Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Таким образом, сво1 + 1 − 2x − x 2 =2t +1(t 2 + 1)2t,получимx=−t2)2 . Выражая затем x черездим исходный интеграл к интегралу от рациональной дроби∫1+dx1 − 2x − x 2= −4 2 ∫(t2)(tdt)+ 1 t 2 + 2 2t + 14.3. Интегрирование биномиальных дифференциаловm(a + bx )n pdx , где a, b - дейст-m, n, p – рациональные числа.Чебышёв Пафнутий Львович (1821 – 1894) – русский математик ивительные числа, отличные от нуля,механик, академик Петербургской АН. Окончил Московский университет.
Является основателем Петербургской математической школы. Занимался теорией приближения функций многочленами, интегральнымисчислением, теорией чисел, теорией вероятностей, теорией машин имеханизмов и пр.(Как доказал П.Л.Чебышёв, первообразная для функции x a + bxется элементарной функцией только в следующих трёх случаях:mx dx3x)2.−21⎛⎞Решение.
Перепишем интеграл в виде x ⎜1 + x 3 ⎟ dx . Очевидно, что∫ ⎜⎟⎝⎠12116, n = , p = −2 , a = b = 1 . Положим t = 6 x , тогда x = t ,233 3x = t , x = t 2 , dx = 6t 5 dt и в результате замены переменной интегри-m=рования приходим к интегралу⎛ 44t 2 + 3 ⎞⎟2⎜6∫= 6 t − 2t + 3 −dt =(1 + t 2 )2 ∫ ⎜⎝(1 + t 2 )2 ⎟⎠⎛63(t 2 + 1) + t 2 ⎞⎟= 6∫ ⎜ t 4 − 2t 2 + 3 −dt = t 5 − 4t 3 + 18t −2⎜(1 + t 2 ) ⎟⎠ 5⎝1t 2 dtt 2 dt⎛ 1 ⎞,где= − ∫ td ⎜=− 18arctgt − 6 ∫222 ⎟∫2⎝1+ t ⎠(1 + t 2 )(1 + t 2 )1t=−+ arctgt + C . Следовательно, при x ≥ 0 имеем22(1 + t ) 2t 8 dt,который вычисляем стандартным образом.Подстановки Эйлера, играя важную теоретическую роль, на практике часто приводят к громоздким выкладкам, поэтому к ним прибегают в крайнихслучаях, когда не удаётся более просто вычислить интеграл другим способом.Так называются дифференциалы вида xm +1m +1– целое; в)+ p – целое.nnРассмотрим эти случаи.Пример 1.)105)n pявля-∫ (1 +x dx3б) Еслидроби p .x)2=6 53tt − 4t 3 + 18t +− 21arctgt + C , где t = 6 x .51+ t2m +1– целое, то полагают t = s a + bx n , где s – знаменательnХорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл106∫Пример 2.⎛∫ x⎜⎜1 + x23⎝xdx§4. Интегрирование иррациональных функций. Решение. Перепишем интеграл в виде1+ 3 x212⎞21⎟ dx , откуда определяем m = 1 , n = , p = , s = 2 . Так как⎟32⎠23m +1= 3 – целое, то положим t = 1 + x 3 . Тогда x = (t 2 − 1)2 ,n13dx = (t 2 − 1)2 2tdt . Следовательно,2∫xdx1+ 3 x2в)23= 3∫ (t 2 − 1) dt = t 5 − 2t 3 + 3t + C , где t = 1 + x 3 .52m +1+pnЕслиt = s ax − n + b , где s – знаменатель дроби p .Пример 3.∫dx1+ x44.04∫ x (1 + x ) 4 dx−Решение. Приведём интеграл к виду1и определяем1m +1m = 0 , n = 4 , p = − , s = 4 . Поскольку+ p = 0 – целое, то по4nложим,следуярекомендации,()∫dxdx = −t 3 t 4 − 1−54t = 1+ x4()dt , 4 1 + x 4 = t t 4 − 1= −∫t 2 dt=t 4 −1⎛ A−14−4.Тогда(.
Следовательно,B∫ ⎜⎝ t + 1 + t − 1 +Cx + D ⎞⎟dt =t2 +1 ⎠1+ x1 ⎛ 11 ⎞1dt1 t +1 1−= ∫⎜= ln− arctgt + C ,⎟dt − ∫ 24 ⎝ t + 1 t −1⎠2 t +1 4 t −1 2где t = 1 + x444−4.)x = t −14−4.4. Умножение на сопряжённое выражение,нестандартные подстановки и другие преобразования1. При интегрировании выражений, содержащих радикалы, иногда возможно использование известного приёма домножения (с одновременным делением) на сопряжённое выражение.Пример 1.∫14,a+xdx (a > 0 ) .a−xРешение. На ОДЗ имеемa+x=a−x− a ≤ x < a , и поэтомуa+xa−x.Домножим и разделим подынтегральную дробь на выражение, сопряженноезнаменателю.
