Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 17
Текст из файла (страница 17)
∫dx=∫ sin x cos 2 x dx =sin x cos 2 xx1dxd (cos x )πn⎛⎞,n∈ Z ⎟.=∫−∫= ln tg ++C ⎜x ≠22sin x2 cos xcos x⎝⎠Решение. Полагая§5. Интегрирование тригонометрических функций5.3. Интегралы вида ∫ sin ax cos bxdx , ∫ sin ax sin bxdx ,∫ cos ax cos bxdx , а также ∫ sin ax ⋅ sin bx ⋅ sin cxdx и др.Эти интегралы находятся с помощью тригонометрических формул преобразования произведений синусов и косинусов в суммы (разности):1⋅ (sin (α − β ) + sin (α + β )) ,21sin α ⋅ sin β = ⋅ (cos(α − β ) − cos(α + β )) ,21cos α ⋅ cos β = ⋅ (cos(α − β ) + cos(α + β )) .2sin α ⋅ cos β =t = tgx , находим5.2.8. Случай, когда один из показателей нечётный,а другой – целый отрицательный.n – нечётное число, а m – целое отрицательное число, то полагаютt = cos x и применяют формулу sin 2 x = 1 − cos 2 x .
В случае, когда m –нечётное, а n – целое отрицательное число, полагают t = sin x и применяют22формулу cos x = 1 − sin x .sin 7 xdx .Пример. ∫cos 2 x3(sin 6 xd cos x1 − cos 2 x ) d cos x= −∫=Решение. − ∫cos 2 xcos 2 x1 − 3u 2 + 3u 4 − u 611= −∫du = + 3u − u 3 + u 5 + C =2u5u11π⎛⎞=+ 3 cos x − cos 3 x + cos 5 x + C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .2cos x5⎝⎠133Пример 1.∫ sin 5 x cos 3xdx .Решение.1(sin 8 x + sin 2 x )dx = − 1 cos 8 x − 1 cos 2 x + C .∫2164Пример 2.∫ sin 7 x sin 3xdx .Решение.1(cos 4 x − cos10 x )dx = 1 sin 4 x − 1 sin 10 x + C .∫2820Пример 3.∫ cos 3x cos xdx .Решение.1(cos 4 x + cos 2 x )dx = 1 sin 4 x + 1 sin 2 x + C .∫284Пример 4.∫ sin x ⋅ sin 2 ⋅ sin 3 dx .Еслиxx1 ⎛x3x ⎞x⎜ cos − cos ⎟ ⋅ sin dx =∫2 ⎝22⎠31 ⎛x5x7x11x ⎞= ∫ ⎜ − sin + sin+ sin− sin⎟dx =4 ⎝6666 ⎠3x 35x 37x311x= cos − cos − cos+cos+C.26 106 146326Решение.
ИмеемХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл134§5. Интегрирование тригонометрических функций5.4. Интегралы вида ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx (n ∈ N )n = 1 и n = 2 рассмотрены ниже в примерах 1 и 2. При n > 212указанные интегралы вычисляются с помощью формул tg x =−1 иcos 2 x1ctg 2 x =− 1 , которые последовательно понижают степень тангенсаsin 2 xdxdx, ∫ ctg n x ⋅ m ,mcos xsin xгде n ∈ R , m – чётное натуральное число5.5.
