Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Поэтому для нахождения коэффициентов имеем систему:⎧⎪⎪ A =⎧a1 = Aa − Bb, откуда определяем ⎨⎨⎩b1 = Ab + Ba⎪B =⎪⎩a1 a + b1ba2 + b2ab1 − a1b.a2 + b2Подставляя полученное разложение под знак интеграла, находимa sin x + b cos x ≠ 0 :()A(a sin x + b cos x ) + B(a cos x − b sin x )dx =a sin x + b cos x(a cos x − b sin x )dx == Ax + B ∫a sin x + b cos xd (a sin x + b cos x )= Ax + B ∫= Ax + B ln a sin x + b cos x + C .a sin x + b cos xsin x − 3 cos xПример 1. ∫dx .4 sin x + 5 cos x∫Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл144§5.
Интегрирование тригонометрических функцийРешение. Представим числитель в подынтегральной дроби в виде:sin x − 3 cos x = A(4 sin x + 5 cos x ) + B(4 cos x − 5 sin x ) .⎧1 = 4 A − 5 B, из которой находим⎩− 3 = 5 A + 4 BОтсюда имеем систему ⎨Подставляя найденные коэффициенты, получим:=−⎧ A = − 11 41⎨⎩ B = − 17 41.sin x − 3 cos x∫ 4 sin x + 5 cos x dx =1117 d (4 sin x + 5 cos x )1117dx − ∫= − x − ln 4 sin x + 5 cos x + C .∫414141414 sin x + 5 cos x2.
Аналогичный подход используется и при вычислении интегралов вида∫a1 sin x + b1 cos x + c1dx .a sin x + b cos x + cА именно, представим числитель дроби в виде:a1 sin x + b1 cos x + c1 = A(a sin x + b cos x + c ) + B (a cos x − b sin x ) + C ,откуда, приравнивая коэффициенты при sin x, cos x и свободные члены, находимa1 a + b1bab1 − ba1, B=, C = c1 − Ac .22a +ba2 + b2a sin x + b1 cos x + c1Подставляя в интеграл, окончательно получаем: ∫ 1dx =a sin x + b cos x + cdx= Ax + B ln a sin x + b cos x + c + C ∫,a sin x + b cos x + cA=где последний интеграл вычисляется универсальной подстановкойxt = tg , (2n − 1)π < x < (2n + 1)π , n ∈ Z .22 sin x + cos x − 1Пример 2. ∫dx .sin x − cos x + 2Решение.
Представим числитель (2 sin x + cos x − 1) в виде линейной комбинации знаменателя (sin x − cos x + 2 ) , его производной (cos x + sin x ) иконстанты:2 sin x + cos x − 1 = A (sin x − cos x + 2 ) + B (cos x + sin x ) + C .145Для нахождения коэффициентов A, B и C получаем систему:⎧2 = A + B13⎪⎨1 = − A + B , откуда A = 2 , B = 2 , C = −2 .⎪− 1 = 2 A + C⎩Поэтому имеем2 sin x + cos x − 113cos x + sin x∫ sin x − cos x + 2 dx = 2 ∫ dx + 2 ∫ sin x − cos x + 2 dx −dxx 3= + ln sin x − cos x + 2 −sin x − cos x + 2 2 2dx=− 2∫xx⎛ 2x2 x2 x2 x⎞2 sin cos − cos+ sin+ 2⎜ sin+ cos ⎟222222⎠⎝⎛ x⎞d⎜ ⎟x 3⎝2⎠= + ln sin x − cos x + 2 − 4 ∫=x ⎞2 22 x⎛2 xcos ⎜ 3tg+ 2tg + 1⎟2⎝22 ⎠x3tg + 1x 32+C.= + ln sin x − cos x + 2 − 2 2arctg2 22− 2∫3.
Этот же приём используется при вычислении интегралов видаa1 sin 2 x + 2b1 sin x cos x + c1 cos 2 xdx .∫a sin x + b cos xДля этого запишем числитель дроби, стоящей под знаком интеграла, в виде следующей линейной комбинацииa1 sin 2 x + 2b1 sin x cos x + c1 cos 2 x == (a sin x + b cos x )( A cos x − B sin x ) + C sin 2 x + cos 2 x ,22откуда, приравнивая коэффициенты при sin x , cos x и sin x cos x , полу-(чим систему уравнений⎧a1 = −aB + C⎪⎨2b1 = aA − bB ,⎪c = Ab + C⎩1)Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл146§5. Интегрирование тригонометрических функцийрешая которую находимb(c1 − a1 ) + 2ab1a(c1 − a1 ) − 2bb1a1b 2 + c1 a 2 − 2abb1,,.A=B=C=a2 + b2a2 + b2a2 + b2Подставляя найденные коэффициенты в интеграл, получаемa1 sin 2 x + 2b1 sin x cos x + c1 cos 2 xdx =∫a sin x + b cos xdx= A sin x + B cos x + C ∫, где a sin x + b cos x ≠ 0 .a sin x + b cos x2 sin x + 3 sin x cos x + 5 cos xПример 3.
