Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Положимтям, получаемu = arccos x , x 2 dx = dv . Тогда, интегрируя по час-⎛ x3 ⎞ x31 x 3 dx⎜⎟=+arccosxdarccosx.∫ x arccos xdx = ∫⎜ 3⎟ 33 ∫ 1− x2⎝ ⎠2Образовавшийся в правой части интеграл ещё раз проинтегрируем по частям,u = arccos x , dv = dx , опреде-1(1 d x2 +1xdx=xarctgx−=2 ∫ 1+ x21+ x21= xarctgx − ln 1 + x 2 + C .2Пример 5. ∫ arctg x dx .∫ arctgxdx = xarctgx − ∫= x ⋅ arctg x −dx , v = x .
Следовательно,∫ arccos xdx = x arccos x + ∫ x1− ∫ 1− x22Пример 4.положив на этот раз u = x ,2Решение. Интегрируя по частям и полагаяляем)= x arccos x − 1 − x 2 + C ( x < 1) .⎞⎛ 11⎟dx = x ⋅ arctg x −− ∫ ⎜⎜−⎟()2x2xx+1⎠⎝dt2Решение. Полагая t = arctg x , имеем x = tg t , dx = 2tgt ⋅и тоcos 2 tarctg x dx2tgt ⋅ dttгда ∫⋅=∫⋅= 2 ∫ tdt =2x +1tgt cos t ⋅ tg 2 t + 1x171)12+C =dv =(− xdx1− x2( x ≤ 1) :)x3x2x31arccos x −1− x2 +arccos x − ∫ x 2 d 1 − x 2 =3333323xx21(1− x2 ) + C .arccos x −1− x2 −+ ∫ 1 − x 2 d (x 2 ) =93332Пример 7.
∫ (arcsin x ) dx .Решение. Интегрируя по частям, находим∫ (arcsin x )2dx =Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл172= x ⋅ (arcsin x ) −2∫+ 2 arcsin x ⋅ d2x∫1− x2⋅ arcsin xdx = x ⋅ (arcsin x ) +∫2( 1 − x ) = x ⋅ (arcsin x )2− 2x + CПример 8.2+ 2 1 − x 2 ⋅ arcsin x −( x < 1) .arctgxdx .x3Решение. Интегрируя по частям, положимu′ =§6. Интегрирование гиперболических, показательных и др. функцийu = arctgx ,dx= dv . Тогдаx311, v=−и имеем2x +12x 2arctgx⎛ 1 ⎞∫ x 3 dx = ∫ arctgxd ⎜⎝ − 2 x 2 ⎟⎠ =⎛ 1 ⎞ dx1⎛ 1 ⎞= − 2 arctgx += arctgx ⋅ ⎜ − 2 ⎟ − ∫ ⎜ − 2 ⎟ ⋅ 22x⎝ 2x ⎠ x + 1⎝ 2x ⎠21 1+ x − x211dxdx =+ ∫ 2 2= − 2 arctgx + ∫ 2 22 x x +12x2 x (x + 1)111 dxdx= − 2 arctgx + ( ∫ 2 − ∫ 2 ) = − 2 arctgx +2 x2xx +12x111 1⎛⎞ 1+ C (x ≠ 0) .+ (− − arctgx ) + C = − arctgx ⋅ ⎜ 2 + 1⎟ −22 x⎝x⎠ 2x(Пример 9.()∫ x ⋅ arcsin (1 − x )dx .Решение.
