Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Следующее свойство 5 показывает,что приведённая ниже таблица интегралов справедлива независимо от того,является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией.∫ f (x )dx = F (x ) + Cруема, то ∫ f (u )du = F (u ) + C .5. Еслииu = ϕ ( x ) – непрерывно дифференци-6. Одна из первообразных чётной функции есть функция нечётная, а всякая первообразная нечётной функции есть функция чётная.Рассмотрим далее табличные интегралы и наиболее общие методы вычисления неопределённых интегралов. К ним традиционно относят следующие: сведение интеграла к простейшим интегралам при помощи тождественных преобразований и использования свойств интегралов, метод замены переменной и интегрирование по частям.
Обратим внимание на то, что приписывать константу C в неопределённом интеграле нужно обязательно, в противном случае вы находите лишь одну из первообразных, и это считаетсявесьма грубой ошибкой. Кроме того, надо приучить себя при вычислениинеопределённых интегралов всегда указывать область интегрирования (ана-Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл24лог ОДЗ в уравнениях и неравенствах, области определения функций). Заметим также, что ниже мы будем говорить об интегралах только для непрерывных функций. Если же функция имеет точки разрыва, то рассматривать еёбудем лишь в промежутках её непрерывности, где интеграл от неё существует.1.5. Таблица простейших интеграловОтметим, что название «табличный интеграл» является довольно условным. Существует некоторый минимальный набор неопределённых интегралов, к которым наиболее часто сводится вычисление интегралов. В частности,к ним относят интегралы от некоторых известных элементарных функций.
Помере того, как вы приобретаете всё больше навыков в вычислении неопределённых интегралов, понятие «табличного интеграла» расширяется, и в условную таблицу попадают многие из вычисленных прежде интегралов. Правильность выполненного интегрирования в случае сомнений всегда можно проверить, продифференцировав полученный результат. Приведём лишь некоторые, наиболее часто употребляемые виды интегралов.Интегралы от степенных функций:1.n∫ x dx =2.∫x n +1+ C (n ∈ R, n ≠ −1; x ∈ R ) ;n +1dx= ln x + C (n = −1, x ≠ 0) .xИнтегралы от показательных и, в частности, экспоненциальнойфункций:ax+ C (a > 0, a ≠ 1; x ∈ R ) ;3. ∫ a dx =ln ax∫eИнтегралы от тригонометрических функций:∫ cos xdx = sin x + C (x ∈ R) ;5.
∫ sin xdx = − cos x + C ( x ∈ R ) ;4.dx6.∫ cos7.∫ sin2π⎛⎞= tgx + C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ ;2x⎝⎠dx2x= −ctgx + C ( x ≠ πn, n ∈ Z ) .xdx = e x + C .(a = e)25§ 1. Понятие неопределённого интегралаХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл26Интегралы от рациональных функций:8.dx∫1+ x2Задачи для самостоятельного решения⎧arctgx + C( x ∈ R ; этот интеграл подразумевает двоя=⎨⎩− arcctgx + Cкую форму записи; в зависимости от ситуации можно использовать какпервое, так и второе его представление);x⎧1⎪ a arctg a + Cdx⎪x ∈ R ; здесь и ниже параметр a счита9.∫ x2 + a2 = ⎨ 1x⎪− arcctg + C⎪⎩ aaем положительным;()Найти неопределённые интегралы:1.∫2.∫ (1 + x − 1 − x )dx .3.∫1dxx−a10.