∫dx .sin x − 2 cos x22Решение. Представим числитель в виде:2 sin 2 x + 3 sin x cos x + 5 cos 2 x = ( A cos x − B sin x )(sin x − 2 cos x ) +22+ C (sin x + cos x ) .Для нахождения коэффициентов A, B и C имеем систему:⎧2 = − B + C⎪3919⎨3 = A + 2 B , откуда A = − , B = , C = .555⎪5 = −2 A + C⎩Поэтому2 sin 2 x + 3 sin x cos x + 5 cos 2 xdx =∫sin x − 2 cos xdx1939= cos x − sin x + ∫=5 sin x − 2 cos x55x2dtg19392= cos x − sin x + ∫=xx55522tg+ 2tg − 222x 15tg + −93192 +C.= cos x − sin x +ln 2 2555 5x 15tg + +2 221475.11. Интегрирование по частямЧасто в ситуациях, когда под знаком интеграла помимо тригонометрическойфункции находится функция другого типа (многочлен, логарифмическая илипоказательная функции и др.), для вычисления интеграла применяется методинтегрирования по частям.Пример 1.∫ cos ( x )dx .2x , откуда x = t 2 , dx = 2tdt .
Тогдаt22=2tcostdt=()t1+cos2tdt=+ t ⋅ cos tdt .x dx∫∫2 ∫Решение. Положим t =I = ∫ cos 2( )Последний интеграл вычисляется интегрированием по частям.t21t2 1I = + ∫ t ⋅ cos tdt = + t sin 2t + cos 2t + C =22 241x 1= +x sin 2 x + cos 2 x + C (x ≥ 0 ) .2 24x cos xdxПример 2. ∫.sin 3 x1 ⎞x cos xdxxd (sin x )⎛Решение. ∫= ∫ xd ⎜ −=∫⎟=332sin xsin x⎝ 2 sin x ⎠11xdxx− ctgx + C ( x ≠ πn, n ∈ Z ) .=−+ ∫=−2222 sin x 22 sin x 2 sin x( )Пример 3.∫ (2 x2( ))− 1 cos 2 xdx .Решение.
Разобьём интеграл на два интеграла и проинтегрируем первый изних по частям∫ (2 x2)− 1 cos 2 xdx = 2∫ x 2 cos 2 xdx − ∫ cos 2 xdx =1⎛1⎞ 1= 2⎜ sin 2 x ⋅ x 2 − ∫ sin 2 x ⋅ 2 xdx ⎟ − sin 2 x =2⎝2⎠ 21⎞⎛⎛ x cos 2 x 1⎞= sin 2 x ⋅ ⎜ x 2 − ⎟ − 2 ⎜ −+ ∫ cos 2 xdx ⎟ =222⎝⎠⎝⎠11⎛⎞= sin 2 x ⋅ ⎜ x 2 − ⎟ + x cos 2 x − sin 2 x + C =22⎝⎠2= sin 2 x ⋅ x − 1 + x cos 2 x + C .()Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл148Пример 4.∫∫ x ⋅ tg2∫ xd (tgx − x ) = x(tgx − x ) − ∫ (tgx − x )dx =πx2⎛⎞= x ⋅ tgx −+ ln cos x + C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .22⎝⎠4Пример 5.