Интегралы вида ∫ tg n x ⋅Случаиили котангенса.∫Пример 1. tgxdx .Решение.Пример 2.∫ tgxdx = ∫∫ tg2sin xdxd (cos x )= −∫= − ln cos x + C .cos xcos xxdx .Такие интегралы находятся аналогично рассмотренным в предыдущемпункте с помощью формул11= 1 + tg 2 x и= 1 + ctg 2 x22cos xsin xс последующей заменой t = tgx или, соответственно, t = ctgx .dx4.Пример. ∫ tg x ⋅cos 6 x2dx⎛ 1 ⎞44Решение. ∫ tg x ⋅=tgx⋅⎜ 2 ⎟ d (tgx ) =cos 6 x ∫⎝ sin x ⎠2∫ tg74∫ tg121= tg 5 x + tg 7 x + tg 9 x + C579xdx .⎛ 1⎞x⎜− 1⎟dx = ∫ tg 5 xdtgx − ∫ tg 5 xdx =2⎝ cos x ⎠11⎛ 1⎞= tg 6 x − ∫ tg 3 x⎜− 1⎟dx = tg 6 x − ∫ tg 3 xdtgx + ∫ tg 3 xdx =266⎝ cos x ⎠1111⎛ 1⎞− 1⎟dx = tg 6 x − tg 4 x += tg 6 x − tg 4 x + ∫ tgx⎜26464⎝ cos x ⎠111d cos x+ ∫ tgxdtgx − ∫ tgxdx = tg 6 x − tg 4 x + tg 2 x + ∫=642cos xπ111⎛⎞= tg 6 x − tg 4 x + tg 2 x + ln cos x + C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .2264⎝⎠Решение.()2⎛ 1 ⎞= ∫ tg x ⋅ ⎜ 2 ⎟ d (tgx ) = ∫ tg 4 x 1 + tg 2 x d (tgx ) =⎝ sin x ⎠4= ∫ tg xd (tgx ) + 2 ∫ tg 6 xd (tgx ) + ∫ tg 8 xd (tgx ) =sin 2 x1 − cos 2 xРешение.
∫ tg xdx = ∫dx=∫ cos 2 x dx =cos 2 xπdx⎛⎞x≠+ πn, n ∈ Z ⎟ .=∫−dx=tgx−x+C⎜2∫2cos x⎝⎠2Пример 3.13555.6. Интегралы видаπ⎞⎛⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .2⎠⎝dxdx∫ a sin x + b cos x , ∫ a sin x + b cos x + c1. При вычислении интегралов видаdx∫ a sin x + b cos xсделать универсальную подстановку t = tgможно было быx. Однако проще сначала преоб2разовать подынтегральную функцию методом введения вспомогательногоаргумента:1=a sin x + b cos x1a + b sin ( x + ϕ )22гдеsin ϕ =ba +b22,cos ϕ =aa + b22,,Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл136и положить далее t = tg§5. Интегрирование тригонометрических функций2dt2tx +ϕ. Тогда dx =, sin ( x + ϕ ) =и,221+ t1+ t2⎛ x⎞d ⎜ tg ⎟⎝ 2⎠dx==∫= − 2∫xx2 x2 x2 x− 6tg − 1tg(6tg + 1 − tg ) cos222221t − 3 − 10dtln+C == −2 ∫=−2(t − 3) − 1010 t − 3 + 10следовательно, приходим к интегралу1a +b22⋅∫dt=t1a +b22⋅ ln t + C =dx∫ a sin x + b cos x + c2. Интегралы вида1a +b22⋅ ln tgx +ϕ+C.2вычисляются универсальной2dt2tx, sin x =,подстановкой t = tg . Тогда x = 2arctgt , dx =221+ t1+ t21− t2cos t =и интеграл сводится к интегралу от рациональной функции.1+ t2Пример 1.dx∫ 3 sin x + cos x .Решение.
