Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 16
Текст из файла (страница 16)
∫ tg xdx = ∫ tg x ⋅ cos x ⋅d (tgx ) ==cos 2 x ∫ 1 + tg 2 x22R(u, v ) = R1 (u, v ) + R2 (u, v ) + R3 (u, v ) , где функция R1 (u, v ) ― нечётнащий подход к интегрированию рациональных выражений от тригонометрических функций.5.2. Интегралы вида ∫ sin n x cos m xdxОднако проще было поступить следующим образом:sin 2 x1 − cos 2 xdx==dxtgxdx∫∫ cos 2 x∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x − ∫ dx == tgx − x + C .5.2.1. Интегралы вида2Решение.∫ cos x(tg22( )2 2lntgx + 1 − 2tgx + 1 + 2sin xdx.Пример 3. ∫2cos x(sin x + cos x )(nxdx , ∫ cos n xdx (n ∈ N )1(1 − cos 2 x ) , cos 2 x = 1 (1 + cos 2 x ) ,223sinsin33cos x + cos 3 xx−x3, cos x =,sin 3 x =443 − 4 cos 2 x + cos 4 x3 + 4 cos 2 x + cos 4 x4, cos x =и др.sin 4 x =88sin 2 x =dxdtgxd (tgx + 1)=∫ 2=∫x + 2tgx − 1)tg x + 2tgx − 1(tgx + 1)2 − 21∫ sinЭти интегралы можно вычислять, последовательно понижая степень спомощью соответствующих формул:dx.x + 2 sin x cos x − cos 2 x2=2относительно(tg 2 x + 1) − 1d (tgx )d (tgx ) = ∫ d (tgx ) − ∫=21 + tg x1 + tg 2 xπ⎛⎞= tgx − arctg (tgx ) + C = tgx − x + C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .2⎝⎠∫ sin2u , функция R2 (u, v ) ― нечётна относительно v , а функцияR3 (u, v ) ― чётна относительно u и v .
Поэтому мы рассмотрели весьма об-2=∫Пример 2.123)+ C tgx ≠ −1 ± 2 .2=Интегрированием по частям можно вывести общие формулы понижения степени для интегралов данного вида (см. пример 5).∫3∫ sin3Пример 1. sin xdx .Решение.xdx =1(3 sin x − sin 3x )dx = − 3 cos x + 1 cos 3x + C .∫434Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл124§5. Интегрирование тригонометрических функцийПример 5. Вывести формулу понижения для интеграловМожно было интегрировать иначе:3cos∫ (1 − cos x )sin xdx = − ∫ (1 − cos x )d (cos x ) = 322∫Решение. ∫ sinxРешение. В этом примере эффекта понижения степени удаётся добитьсяпутём интегрирования по частям:Пример 2.
sin xdx .=xdx =I n = ∫ sin n xdx (n ∈ N , n > 2) .− cos x + C .441(3 − 4 cos 2 x + cos 4 x )dx =8∫+ (n − 1) sin311x − sin 2 x + sin 4 x + C . Если формулы понижения степени нет8432∫I n = − ∫ sin n −1 xd cos x = − cos x sin n −1 x +n−2x cos 2 xdx = − cos x sin n −1 x + + (n − 1)I n − 2 − (n − 1)I n ,откуда I n =под рукой, её легко можно вывести или интегрировать постепенно:21 ⎛1 + cos 4 x ⎞⎛ 1 − cos 2 x ⎞∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dx = 4 ∫ ⎜⎝1 − 2 cos 2 x + 2 ⎟⎠dx =1= ∫ (3 − 4 cos 2 x + cos 4 x )dx и т.д.8∫Решение. ∫ cos xdx = ∫ (1 − sin x ) cos xdx = ∫ (1 − t ) dt =221= ∫ (1 − 2t + t )dt = t − t + t + C = sin x − sin x +3355Пример 3. cos xdx .2524322 2531+ sin 5 x + C .5Пример 4.Решение.∫ cos6xdx .⎛ 1 + cos 2 x ⎞∫ (cos x ) dx = ∫ ⎜ 2 ⎟23⎝⎠3dx =1x 3(1 + 3 cos 2 x + 3 cos 2 2 x + cos 3 2 x )dx = + sin 2 x +∫88 16x33x3 1 + cos 4 x1++ ∫dx + ∫ (1 − sin 2 2 x )cos 2 xdx = + sin 2 x +8 161682835x 111+ sin 2 x + ∫ cos 2 xdx − ∫ sin 2 2 xd (sin 2 x ) =+ sin 2 x +6416 481631+ sin 4 x −sin 3 2 x + C .6448=1251((n − 1)I n−2 − cos x sin n−1 x ), n = 3,4,5,...n5.2.2.
