Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тогда приходим к интегралу3∫ (tgx ) 2 dx = ∫2t 4dt=dt = 2t − 2∫41+ t1+ t4⎛ 1t+ 21t− 2 ⎞⎟dt == 2t − 2 ∫ ⎜⎜−22⎟⎝ 2 2 t + t 2 + 1 2 2 t − t 2 + 1⎠⎛⎞2⎜⎟t+11dt2⎜⎟+= 2t −dt + ∫⎜ 2 ∫ t2 + t 2 +12 t + 2 2 2 +1 2⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞2⎜⎟t−11dt2⎜⎟ = 2t −+dt − ∫2⎜ 2 ∫ t2 − t 2 +12 t − 2 2 +1 2⎟⎜⎟⎝⎠(.1 + 4 sin x2Решение. Положим t = 1 + 4 sin x , тогда t = 1 + 4 sin x , cos xdx =1= tdt и получаем2cos xdx1t1∫ 1 + 4 sin x = 2 ∫ dt = 2 + C = 2 1 + 4 sin x + C .dx1t = tgx , где πn < x <3. Использование нестандартных подстановокПример 5.11t− 2ln= ++C =1 + cos x t 2 2 t + 2dx∫ sin xРешение. Если знаменатель дроби тригонометрического вида содержит выражение 1 ± cos x ( 1 ± sin x ), то иногда бывает целесообразно одновременнодомножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение 1 m cos x (соответственно, 1 m sin x ), и затем упростить знаменатель по основному тригонометрическому тождеству.5151(−1lnt 2 + t 2 +14 2 t − t 2 +1где t = tgx .2+12 2(arctg (t)))())2 + 1 + arctg t 2 − 1 + C ,Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл152Пример 8.sin 2 xdx∫3 − cos 4 x§5. Интегрирование тригонометрических функций.10.∫dxtgx(tgx > 0) .Решение. Произведём подстановку t = cos x , тогда − 2 cos x sin xdx = dt ,т.е. sin 2 xdx = − dt . Переходя к новой переменной, получаем2∫sin 2 xdx3 − cos 4 x= −∫dt3−t2= − arcsint3+ C = − arcsincos 2 x3+C.Задачи для самостоятельного решенияВычислить неопределённые интегралы:1.2.3.4.5.6.7.8.9.πn⎛⎞tgx − ctgx + C ⎜ x ≠,n∈ Z ⎟.2⎝⎠13xπndx⎛⎞+C ⎜x ≠,n∈ Z ⎟.Ответ: ln tg∫ sin 3x .323⎝⎠xdxОтвет: tg + C ( x ≠ π + 2πn, n ∈ Z ) .∫ 1 + cos x .22dx⎛1 x⎞Ответ: arctg ⎜ tg ⎟ + C .∫ 5 + 4 cos x .3⎝3 2⎠x3tg + 1dx12Ответ:arctg+C.∫ 3 + sin x .22 2π1dx⎛⎞⎛x π⎞∫ sin x + cos x .
Ответ: 2 ln tg ⎜⎝ 2 + 8 ⎟⎠ + C ⎜⎝ x ≠ − 4 + πn, n ∈ Z ⎟⎠ .x4tg + 12dx2Ответ:arctg+C .∫ sin x + 2 cos x + 6 .3131xtg + 1dx2+C .Ответ: 2arctg∫ 2 + sin x + cos x .21sin xdxОтвет: −1 + 6 cos x + C ⎛⎜ cos x > − 1 ⎞⎟ .∫ 1 + 6 cos x .36⎠⎝∫ (tgx + ctgx )2dx .Ответ:11.12 2lnt2 + t 2 +1t2 − t 2 +112arctgt 2+ C , t = tgx .t 2 −1Ответ: −∫ cos 4 x cos 2 xdx .13. ∫ cos x cos 2 x cos 3 xdx .