1-й способ:ϕ = arcsin1.dx∫ 3 sin x + cos x = ∫dx, где10 sin ( x + ϕ )2dtx +ϕПоложим,тогда,dx =t = tg21+ t21dxи, следовательно,=∫10 sin ( x + ϕ )dxx− 3 − 10x⎛⎞1+ C ⎜ sin ( x + ϕ ) ≠ 0; cos ≠ 0 ⎟ .=−ln 22⎝⎠10 tg x − 3 + 102tgПример 2.dx∫ sin x + 1 .Решение. Помимо метода универсальной подстановки, этот интегралможно также вычислить следующим образом:102tsin ( x + ϕ ) =1+ t22dt1 1+ t211 dt1x +ϕ===ln t + C =ln tg+C,∫∫2t210101010 t1+ t21(sin(x + ϕ ) ≠ 0) .где ϕ = arcsin102-й способ:137∫ 3 sin x + cos x = ∫dxxxxx6 sin cos + cos 2 − sin 22222=dx∫ sin x + 1 = − ∫⎛π x ⎞⎛π⎞d⎜ − ⎟d⎜ − x⎟⎛π x ⎞⎝ 4 2⎠⎝2⎠ =−= −tg ⎜ − ⎟ + C ,∫⎛π x ⎞⎛π⎞⎝ 2 2⎠cos 2 ⎜ − ⎟1 + cos⎜ − x ⎟⎝2⎠⎝ 4 2⎠где x ≠ −Пример 3.π2+ 2πn, n ∈ Z .dx∫ 3 + sin x + cos x .Решение. Применив универсальную подстановку t = tgx, придём к ин2тегралу2dtdt1+ t2= ∫ 2 dt=∫=2∫222t1− tt +t +2⎛⎞⎛ 1⎞ ⎜ 7 ⎟+3+⎜t + ⎟ + ⎜1+ t2 1+ t22 ⎟⎝ 2⎠⎝⎠x2tg + 122t + 122=arctg+C =arctg+ C ( x ≠ π + 2πn, n ∈ Z ) .7777Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл1385.7. Интегралы видаДля вычисления интеграла∫ a sin2§5. Интегрирование тригонометрических функцийdxx + b sin x ⋅ cos x + c cos 2 x(ac ≠ 0) перейдём в нём к d (tgx) :2чили интеграл, вычисление которого рассматривалось в п.3.2.dx.x + 2 sin x cos x − cos 2 xdxdtgxРешение. ∫=∫ 2=22cos x tg x + 2tgx − 1tg x + 2tgx − 1Пример.∫ sin===d (tgx + 1)(tgx + 1)2 − (2))2=12 2lntgx + 1 − 2tgx + 1 + 25.8. Интегралы вида(=)+ C tgx ≠ −1 ± 2 .dx∫ sin(x + a )sin(x + b) ,dx∫ cos(x + a )cos(x + b) , а такжеdx∫ sin(x + a )cos(x + b) (a ≠ b)dxДля вычисления интеграла ∫используется искусстsin ( x + a )sin ( x + b )венный приём умножения и одновременного деления подынтегральнойфункции на одно и то же выражение sin a − b с последующим разбиением()(sin(x + a )sin(x + b) ≠ 0) :dx1sin ((x + a ) − (x + b ))∫ sin (x + a )sin(x + b ) = sin(a − b ) ∫ sin(x + a )sin(x + b) dx =1sin ( x + a ) cos( x + b ) − cos( x + a )sin ( x + b )=dx =∫sin (a − b )sin ( x + a )sin ( x + b )⎛ cos( x + b )1cos( x + a ) ⎞⎜⎜ ∫dx ⎟ =dx − ∫=sin (a − b ) ⎝ sin ( x + b )sin ( x + a ) ⎟⎠интеграла на разность двух интегралов1sin (( x + a ) − ( x + b ))dx =∫sin (a − b ) cos( x + a ) cos( x + b )1sin ( x + a ) cos( x + b ) − cos( x + a )sin ( x + b )dx =∫sin (a − b )cos( x + a ) cos( x + b )2(=∫sin ( x + b )1+C.lnsin (a − b ) sin ( x + a )dxАналогично вычисляется интеграл ∫=cos( x + a ) cos( x + b )=dxdx=∫=22x + b sin x ⋅ cos x + c cos x(atg x + btgx + c ) cos 2 xd (tgx )dt, где t = tgx .