∫ x ⋅ tg xdx .дынтегрального выражения в интегралах вида4ном случае вид функции v( x ) не очевиден, поэтому, чтобы найти её, вычислимотдельно интеграл⎞⎛ 1xdx = ∫ ⎜− 1⎟tg 2 xdx = ∫ tg 2 xd (tgx ) − ∫ tg 2 xdx =2⎝ cos x ⎠31 − cos 2 xtg xtg 3 xdxtg 3 x=−∫dx=−+dx=− tgx + x + C1 .∫ cos 2 x ∫33cos 2 x3tg 3 xВозьмём в качестве v( x ) =− tgx + x и продолжим интегрирование:3⎛ tg 3 x⎞ ⎛ tg 3 x⎞4⎜⎟⎟ − ∫ ⎜⎜x⋅tgxdx=x−tgx+x− tgx + x ⎟⎟dx =∫⎜ 3⎝⎠ ⎝ 3⎠4⎛ tg 3 x⎞ 1d (cos x ) x 21⎞= x⎜⎜− tgx + x ⎟⎟ − ∫ ⎛⎜− 1⎟tgxdx − ∫−=2cos x2⎝ 3⎠ 3 ⎝ cos x ⎠⎛ tg 3 x⎞ 1d (cos x ) x 21 d (cos x )= x⎜⎜− tgx ⎟⎟ − ∫ tgxd (tgx ) − ∫−∫+=3 cos xcos x2⎝ 3⎠ 3⎛ tg 3 x⎞ tg 2 x 4x2π⎛⎞= x⎜⎜− tgx ⎟⎟ −− ln cos x ++ C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .36322⎝⎠⎝⎠5.12.
Другие подстановки и подходы к интегрированиюВ заключение параграфа рассмотрим примеры интегрирования тригонометрических функций достаточно общего вида, не укладывающихся ни в одну израссмотренных выше стандартных схем. Для них применяются всё те же приёмы: разнообразные подстановки и преобразования подынтегральной функции.∫ R(sin x, cos x )dx ,полезнопонизить степени sin x и cos x , используя переход к кратным углам или инымспособом.Пример 1.Решение. Проинтегрируем по частям, положив u = x, dv = tg xdx . В дан-∫ tg1491. Понижение степени.
Иногда, если это не нарушает рациональности по-xdx .Решение. x ⋅ tg xdx =2§5. Интегрирование тригонометрических функций∫ sin6dx.x + cos 6 xРешение. Применяя формулы понижения степениcos 2 x =1 + cos 2 x,21 − cos 2 x1662, имеем cos x + sin x = (1 + 3 cos 2 x ) . Полагая24dxt = tg 2 x , находим ∫ 6=sin x + cos 6 xdtttg 2 x4dx=∫= 2∫ 2= arctg + C = arctg+C.222t +41 + 3 cos 2 xsin 2 x =2. Использование алгебраических и тригонометрических преобразований.Пример 2.sin x cos x∫ sin x + cos xdx .Решение. Пользуясь тождеством⎛⎝πsin x cos x =1(sin x + cos x )2 − 1 , на22⎞+ πn, n ∈ Z ⎟ :4⎠1dxsin x cos x1∫ sin x + cos xdx = 2 ∫ (sin x + cos x )dx − 2 ∫ sin x + cos x =11⎛x π⎞= (sin x − cos x ) −ln tg ⎜ + ⎟ + C .22 2⎝2 8⎠ходим ⎜ x ≠ −Пример 3.∫sin x2 + sin 2 xdx .Решение. Используя тождественные преобразования, получаем∫sin x2 + sin 2 xdx = −1d (sin x + cos x )+∫2 1 + (sin x + cos x )2Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл150+(§5. Интегрирование тригонометрических функций)11d (sin x − cos x )=−ln sin x + cos x + 2 + sin 2 x +22 ∫ 3 − (sin x − cos x )21sin x − cos x+ arcsin+C.23Пример 4.sin 5 x∫ 1 − cos x dx .t = 1 + cos x , находимdtdx⎛ A B Ct + D ⎞∫ sin x 1 + cos x = 2∫ t 2 (t 2 − 2) = ∫ ⎜⎝ t + t 2 + t 2 − 2 ⎟⎠dt ,где методом неопределённых коэффициентов находим A = 0, B = −1,C = 0, D = 1 . Таким образом, имеемРешение. Произведя подстановкуsin x(1 + cos x )sin x(1 + cos x )sin x∫ 1 − cos x dx = ∫ (1 − cos x)(1 + cos x) dx = ∫ 1 − cos 2 x dx =sin 5 x(1 + cos x )=∫dx = ∫ sin 3 x(1 + cos x )dx = ∫ sin 3 xdx +2sin x1sin 4 x+ ∫ sin 3 xd (sin x ) = ∫ (3 sin x − sin 3 x )dx +=4431sin 4 x= − cos x + cos 3x ++ C (x ≠ 2πn, n ∈ Z ) .43455+Пример 7.Решение.∫cos xdxПример 6.∫ sin x1 + cos x.2 22 − 1 + cos xln2 + 1 + cos xsin 2 x∫ cos2x tgxПроизведёмπ21+1 + cos x+ C ( x ≠ πn, n ∈ Z ) .dx .заменупеременнойинтегрирования,полагая+ πn, n ∈ Z .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