Случай, когдаn и m – положительные чётные числаЕсли оба показателя n и m – положительные чётные числа, то, как и впредыдущем пункте, применяются формулы понижения для 2-й, 3-й, 4-й ит.д. степеней:111sin 2 x , sin 2 x = (1 − cos 2 x ) , cos 2 x = (1 + cos 2 x ) .22224Пример 1. ∫ sin x cos xdx .sin x cos x =11 1 + cos 2 x 1 − cos 4 xcos 2 x sin 2 2 xdx = ∫⋅dx =∫44221x sin 2 x= ∫ (1 + cos 2 x − cos 4 x − cos 2 x cos 4 x )dx =+−161632sin 4 x 1(cos 2 x + cos 6 x )dx = x + sin 2 x − sin 4 x −−−∫6432163264sin 2 x sin 6 xx sin 2 x sin 4 x sin 6 x−−+C =+−−+C .64192166464192Решение.∫ sin x cos xdx .Решение. ∫ sin x cos xdx = ∫ (sin x cos x )4Пример 2.24222sin 2 xdx =1⎛ sin 2 x ⎞ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞2= ∫⎜⎟ ⎜⎟dx = ∫ sin 2 x(1 − cos 2 x )dx =28⎝ 2 ⎠ ⎝⎠111(1 − cos 4 x )dx −= ∫ sin 2 2 xdx − ∫ sin 2 2 x cos 2 xdx =816 ∫8Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл126−5.2.4. Случай, когда1x11sin 2 2 xd (sin 2 x ) =− sin 4 x − sin 3 2 x + C .∫1616 64485.2.3. Случай, когдаn или m – натуральное нечётное числоn или m – натуральное нечётное число, то рекомендуемая подстановка t = sin x (если m – натуральное нечётное) или t = cos x (если n – натуральное нечётное).
При этом используются2222формулы cos x = 1 − sin x , sin x = 1 − cos x , а также формулы пониЕсли хотя бы один из показателейжения степени3 cos x + cos 3 x3 sin x − sin 3 x3, cos x =и др.443Пример 1. ∫ sin xdx .sin 3 x =Решение.∫ sin3xdx = ∫ (1 − cos 2 x )sin xdx = − ∫ (1 − cos 2 x )d (cos x ) =cos 3 x− cos x + C .354Пример 2. ∫ sin x cos xdx .=Решение.∫ sin5x cos 4 xdx = − ∫ sin 4 x cos 4 xd (cos x) == − ∫ (1 − cos 2 x ) cos 4 xd (cos x) =()12= − ∫ cos 4 x − 2 cos 6 x + cos 8 x d (cos x ) = − cos 5 x + cos 7 x −571= − cos 9 x + C .9Пример 3.3sin x∫ cos x ⋅3cos xdx .Решение. Приведём интеграл к видустановку t = cos x : −3= t + 3t51−3∫ (1 − t )t+C =2−433∫ sin x cos23dt = ∫ (t − t−43−43xdx и сделаем под-)dt =333π⎛⎞+ C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .cos 5 x + 325cos x⎝⎠127n и m – целые отрицательные числаодной чётностиЕсли n и m – целые отрицательные числа одной чётности (оба одновременно чётны либо оба нечётны), то полагают t = tgx (или t = ctgx ) и применяют формулы1 + tg 2 x =11222, 1 + ctg x =, cos x + sin x = 1 .22cos xsin xТакже бывает иногда полезно понизить степени в знаменателе, представляяединицу в числителе дроби как тригонометрическую единицу (или её степень).∫Решение.dx.x cos 5 xdxdtgx=∫31sin xtg 3 xcos 2 x cos 6 x3cos x1 + tg 2 x∫ sinПример 1.3(1 + tg x ) dtgx = (1 + u ) du =322 3(∫3Пример 2.∫ sin23⎛ 1=)33⎞+ 3u + u 3 ⎟du =utg xu⎠13113= − 2 + 3 ln u + u 2 + u 4 + C = −+ 3 ln tgx + tg 2 x +22422u2tg xπn1 4⎛⎞+ tg x + C ⎜ x ≠,n∈ Z ⎟.24⎝⎠=∫253§5.