Ответ:Ответ:∫ sin (2 x )cos (3x )dx .3−cos 5 x cos x−+C .10211Ответ:sin 6 x + sin 2 x + C .124∫ sin 3x cos 2 xdx .12.14.1531111x + sin 2 x + sin 4 x + sin 6 x + C .481624213Ответ: − 3 cos 2 x + 3 cos 4 x + 1 cos 6 x −cos 12 x + C .cos 8 x +192166448128dx15.∫ sin x sin 2 x .16.∫ sin (x + 1)sin (x + 7) .1sin (x + 7 )ln+ C (x + 1 ≠ πn; x + 7 ≠ πk , n, k ∈ Z ) .sin 6 sin ( x + 1)dx∫ cos(x − 1)cos(x + 2) .Ответ: −18.11 sin x − 1πn⎛⎞− ln+C ⎜x ≠,n∈ Z ⎟.2 sin x 4 sin x + 12⎝⎠dxОтвет: −17.Ответ: −ππ⎛⎞1cos(x + 2 )ln+ C ⎜ x − 1 ≠ + πn; x + 2 ≠ + πk , n, k ∈ Z ⎟ .22sin 3 cos( x − 1)⎝⎠dx∫ sin x − sin 4 .Ответ: 1 lncos 4x−42 +Cx+4cos2sin(x − 4 ≠ 2πn; x + 4 ≠ π + 2πk , n, k ∈ Z ) .Хорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл15419.20.21.22.23.24.§5. Интегрирование тригонометрических функцийdx27.∫ cos x − cos 3 .x−3sin12 + C (x − 3 ≠ 2πn; x + 3 ≠ 2πk , n, k ∈ Z ) .Ответ:lnx+3sin 3sin2dxππ⎛⎞∫ sin 5 x − cos1 ⎜⎝ 5 x ≠ 2 − 1 + 2πn;5 x ≠ 2 + 1 + 2πk , n, k ∈ Z ⎟⎠ .π5x − + 12sin12Ответ:ln+C.π5 sin 15x + − 12cos2dx1Ответ:arctg 2tgx + C .∫ 1 + sin 2 x .2dx1⎛ tgx ⎞Ответ:arctg ⎜⎟+C.∫ 1 + cos 2 x .2⎝ 2⎠ππdx ⎛⎞∫ 1 + tgx ⎜⎝ x ≠ − 4 + πn; x ≠ 2 + πk , n, k ∈ Z ⎟⎠11Ответ: ln sin x + cos x + x + C .22()π11⎛⎞Ответ: x − ln sin x + cos x + C ⎜ x ≠ − + πn; x ≠ πk , n, k ∈ Z ⎟ .422⎝⎠∫ sin3x cos 3 xdx .26.∫ sin6xdx .5xdx .Ответ:Ответ: −Ответ:cos 4 x cos 6 x++C.465131x − sin 2 x + sin 4 x + sin 3 2 x + C .16464481 41π⎛⎞tg x − tg 2 x − ln cos x + C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .242⎠⎝cos 5 x1sin 3 xdx.Ответ:−−2sinx++ C ( x ≠ πn, n ∈ Z ) .∫ sin 2 x3sin xπ12sin 5x⎞⎛29.
∫dx . Ответ:−− cos x + C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .4323 cos x cos xcos x⎝⎠dxnπ⎛⎞.cos x3x.Ответ: 130.28.∫ sin31.3∫ sinx cos 2 x5cos xdxx cos 2 x−2 sin 2 x,n∈ Z ⎟+ ln tg + C ⎜ x ≠222⎝⎠πn⎛⎞,n∈ Z ⎟.⎜x ≠2⎝⎠1cos xcos x3 cos x 15x−−−+ ln tg + C .242cos x 2 sin x 4 sin x 8 sin x 82dx14tgx32.
∫.Ответ:arctg+C.227 cos x + 16 sin x4 77dx13tgx33. ∫.Ответ:arctg+C.225 cos x + 9 sin x3 55Ответ:Ответ: − 2 x cos x + 2 sin x + C ( x ≥ 0 ) .∫ sin x dx .331135. ∫ x sin xdx . Ответ: sin x − x cos x −sin 3x + x cos 3x + C .44361236. ∫ x cos xdx .Ответ: x sin x + 2( x cos x − sin x ) + C .37. ∫ e sin (e )dx .Ответ: sin (e ) − e cos(e ) + C .138. ∫ ( x + 2 ) cos(x + 4 x + 1)dx .Ответ: sin (x + 4 x + 1) + C .239.
∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx .Ответ: ( x + 1) sin x + 2( x + 1) cos x + C .140. ∫ x sin (x )dx .Ответ: − cos(x ) + C .234.32dx∫ 1 + ctgx .25.∫ tg15522xxx2xx22222Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл156xdx.2xxdx42. ∫.sin 4 x41.∫ sinОтвет:43.∫44.∫45.∫∫50.cos xdx1 − 4 sin x + cos xdx2sin 3 x cos 5 x..(sin x + 2)+ C sin x < 6 − 2 .62Ответ: − 2 ctgx +tg 3 x + C (sin 2 x > 0 ) .3Ответ: arcsincos 2 x sin xdx .21ln 2 cos x + cos 2 x + C (cos 2 x ≥ 0) .cos x cos 2 x −24∫ cos1 + sin x∫ cos xsin xdx.x − 3 cos x + 2()12sin x cos 2 x +arcsin 2 sin x + C (cos 2 x ≥ 0 ) .24cos 2 xОтвет: x −12arctg(54.2dx.x − 5 sin x + 6Ответ: −55.23x − ln 2 sin x + 3 cos x + C (2 sin x + 3 cos x ≠ 0 ) .131312xx−12tg − 1222+arctg+C.2 2333tgarctgsin x + cos x + 1∫ 2 sin x + cos x + 2dx (2 sin x + cos x ≠ −2; x ≠ π + 2πn, n ∈ Z ) .311Ответ: x + ln 2 sin x + cos x + 2 − ln555)sin xdxОтвет:∫ sinπ⎛⎞2tgx + C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ⎟ .2⎝⎠∫ 2 sin x + 3 cos x .⎛ 2 cos x − sin x ⎞1 (sin x + cos x )1arctg ⎜⎜⎟⎟ + C .ln−6 1 − sin x cos x3sin x⎠⎝2Ответ: −dx .sin 2 xdx∫ 1 + sin 2 x .cos x − 1+ C (x ≠ 2πn, n ∈ Z ) .cos x − 22cos 2 x cos xdx .π⎛⎞Ответ: arcsin+ C ⎜ x ≠ + πn, n ∈ Z ; cos 2 x > 0 ⎟ .22 (1 − sin x )⎝⎠49.2157cos xdx(x ≠ π + 2πn, n ∈ Z ) .x − 5 cos x + 63x⎞ 4x⎞⎛⎛Ответ: −arctg ⎜ 2tg ⎟ +arctg ⎜ 3tg ⎟ + C .2⎠2⎠23⎝⎝1dx⎛ tg 2 x ⎞52.
∫.Ответ:arctg ⎜⎟+C.44sin x + cos x2⎝ 2 ⎠πsin xdx⎛⎞53. ∫⎜ x ≠ − + πn, n ∈ Z ; sin x > 0 ⎟ .334sin x + cos x ⎝⎠51.2 sin x − 148.∫ cosОтвет: lnОтвет:47.(x ≠ πn, n ∈ Z ) .Ответ: − xctgx + ln sin x + C1 ⎛ xctgx1⎞−− 2 xctgx + 2 ln sin x ⎟ + C ( x ≠ πn, n ∈ Z ) .⎜−223 ⎝ sin x 2 sin x⎠Ответ: −46.§5. Интегрирование тригонометрических функций56.∫sin 2 x1 + cos x4dx .(x+12+C.xtg + 32tg)Ответ: − ln cos + 1 + cos x + C .24§6. Интегрирование гиперболических, показательных и др. функций§ 6.разработанных для тригонометрических функций. Так, интегралы от чётныхстепеней shx и chx находятся с помощью формул понижения степениИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ,СОДЕРЖАЩИХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ,ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕИ ДРУГИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИsh2 xch 2 x + 1ch 2 x − 12, sh x =и shx ⋅ chx = =Интегралы от222нечётных степеней shx и chx находятся отделением множителя первой стеch 2 x =пени и введением новой переменной и т.д.
Поэтому отдельно на них останавливаться не будем.Обратим внимание на существующую связь между табличными интегралами(a > 0)∫6.1. Интегрирование гиперболических функцийПри интегрировании выражений, содержащих гиперболические функции,при необходимости выполнять преобразования над ними используются, в частности, следующие формулы:основное гиперболическое тождество ch x − sh x = 1 ;формулы двойного аргумента: sh2 x = 2 ⋅ shx ⋅ chx , ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x ;22112, cth x − 1 =;формулы 1 − th x =2ch xsh 2 xch 2 x + 1ch 2 x − 122, sh x =;формулы понижения степени: ch x =22dxформулы суммы и разности двух аргументов:sh x ± y = shx ⋅ chy ± shy ⋅ chx , ch x ±)th( x ± y ) =(y ) = chx ⋅ chy ± shx ⋅ shy ,thx ± thycthx ⋅ cthy ± 1, cth( x ± y ) =;cthy ± cthx1 ± thx ⋅ thyформулы преобразования произведений синусов и косинусов в суммы:1(sh(x + y ) + sh(x − y )) ,21chx ⋅ chy = (ch( x + y ) + ch( x − y )) ,21shx ⋅ shy = (ch( x + y ) − ch( x − y )) и пр.2shx ⋅ chy =Подчеркнём, что большинство практических приёмов интегрирования подобного рода выражений имеют свои аналоги среди соответствующих приёмов,= ln x + x 2 ± a 2 + C ( x > a ) ,(1)x ±adx1x−a∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C ( x ≠ a )22(2)и обратными гиперболическими функциями.1.