Таким образом, полу=∫= ∫ 22at + bt + catg x + btgx + c∫ a sin139⎛ sin ( x + a )1sin ( x + b ) ⎞⎜⎜ ∫dx ⎟ =dx − ∫sin (a − b ) ⎝ cos( x + a )cos( x + b ) ⎟⎠⎛d (cos( x + b )) ⎞1d (cos(x + a ))⎜⎜ − ∫dx ⎟⎟ =dx + ∫sin (a − b ) ⎝cos(x + a )cos( x + b )⎠cos( x + b )1+C.lnsin (a − b ) cos( x + a )dxИнтегралы вида ∫с помощью формул приведенияsin ( x + a ) cos(x + b )=приводятся к одному из предыдущих видов, напримерdx=⎛π⎞sin ( x + a )sin ⎜ − ( x + b )⎟⎝2⎠dx= −∫и т.д.π ⎞⎛sin ( x + a )sin⎜ x + (b − ) ⎟2 ⎠⎝dxПример. ∫.sin( x − 1) cos xdx∫ sin(x + a )cos(x + b) = ∫Решение.
Преобразуем интеграл согласно приведённой выше схеме и вычислим его sin x − 1 ⋅ cos x ≠ 0 :( ())dx∫ sin( x − 1) cos x = ∫dx⎛π⎞sin( x − 1) sin ⎜ − x ⎟⎝2⎠=Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл§5. Интегрирование тригонометрических функций⎛⎛π⎞⎞sin ⎜⎜ ( x − 1) + ⎜ − x ⎟ ⎟⎟1⎠⎠⎝2⎝=dx =∫⎛π⎞⎛π⎞sin ⎜ − 1⎟ sin( x − 1) sin ⎜ − x ⎟⎝2⎠⎝2 ⎠⎛π⎞⎛π⎞sin (x − 1) cos⎜ − x ⎟ + cos( x − 1)sin⎜ − x ⎟1⎝2⎠⎝2⎠ dx ==∫cos1⎛π⎞sin( x − 1) sin⎜ − x ⎟⎝2⎠x−ax+a ⎞⎛sin⎜ cos⎟12 +2 ⎟dx =⎜=x−ax+a ⎟2 cos a ∫ ⎜cos⎜ sin⎟22 ⎠⎝⎛ ⎛x+a⎞⎞x−a⎞⎛⎜ d ⎜ sind ⎜ cos⎟⎟⎟1 ⎜ ⎝2 ⎠2 ⎠⎟⎝=⋅−∫=x+a ⎟x−acos a ⎜ ∫sincos⎜⎟22⎝⎠140⎛⎞⎞⎛π⎜ cos⎜ − x ⎟⎟1 ⎛ sin x cos(x − 1) ⎞1 ⎜cos( x − 1) ⎟2⎠⎝⎜⎟dx =++=dx =∫cos1 ∫ ⎜⎝ cos x sin ( x − 1) ⎟⎠cos1 ⎜ ⎛ π⎞ sin ( x − 1) ⎟⎜ sin ⎜ − x ⎟⎟⎠⎝ ⎝2⎠1 ⎛ − d (cos x )d (sin (x − 1)) ⎞⎜⎜ ∫⎟=+∫cos1 ⎝cos xsin ( x − 1) ⎟⎠1(− ln cos x + ln sin (x − 1) ) + C = 1 ln sin (x − 1) + C .=cos1cos xcos 1x−asin1⎞2 +Cln⎟⎟ + C =+axcosa⎠cos2(cos a ≠ 0, sin x ≠ sin a ) .1 ⎛x−ax+a=⋅ ⎜⎜ ln sin− ln coscos a ⎝22=5.9.