∫ 2ln+ C (x ≠ ±a ) .=22a x + ax −aИнтегралы от иррациональных функций:∫⎧arcsin x + C=⎨⎩− arccos x + C1− x12.∫x⎧⎪⎪arcsin a + Cdx=⎨a 2 − x 2 ⎪− arccos x + C⎪⎩a13.∫11.14.∫15.∫dx2dxx ±a22( x < 1) ;4.( x < a) ;(Ответ:Ответ:⎧1,⎪2 x ,⎩∫ chxdx = shx + C (x ∈ R) ;dx18. ∫= thx + C ( x ∈ R ) ;ch 2 x17.∫ shxdx = chx + C (x ∈ R) ;5.∫6.∫ (−1)рым можно обращаться в случае необходимости (например, [12]).если 1 < x < +∞.1 − 2 x 2 + x 4 dx .[x ]dx .Ответ:x3+ C , если x ≤ 13xx 1+ sgn x + C , если267.∫ min (5 − x2,1, x 2 )dx .x > 1.⎧ x34⎪ − x − + C , если − ∞ < x < 1,33Ответ: ⎪⎪x3+ C , если − 1 ≤ x < 1,⎨x −3⎪⎪ x34⎪ − x + + C , если 1 ≤ x < +∞.33⎩x − 2n + C , где 2n − 1 ≤ x ≤ 2n + 1 , n ∈ Z .⎧5 x − x3 + 6,x < −2⎪2− 2 ≤ x < −1⎪x + 3 ,3⎪Ответ: x ,−1≤ x ≤1⎨3⎪x − 2 ,1< x ≤ 23⎪3⎪5 x − x − 6,x > 2.3⎩3dx19. ∫ 2 = cthx + C ( x ≠ 0) .sh xСуществуют специальные (пополняемые) таблицы неопределённых интегралов, содержащие большое количество ныне известных интегралов, к кото-если − ∞ < x < 0,если − ∞ < x < 0,⎧x + C,⎪ 2Ответ: ⎪ x⎨ + x + C , если 0 ≤ x ≤ 1,⎪2⎪⎩ x 2 + 0,5 + C , если 1 < x < +∞.⎧1 − x 2 , если x ≤ 1,f ( x )dx , где f (x ) = ⎪⎨⎪⎩1 − x , если x > 1.)xaxa2 − x2 +arcsin + C ( x ≤ a ) ;a222xaa 2 + x 2 dx =a2 + x2 +ln x + a 2 + x 2 + C .22a 2 − x 2 dx =+C .21((1 + x )1 + x + (1 − x )1 − x ) + C .2⎧⎪x −Ответ: ⎪⎨⎪x −⎪⎩2xxf ( x )dx , где f (x ) = ⎪⎨ x + 1, если 0 ≤ x ≤ 1,= ln x + x 2 ± a 2 + C x 2 ± a 2 > 0 ;Интегралы от гиперболических функций:16.∫x dx .Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл28§ 2.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ–––выделение полных квадратов (кубов);использование формул сокращённого умножения;выделение у дроби целой части (часто используется при интегрированиирациональных дробей);– выделение в числителе дроби производной от знаменателя;– использование алгебраических тождеств, тригонометрических и гиперболических формул и т.п.Разнообразные примеры использования перечисленных и некоторых других приёмов рассматриваются ниже в тексте пособия. Обращайте на них внимание и старайтесь запоминать, в каких случаях какие приёмы удобно использовать.Практически любой неопределённый интеграл вычисляется путём его упрощения и сведения в конечном итоге к табличному (табличным) интегралу.Специфика используемых при этом математических средств позволяет отнести к основным методам интегрирования следующие три способа интеграции:– использование алгебраических, тригонометрических и прочих преобразований, а также свойств интегралов;– замена переменной интегрирования;– интегрирование по частям.Заметим, что в любой более-менее сложной задаче обычно в различныхкомбинациях используются сразу несколько приёмов.
В частности, при вычислении интеграла замена переменных (или интегрирование по частям) могут использоваться неоднократно, сопровождаясь упрощающими решениепреобразованиями подынтегрального выражения. Остановимся на каждом изперечисленных методов подробнее.Вообще, умение найти для вычисляемого интеграла наиболее краткий и«красивый» способ интегрирования является часто непростой задачей. Этоумение вырабатывается постепенно и приходит с опытом.2.2. Интегрирование путём замены переменнойИзложим один из сильнейших приёмов для интегрирования функций–метод замены переменной, или метод подстановки.