Интегрирование тригонометрических функций∫ ⎜⎝ u3+dx.x cos 2 xsin 2 x + cos 2 xdxdx =Решение. 1-й способ. ∫=sin 2 x cos 2 x ∫ sin 2 x cos 2 xdxdxπn⎛⎞,n∈ Z ⎟.=∫+∫= tgx − ctgx + C ⎜ x ≠222cos xsin x⎝⎠2-й способ. В данном случае можно было поступить иначе:∫ sin2dx4dxd (2 x)=∫= 2∫= − 2ctg 2 x + C .22x cos xsin 2 xsin 2 2 xХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл1285.2.5. Интегралы видаdx∫ sinnx,dx∫ cosnx§5. Интегрирование тригонометрических функций(n ∈ N )dx∫ sin x =Случай n = 1 рассмотрен в примере 1 настоящего пункта.При n = 2 это известные табличные интегралыdx∫ sin 2 x = −ctgx + C ,Применно разделить выражениеdx∫ cos x = ∫бегнуть к введению вспомогательного аргументаинтегралу от косеканса11= 1 + tg 2 x и= 1 + ctg 2 x .22cos xsin xИнтегралы от нечётной натуральной степени секанса или косеканса прощевсего находятся по рекуррентным формулам понижения:1 sin x1 ⎞dx⎛,⋅+ ⎜1 − ⎟ ∫2nx 2n cos x ⎝ 2n ⎠ cos 2 n −1 xdxdx1 cos x ⎛1 ⎞∫ sin 2 n+1 x = − 2n ⋅ sin 2 n x + ⎜⎝1 − 2n ⎟⎠∫ sin 2n−1 x .Пример 1.
а)dx(1)(2)dx∫ sin x ; б) ∫ cos x .Решение. а) При интегрировании функцииcos ecx =cos xdxd (sin x ) 1 sin x + 1=∫= ln+C.2cos x1 − sin 2 x 2 sin x − 1С другой стороны, при вычислении последнего интеграла можно было при-Иногда они вычисляются с помощью формул=d (cos x ) 1 cos x − 1= ln+C.2x − 1 2 cos x + 1∫ cosб) Умножением и одновременным делением подынтегрального выражения на cos x можно вычислить и интеграл от секанса x :π⎞⎛d⎜ x + ⎟2⎠dudx⎝∫ cos n x = ∫ m ⎛ π ⎞ = ∫ sin m u .sin ⎜ x + ⎟2⎠⎝2 n +11на sin x и перейти к дифференциалу отsin xcos x :dxsin xdx− d (cos x )∫ sin x = ∫ sin 2 x = ∫ 1 − cos 2 x =в свою очередь,dx⎛ x⎞⎛ x⎞⎛ x⎞d⎜ ⎟d⎜ ⎟d ⎜ tg ⎟x⎝2⎠⎝2⎠⎝ 2⎠∫ x x = ∫ 2 x x = ∫ x = ln tg 2 + C .sin ⋅ coscos ⋅ tgtg22222С другой стороны, в этой же ситуации можно было домножить и одновре-dx∫ cos 2 x = tgx + C .n > 2 интегралы такого вида сводятся к интегралам вида 5.2.4:⎛x⎞d⎜ ⎟du1dx⎝2⎠∫ sin n x = ∫ n−1 n x n x = 2 n−1 ∫ sin n u cos n u ;2 sin cos22∫ cos1291(на промеsin xжутках между соседними точками серии x = πn, n ∈ Z , где косеканс определён) перейдём к тангенсу половинного аргумента:(cos x ≠ 0) :π4и свести к предыдущемуπ⎞⎛d⎜ x + ⎟dx2⎠dx⎛x π⎞=∫ ⎝= ln tg ⎜ + ⎟ + C .=∫∫ cos xπ⎞π⎞⎛⎛⎝2 4⎠sin ⎜ x + ⎟sin ⎜ x + ⎟2⎠2⎠⎝⎝dx.Пример 2.