Известно, что обратной функцией к гиперболическому синусу y = shx на(множестве R является ареа-синус y = Arshx = ln x +учётом этого один из интегралов2(159∫(1) можно записать в видеdxx2 + a2= Arsh)x2 +1 , x ∈ R . Сx+C.a2. Известно также, что обратными функциями к двум ветвям гиперболического косинуса y = chx , x ≥ 0 и y = chx , x ≤ 0 являются соответственнофункции(y = Arch + ( x ) = ln x + x 2 − 1))(и y = Arch ( x ) = ln x − x 2 − 1 .Обе эти функции, рассмотренные как две ветви двузначной функции, носят на−(звание ареа-косинуса и обозначаются y = Archx = ln x ±)x 2 − 1 .
С учётомэтого получаем, что на промежутке x > a второй из интегралов (1) принимаетвид∫3. Наконец, при⎛x⎞= Arch + ⎜ ⎟ + C .⎝a⎠x2 − a2dxx < 1 определена функция, обратная к гиперболическомутангенсу и называемая ареа-тангенсом y = Arthx =1 1+ x; а на промеln2 1− xХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл160жутках§6. Интегрирование гиперболических, показательных и др. функцийx > 1 определена функция, обратная к гиперболическому котангенсу иназываемая ареа-котангенсом y = Arcthx = =1 x +1. Учитывая это, поln2 x −1x⎧1Arth + C ,⎪dx⎪aa∫ a2 − x2 = ⎨1⎪ Arcth x + C ,⎪⎩ aaеслиеслиx > a.)Пример 1.)x = a ⋅ sht , t ∈ R .подстановкойdx∫ shx .Решение.
Преобразуя подынтегральное выражение, приx ≠ 0 получаемdx):(аналогично вычислению интеграла ∫sin x⎛ x⎞d ⎜ th ⎟dxdxdxx⎝ 2⎠∫ shx = ∫ x x = ∫ x 2 x = ∫ x = ln th 2 + C .2 sh ch2th chth22 2222Пример 2. ∫ sh xdx .Решение. Так как sh 2 x ==1ch2 x − 12, то sh xdx =22∫xd (chx ) =∫ (ch2x − 1)d (chx ) =ch 3 x=− chx + C .3∫ ch4xdx .∫ ch=4xdx =(x ≠ 0)1(1 + ch2 x )2 dx = 1 ∫ ⎛⎜1 + 2ch2 x + 1 + ch4 x ⎞⎟dx =∫4 ⎝24⎠1 ⎛311 ⎛ 3x1⎞⎞⎜ + 2ch 2 x + ch 4 x ⎟dx = ⎜ + sh 2 x + sh 4 x ⎟ + C .∫4 ⎝224⎝ 28⎠⎠Пример 5.∫ cth2xdx .1 + sh 2 xch 2 x=dx∫ sh 2 x∫ sh 2 x dx = − cthx + x + C (x ≠ 0) .shxПример 6. ∫dx . Решение.ch2 xshx11d 2chxln 2chx + ch2 x + C .=∫ ch2 x dx = 2 ∫222chx − 1Решение.a + x dx22Решение. Применяя формулы понижения степени, получаем⎛x−a ⎞⎟dx , R⎛⎜ x, x + a ⎞⎟dxx 2 − a 2 dx , ∫ R⎜⎜ x,∫ ⎜ x−a ⎟x + a ⎟⎠⎝⎠⎝подстановкой x = a ⋅ cht , t ≥ 0 , а также интегралы вида∫ R(x,2Пример 4.x <aОтметим, что к интегрированию гиперболических функций сводятся, в частности, интегралы вида23Пример 3.(2) :лучаем ещё одну форму записи для интеграла∫ R(x,∫ sh xdx .Решение.
∫ sh x ⋅ shxdx = ∫ sh161∫ (cg 2 x − 1)dx =111xch 2 xd (2 x ) − ∫ dx = sh 2 x − + C .∫4242(Пример 7.∫ ch∫ chdx2Пример 8.dx2x ⋅ 3 th 2 xx ⋅ 3 th 2 xdx =())()dx . Решение.2−3∫ (thx ) 3 d (thx ) = 3 ⋅ thx + C (x ≠ 0) .∫ chx ⋅ ch3xdx .Решение. Используя формулу преобразования произведения гиперболиче-1(ch(α − β ) + ch(α + β )) , получим2111∫ chx ⋅ ch3xdx = 2 ∫ (ch2 x + ch4 x )dx = 4 sh2 x + 8 sh4 x + C .ских косинусов chα ⋅ chβ =Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл162Пример 9.∫ shx ⋅ sh 2 x ⋅ sh3xdx .§6. Интегрирование гиперболических, показательных и др. функций1636.2. Интегрирование показательных функцийРешение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