Рассмотрим два возможных случая.1. Внесение функции под знак дифференциала. Если подынтегральное выражение f x dx представимо в виде g t x t ′ x dx , где функция g t не-()( ( )) ( )()прерывна на множестве T , а функция t = t ( x ) – непрерывна на соответствующем множестве X вместе со своей производной t ′( x ) , то справедливаследующая формула перехода от2.1. Интегрирование путём сведения к табличныминтегралам с помощью различных преобразованийИногда интеграл удаётся вычислить, не прибегая к замене переменнойили интегрированию по частям, а просто с помощью различных алгебраических, тригонометрических и других преобразований подынтегрального выражения и используя свойство линейности интегралов.
К преобразованиямтакого рода относят обычно следующие:– добавление (с одновременным вычитанием) к подынтегральной функцииконстанты или некоторого выражения; обычно за этим следует разбиениеинтеграла в сумму более простых интегралов;– одновременное умножение или деление числителя и знаменателя дробипод знаком интеграла на некоторое выражение; например, при интегрировании функций с радикалами часто применяют домножение на сопряжённоевыражение;x к новой переменной интегрирования t :∫ f (x )dx = ∫ g (t (x )) ⋅ t ′(x )dx = ∫ g (t )dt .(1)t ′( x ) вносится под знак дифференциала согласноизвестному свойству дифференциала t ′( x )dx = d (t ( x )) . В простейших слуПри этом производнаячаях, чтобы распознать эту ситуацию, бывает достаточно знания табличныхинтегралов, например,( )2 xdx = d x 2 , cos xdx = d (sin x ) , sin xdx = −d (cos x ) ,dxdxdx=d x ,= d (ln x ) , 2= d (arctgx ) ,xx +12 xdx⎛1⎞= d (tgx ) , e 2 x dx = d ⎜ e 2 x ⎟ .2cos x⎝2⎠( )29§ 2.
Основные методы интегрированияВ более сложных случаях могут потребоваться приобретённый ранее опыт иинтуиция:()1 ⎞1⎞⎛⎛= d 1 + x 2 , ⎜1 − 2 ⎟dx = d ⎜ x + ⎟ и т.п..x⎠x ⎠⎝⎝1+ x2xdxЗамену переменной интегрирования осуществляют в тех случаях, когдаполучаемая в результате «новая» подынтегральная функция g t удобнее для()( )интегрирования по сравнению с исходной подынтегральной функцией f x .Основная сложность этого метода состоит в том, чтобы «увидеть» в исходномподынтегральном выражении f x dx более простое для интегрирования()выражение g (t ( x ))t ′( x )dx = g (t )dt .
Практически реализация метода заключается во внесении функции t ′( x ) под знак дифференциала dx с образованием нового дифференциала dt . Вычислив интеграл ∫ g (t )dt = G (t ) + C , вконце необходимо вернуться к первоначальной переменной интегрированияx путём обратной подстановки t = t x :()∫ f (x )dx = G(t (x )) + C .∫ sin3x cos xdx ; б) ∫dx∫e5xdx .2 − 3xРешение. а) Так как d (sin x ) = cos xdx , то, полагая t = sin x , преобра2; в)Заметим также, что при определённом навыке новую переменную в простых случаях можно в явном виде и не вводить, проделав это мысленно. Скажем, в рассмотренном выше примере можно было обойтись без введения новой переменной t .
Тогда решение задачи выглядело бы короче:33∫ sin x cos xdx = ∫ sin xd (sin x ) =sin 4 x+C.4В следующих двух примерах при сведении интегралов к табличным также небудем вводить новые переменные, а сразу запишем результат:б)∫dx2 − 3x 2=13∫dx2=⎛ 2⎞2⎜⎟⎜ 3⎟ −x⎝⎠1 5x1 5x5xв) ∫ e dx = ∫ e d (5 x ) = e + C .55⎛ 3 ⎞x ⎟⎟ + C ;arcsin⎜⎜23⎝⎠12. Использование подстановок. Если подынтегральная функцияf (x )x = x(t ) , где функция x(t ) непрерывна на соответствующем множестве T вместе со своей производнойx′(t ) , получим ещё одну формулу перехода от x к новой переменной интегрирования t :(2)∫ f (x )dx = ∫ f (x(t )) ⋅ x′(t )dt .непрерывна на множестве X , то, полагаяРассмотрим здесь лишь два примера вычисления интегралов этим методом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
