дифференцирование∫xХорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл36a2 + b2b1 ⎛⎞I = e ax ⎜ sin bx − cos bx ⎟ ,2a ⎝aa⎠1I= 2т.е.e ax (a sin bx − b cos bx ) .a + b21axОкончательно, ∫ e sin bxdx = 2e ax (a sin bx − b cos bx ) + C .2a +bПример 4. ∫ arcsin xdx .Решение.du =11− x2−∫xПолагаяu = arcsin x ,( x ≤ 1) ,определяемdx , v = x . Следовательно, ∫ arcsin xdx = x arcsin x −11− x2dx = x arcsin x +(1 1− x2= x arcsin x + ⋅21/ 2Пример 5.dv = dx∫x2)12(11− x22∫) d (1 − x ) =−122+ C = x arcsin x + 1 − x 2 + C .arccos xdx .Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