∫sin 4 x1dxРешение. ∫= −∫d (ctgx ) = − ∫ (1 + ctg 2 x )d (ctgx ) =24sin xsin x1= −ctgx − ctg 3 x + C ( x ≠ πn, n ∈ Z ) .3πdx ⎛⎞x≠+ πn, n ∈ Z ⎟ .Пример 3. ∫⎜42cos x ⎝⎠11Решение. ∫d (tgx ) = ∫ (1 + tg 2 x )d (tgx ) = tgx + tg 3 x + C .23cos xХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл130Пример 4.dx∫ sin5xdx∫ sin5x=−(2) при n = 2 , получим1 cos x 3dx⋅ 4 + ∫ 3 .4 sin x 4 sin xn = 1 , по той же формуле имеемdx1 cos x 1 dx∫ sin 3 x = − 2 ⋅ sin 2 x + 2 ∫ sin x .Так какdxdxxcos x∫ sin x = ln tg 2 + C , то ∫ sin 3 x = − 2 sin2x+1xln tg + C , а22dxxcos x3 cos x 3∫ sin 5 x = − 4 sin 4 x − 8 sin 2 x + 8 ln tg 2 + C (x ≠ πn, n ∈ Z ) .Пример 5.dx∫ cos5x1315.2.6.
Случай, когда n и m – целые отрицательные числа,причём одно из них нечётное.Решение. Применяя рекуррентную формулуПолагая теперь§5. Интегрирование тригонометрических функций.π⎞⎛⎛u⎞d⎜ x + ⎟d⎜ ⎟12⎠⎝⎝2⎠Решение. При cos x ≠ 0 имеем ∫= ∫=π ⎞ 165 u5 u5⎛sin cossin ⎜ x + ⎟222⎠⎝4⎛u2 u⎞+1tg⎜⎟4dtg11 ⎝u 1 (1 + z 2 )2⎠2dz =dtg = ∫= ∫= ∫162 16z5165 u5 utgsin22 ⋅ cos 8 uu2cos 521 1 + 4z 2 + 6z 4 + 4z 6 + z 81 −4 1 −2 3= ∫dz = −z − z + ln z +5166488z11 4sin x3 sin x 3⎛x π⎞+ z2 +z +C =++ ln tg ⎜ + ⎟ + C .428644 cos x 8 cos x 8⎝2 4⎠n и m – целые отрицательные числа, причём одно из них нечётное,то полагают t = sin x (если m – натуральное нечётное) или t = cos x (еслиn – натуральное нечётное).
Иногда в случае больших степеней n и m с цеЕслилью понижения этих степеней полезно в числителе подынтегральной функ22ции неоднократно заменить единицу суммой sin x + cos x или даже еёстепенью.dxПример.∫ sin 3 x cos 4 x .Решение.(sin)2x + cos 2 xdxdxsin xdx∫ sin 3 x cos 4 x dx = ∫ cos 4 x + 2∫ sin x cos 2 x + ∫ sin 3 x =sin 2 x + cos 2 x dxdx112=+∫=++233∫sin x 3 cos 3 x3 cos xsin x cos x1x⎞cos x1⎛ 1x⎞ ⎛++ ln tg ⎟⎟ + C =+ 2⎜⎜+ ln tg ⎟⎟ + ⎜⎜ −23 cos 3 x2⎠2 ⎠ ⎝ 2 sin x 2⎝ cos x2cos x5x+−+ ln tg + C ⎛⎜ x ≠ πn , n ∈ Z ⎞⎟ .2cos x 2 sin x 222⎠⎝2()5.2.7. Случай, когда один из показателей чётный,а другой – целый отрицательныйn – чётное число, а m – целое отрицательное число, то можно заме22нить sin x по формуле sin x = 1 − cos x , и в этом случае интеграл своdx(n ∈ N ) .
В случае чётного m и целогодится к интегралу вида ∫cos n x22отрицательного n аналогично заменяют cos x на 1 − sin x . Если оба показателя n и m – чётны, то полагают t = tgx . Если оба показателя степениЕсли2отрицательны, то с целью понижения этих степеней иногда рекомендуетсязаменить единицу в числителе подынтегральной функции суммойsin 2 x + cos 2 x или её степенью.Пример 1.sin 4 x∫ cos 5 x dx .Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл132(1 − cos x )22dxdxdx− 2∫+∫=53cos xcos xcos xcos xπsin x5 sin x 3⎛x π⎞⎛⎞+ ln tg ⎜ + ⎟ + C ⎜ x ≠+ πn, n ∈ Z ⎟ .=−4224 cos x 8 cos x 8⎠⎝⎝2 4⎠Решение.∫5dx = ∫sin 2 xdx .Пример 2. ∫cos 6 xsin 2 x dx2 2∫ cos 4 x cos 2 x = ∫ t (t +1)dt =t5 t3tg 5 x tg 3 xπ⎛⎞= + +C =++ C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .5 3532⎝⎠dxПример 3. ∫dx .sin x cos 2 xdxcos 2 x + sin 2 xРешение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