Интегралы видаdxdxdx∫ sin x − sin a , ∫ cos x − cos a , ∫ sin x − cos aПри вычислении интегралаdx∫ sin x − sin aумножим и разделим подын-cos a и затем воспользуемся тождествамиx−ax+a⎛x−a x+a⎞и cos a = cos⎜−sin x − sin a = 2 sin⋅ cos⎟:2 ⎠22⎝ 2тегральную функцию наdx1∫ sin x − sin a = 2 cosa∫1=2 cos a ∫cos⎛⎛ x − a ⎞ ⎛ x + a ⎞⎞cos⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟−⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠ dx =x−ax+asincos22x−ax+ax−ax+a⋅ cos+ sin⋅ sin2222 dx =x−ax+asincos22141При вычислении интегралаdx∫ cos x − cos aпоступаем аналогично: ум-ножим и разделим подынтегральную функцию наемся тождествамиsin a и затем воспользу-x−ax+a⎛x−a x+a⎞и sin a = sin ⎜−⋅ sin⎟:2 ⎠22⎝ 2⎛⎛ x − a ⎞ ⎛ x + a ⎞⎞sin ⎜⎜ ⎜⎟−⎜⎟ ⎟⎟1dx⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠⎝dx =∫ cos x − cos a = − 2 sin a ∫x−ax+asinsin22x−ax+ax−ax+a⋅ cos− cos⋅ sinsin12222 dx ==−∫x−ax+a2 sin asin⋅ sin22x+ax−a ⎞⎛coscos⎜⎟12 −2 ⎟dx =⎜=−x+ax−a ⎟2 sin a ∫ ⎜sin⎜ sin⎟22 ⎠⎝cos x − cos a = −2 sinХорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл142§5. Интегрирование тригонометрических функций⎛ ⎛x + a⎞⎞x−a⎞⎛d ⎜ sin⎜ d ⎜ sin⎟⎟⎟1 ⎜ ⎝2 ⎠⎟2 ⎠⎝==⋅−∫x+a ⎟x−asin a ⎜ ∫sinsin⎟⎜22⎠⎝1 ⎛x−ax+a=⋅ ⎜⎜ ln sin− ln sinsin a ⎝22x−a2dx∫ sin x − cos a приводится к одному из двух рассмотренных вы-ше при помощи формул приведения:∫dxили⎛π⎞sin x − sin⎜ − a ⎟⎝2⎠∫dx.⎛π⎞cos⎜ − x ⎟ − cos a⎝2⎠dxПример. ∫.sin x − sin 5⎛ x −5 x +5⎞cos⎜−⎟dx122⎠ dx =⎝Решение. Имеем ∫=x−5x+5sin x − sin 5 2 cos 5 ∫sincos22x−5x+5x−5x+5coscossin+ sin12222 dx ==x−5x+52 cos 5 ∫sincos22−5xx+5 ⎞⎛cossin⎜⎟12 +2 ⎟dx =⎜=x−5x+5⎟2 cos 5 ∫ ⎜cos⎜ sin⎟22 ⎠⎝⎛ ⎛x +5⎞⎞x −5⎞⎛⎜ d ⎜ sind ⎜ cos⎟⎟⎟1 ⎜ ⎝2 ⎠⎟2 ⎠⎝=−∫=x+5 ⎟x−5cos 5 ⎜ ∫cossin⎜⎟22⎝⎠x−52 +C .x+5cos2sina1 sin x + b1 cos xdx ,a sin x + b cos xa1 sin x + b1 cos x + c1a1 sin 2 x + 2b1 sin x cos x + c1 cos 2 x,dxdx∫ a sin x + b cos x + c∫a sin x + b cos xsin⎞2 +C⎟⎟ + C = 1 lnx+asin a⎠sin(sin a ≠ 0, cos x ≠ cos a ) .Случай11 ⎛x−5x+5 ⎞ln⎜⎜ ln sin⎟⎟ + C ==− ln cos2 ⎠cos 5 ⎝2cos 51435.10.
Интегралы вида∫1. При вычислении интегралов вида∫a1 sin x + b1 cos xdx представимa sin x + b cos x(a1 sin x + b1 cos x ) в виде линейной комбинации знаменателя(a sin x + b cos x ) и его производной (a cos x − b sin x ) :a1 sin x + b1 cos x = A(a sin x + b cos x ) + B(a cos x − b sin x ) ,числительгде A и B – постоянные. Найдём A и B методом неопределённых коэффициентов. Два линейных тригонометрических многочлена относительнофункций sin x и cos x тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при sin x и cos x .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