В результате интеграл удаётся свести к сумме двух более про-∫a+x⋅ a+xdx = ∫a+xdx =a2 − x2x 1 d a2 − x2dxxdx== a∫+∫= a ⋅ arcsin − ∫a 2a2 − x2a2 − x2a2 − x2x= a ⋅ arcsin + a 2 − x 2 + C .adx(a ≠ b ) .Пример 2. ∫x+a + x+bстых интегралов:– целое, то рекомендуемая подстановка107a−x⋅ a+x()Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к знаменателю, т.е. наdx∫x+a − x+b :=∫()x+a − x+bdx =a−bx+a + x+b1=x + a dx − ∫ x + b dx =a−b ∫1=x + a d (x + a ) − ∫ x + bd (x + b ) =a −b ∫331 ⎛22⎞=⎜ ( x + a ) 2 − ( x + b ) 2 ⎟ + C ( x ≥ − a , x ≥ −b ) .3a−b⎝3⎠(())2.
В следующем примере используется приём выделения полного квадрата в подкоренном выражении.Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл108Пример 3.§4. Интегрирование иррациональных функцийx 4 + x −4 + 2dx .x3∫∫ (2a sin t )2Решение. Если заметить, что под знаком квадратного корня находитсяполный квадрат, то это позволяет избавиться от радикала и тем самым существенно упростить вычисление интеграла:∫2Осталось сделать обратную подстановку. Очевидно,3. Часто при интегрировании используются различные подстановки, в томчисле нестандартные.Пример 4.xdx∫1+ x +22 3xdx(1 + x ) + (1 + x ) 1 + x22Воспользуемся∫(d 1+ x2)1+ 1+ x2=∫тем,∫что(d 1+ 1+ x21+ 1+ x2dtt∫=2xdx1+ x2.)= d 1+ x2 .Тогдаимеем1+ x2 := 2 t + C = 2 1+ 1+ x2 + C .xdx (a > 0 ) .2a − xxРешение.
Согласно ОДЗ,≥ 0 ⇔ x ∈ [0,2a ) . Сделаем тригоно2a − x⎡ π⎞2метрическую подстановку вида x = 2a sin t , где t ∈ ⎢0, ⎟ . Приходим к⎣ 2⎠Пример 5.интегралу∫xx,2asin 2t = 2 sin t cos t =1 − sin 2 2t = 1 −x(2a − x )=a2a−x a−x11(a − x )2 =;еслижеa 2 − x(2a − x ) ==aaaa⎡π π ⎞t ∈ ⎢ , ⎟ , т.е. x ∈ [a,2a ) , то cos 2t ≤ 0 и, следовательно,⎣4 2⎠a−x a−x⎡ π⎞.
Таким образом, ∀t ∈ ⎢0, ⎟=cos 2t = − 1 − sin 2 2t = −aa⎣ 2⎠a−xa−x2. Поэтому sin 4t = 2 sin 2t cos 2t =.x(2a − x )cos 2t =aaaxПодставляя, получим для исходного интеграла: ∫ xdx =2a − x⎛1x 2x ⎞⎞⎛= a 2 ⎜⎜ 3 arcsin−x(2a − x ) +x(2a − x )⎜1 − ⎟ ⎟⎟ + C =2a a2a⎝ a ⎠⎠⎝3a + xxx(2a − x ) + C .= 3a 2 arcsin−22a=1+ x2 1+ 1+ x2) . Положим t = 1 +тогдаsin t =x2a − x 1⎡ π⎞⋅= ⋅ x(2a − x ) . Найдём cos 2t : если t ∈ ⎢0, ⎟2a2aa⎣ 4⎠[xdx(2a − x,2a( x ∈ 0, a ) ), то cos 2t > 0 и cos 2t =Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:∫cos t = 1 − sin 2 t == 2⋅.(1 + x ))2a sin 2 td 2a sin 2 t = 8a 2 ∫ sin 4 tdt =22a − 2a sin t11⎛ 1 − cos 2t ⎞⎞2 ⎛12= 8a 2 ∫ ⎜⎟ dt = 8a ∫ ⎜ − cos 2t + cos 2t ⎟dt =42⎝⎠⎝4 2⎠1⎛3 1⎞1= 8a 2 ∫ ⎜ − cos 2t + cos 4t ⎟dt = a 2 ⎛⎜ 3t − 2 sin 2t + sin 4t ⎞⎟ + C .84⎝8 2⎠⎝⎠2⎛ 2 1 ⎞1⎜x + 2 ⎟x2 + 2−44x ⎠x +x +2⎝x dx =dx = ∫dx = ∫333xxx1⎛1 1 ⎞= ∫ ⎜ + 5 ⎟dx = ln x − 4 + C (x ≠ 0 ) .4x⎝x x ⎠(109Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл110Пример 6.∫1+dxx + x +1§4. Интегрирование иррациональных функцийЗадачи для самостоятельного решения.Найти неопределённые интегралы:2⎛ t 2 −1⎞⎟⎟ .Решение. Положим t = x + x + 1 , тогда x = ⎜⎜⎝ 2t ⎠Переходя к новой переменной, получим11t 11 t3 − t 2 + t −1dt = − ln t − + 2 +3∫1+ x + x +1 2 ∫2 22t 4tt1x 1 2+ C = x − ln x + x + 1 + −x + x + C (x ≥ 0) .22 2dx=()К интегралам от квадратичных иррациональностей естественным образомпримыкают интегралы от иррациональностей следующего вида:∫ R(x,∫ R(x,)ax + bx + cx + d dx ,32)ax 4 + bx 3 + cx 2 + ex + r dx ,содержащие под знаком радикала многочлены 3-й и 4-й степеней (с действительными коэффициентами). Эти интегралы часто встречаются в приложениях и, вообще говоря, не являются элементарными функциями.
Оба эти интеграла принято называть эллиптическими в тех случаях, когда они не выражаются через элементарные функции, и псевдоэллиптическими в тех случаях,когда они выражаются через элементарные функции (происхождение названия интегралов связано с тем, что впервые с этими интегралами столкнулисьпри решении задачи о вычислении длины дуги эллипса). Среди эллиптических интегралов особенно важную роль играют так называемые эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода в форме ЛежандраF (k , ϕ ) = ∫dϕ1 − k sin ϕ22111и E (k , ϕ ) =∫1 − k 2 sin 2 ϕ dϕ .Для этих функций составлены обширные таблицы и графики.
А.Лежандром идругими математиками изучены свойства данных функций и установлен рядформул.Наряду с элементарными функциями функции F (k , ϕ ) и E (k , ϕ ) прочновошли в семейство функций, часто используемых в анализе.1.∫x∫x − 2dx .Ответ:⎛ 1 4 2 7 1 10 ⎞t − t + t ⎟ + C , где t = 3 1 − x .4710 ⎠⎝2. x ⋅ 3 1 − x dx .2x3.∫4.∫ (3 − x )5.Ответ: − 3⎜dx .Ответ:x+4dx1− x2− x +123(x + 4)3Ответ: −.x +1 + 2∫ (x + 1)532(x − 2) 2 + 4 (x − 2) 2 + C (x ≥ 2) .53Ответ: lndx .− 8 x + 4 + C (x > −4 ) .(t − 1)2t + t +12где t =6.∫dx(2 x + 1)Ответ:− (2 x + 1)12−23arctg2t + 12x − 1 + 1∫ (2 x − 1)(3.) dx .2x − 1 − 1⎛⎝3x +1 + x +1∫ (x + 1)(4 −3x +1∫10.∫1− xdx .1+ x3x +1dx .x −11⎞; x ≠ 1⎟ .2⎠) dx .Ответ: − 6t − 3 ln 4 − t 2 − 6 ln9.+C,x + 1 (x > −1; x ≠ 0 ) .Ответ: 3 ln 6 2 x − 1 − 1 − 3 ln 6 2 x − 1 + C ⎜ x >8.31113(2 x + 1)3 + 3(2 x + 1)6 + 3 ln (2 x + 1)6 − 1 + C ⎛⎜ x > − 1 ; x ≠ 0 ⎞⎟ .22⎝⎠67.231− x+ C (x < 1) .22arctgt−2+ C , где t = 6 x + 1 ( x > −1; x ≠ 63) .t+2Ответ: arcsin x + 1 − x + C2Ответ:(− 1 < x ≤ 1) .1 t2 + t +122t + 12tarctg+ 3+,ln23t −1(t − 1)33Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл112§4. Интегрирование иррациональных функцийгде t = 3x +1x −1(x ≠ 1) .x+2dx (x ∉ (− 2,3]) .x−32x − 1 2351Ответ:x − x−6 +ln x − + x 2 − x − 6 + 3 x 2 − x − 6 + C .48211.12.20.∫3x + 1 dx.x −1 x +1Ответ:dx∫ (x − 1)(x + 1)3x +1(x ≠ ±1) .где t =x −11 t2 + t +12t + 1Ответ: ln+ 3arctg+C,22(t − 1)3.2dx∫ (x − 1) (x + 2)3415.dx2∫ x(1 + 2Ответ:17.18.19.5∫ (x + 1) (x − 1)316.− x 2 + 4x + 5∫∫∫4dxx +3 x3ln4 1+ 6 xdx(x 2 + 2xdx3x − 6 x + 9dx6 − 4x − 2x 2.Ответ: −.3 3 x +1+ C (x ≠ ±1) .2 x −1).221.6x +2 x)33−2 7Ответ: ln x + 1 +1Ответ:Ответ:246 x − 17+C22.3x + 2x2+x + 2∫23.∫arcsinx +1+ C (x ∈ (− 3,1)) .211ln x + + x 2 + x + 2 + C .22x 2 + 4 x + 13dx .9x+2 2x + 4 x + 13 + ln x + 2 + x 2 + 4 x + 13 + C .225 + 4 x − x 2 dx .9x−2x−25 + 4 x − x 2 + arcsin+ C (x ∈ (− 1,5)) .223312 2224.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