Применяя простейшие преобразования, замену)u = 1 − x и интег-∫ x ⋅ arcsin (1 − x )dx == ∫ (1 − x ) arcsin (1 − x )d (1 − x ) − ∫ arcsin (1 − x )d (1 − x ) =рирование по частям, находим1 u 2 duu2arcsin u − ∫−22 1− u2uduu21 u 2 du=arcsin u − ∫−22 1− u21− u2= ∫ u arcsin udu − ∫ arcsin udu =− u arcsin u + ∫− u arcsin u − 1 − u 2 . Интеграл∫u 2 du173вычислим тригонометрической1− u2⎛ π π⎞подстановкой u = sin t , где t ∈ ⎜ − , ⎟ :⎝ 2 2⎠2t 11u du2∫ 1 − u 2 = ∫ sin tdt = 2 ∫ (1 − cos 2t )dt = 2 − 4 sin 2t + C1 ==u1arcsin u −1 − u 2 + C1 .22Окончательно имеемu2arcsin u − u arcsin u − 1 − u 2 −2u1 111⎞⎛− ( arcsin u −1 − u 2 ) + C = arcsin u ⋅ ⎜ u 2 − 2u − ⎟ −22⎠2 22⎝2x 2 − 3x+3⎛ u⎞arcsin(1 − x ) − 2 x − x 2 ⋅+C− 1 − u 2 ⎜1 − ⎟ + C =44⎝ 4⎠(x ∈ (0,2)) .∫ x ⋅ arcsin (1 − x )dx =arcsin x 1 + x 2∫ x 2 ⋅ 1 − x 2 dx .Решение. Положим t = arcsin x , разобьём интеграл на сумму двух интегралов и затем один из них проинтегрируем по частям (0 < x < 1) :Пример 10.t1 + sin 2 tarcsin x 1 + x 2=⋅⋅dx∫ x2∫ sin 2 t 1 − sin 2 t cos tdt =1− x2t2tdtt2t2+=− td (ctgt ) ==∫1+sintdt=2 ∫ sin 2 t 2 ∫sin 2 t2(t2cos(arcsin x )arcsin x )= − t ⋅ ctgt + ln sin t + C =− arcsin x ⋅+2sin (arcsin x )2(+ ln sin (arcsin x ) + C =)(arcsin x )22− arcsin x ⋅1− x2+ ln x + C .xХорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл174ax 2 + b∫ x 2 + 1 ⋅ arctgxdx .Решение. Положим t = arctgx , тогда x = tgt и приходим к интегралуПример 11.bt 2ax 2 + b22∫ x 2 + 1 ⋅ arctgxdx = ∫ t (atg t + b )dt = 2 + a ∫ t ⋅ tg tdt .§6. Интегрирование гиперболических, показательных и др. функций∫ (shx − chx ) dx .3. ∫ sh(ax ) cos(bx )dx .t2()()()t⋅tgtdt=tdtgt−t=ttgt−t−tgt−tdt=⋅−+ttgt∫∫∫2+ ln cos t + C .4.Пример 12.arcsin (e x )∫ e x dx .arcsin (e x )arcsin tРешение. Положим t = e , тогда ∫dx = ∫dt =xet21dt11+ 1− t2= − arcsin t + ∫= − arcsin t − ln+C =tttt 1− t2(= −e arcsin (e ) − ln 1 + 1 − ex2x) + x + C (x < 0) .Задачи для самостоятельного решения22∫ sh xch xdx .22x − 1Ответ:11sh 4 x − x + C .328Ответ:6.2 2 x −1 − 3 2 x +3∫ 6 2 x dx .7.2∫ x e 2 dx .8.∫ (2 x9.x∫ e sin xdx .2x−∫e11. ∫ e2xx22ln 2(2x)− 1 − arctg 2 x − 1 + C (x ≥ 0) .Ответ:xОтвет: − 2e−x2(− 2 x + 1)e dx .Ответ:Ответ:14.∫1 + exОтвет: −(x2+ 4 x + 8) + C .)2−x2+C .ex(sin x − cos x ) + C .21 2xe (2 − sin 2 x − cos 2 x ) + C .8xОтвет: sin e + C .e−xx 6 + 3x 4 + 6 x 2 + 6 + C .2()Ответ: 2( x − 2 ) 1 + e x − 2 lndx .dx1+ ex + 1− ex12e xx2( )cos(e x )dx .2∫−Ответ: − 2 2 x + 6 x + 13 esin 2 xdx .xe x−1x⎛ 32 ⎞ ⎛ 32 ⎞⎟ ⎜ ln ⎟ + C .⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠7 −x∫ x e dx .13.x3x− ⎞2 ⎛1 2⎜ 2 +2 2 ⎟+C.⎟ln 2 ⎜⎝ 3⎠Ответ: ⎜212.11sh 2 x − ch 2 x + C .22ach(ax ) cos(bx ) + bsh(ax )sin (bx )+C .a2 + b2dx .Ответ:Вычислить неопределённые интегралы:1.2 x −1dx .∫10.x−x∫5.Подставляя, окончательно получимbt 2t2ax 2 + b⋅arctgxdx=+a(t⋅tgt−+ ln cos t ) + C =∫ x2 +122b−a 2b−at + at ⋅ tgt + a ln cos t + C =arctg 2 x +=22b−aarctg 2 x + ax ⋅ arctgx −+ ax ⋅ arctgx + a ln cos(arctgx) + C =211).− a ln (1 + x 2 ) + C (так как cos(arctgx) =21+ x2Ответ:Ответ:Последний интеграл вычислим интегрированием по частям:222.1751 +e x − 11+ ex +1+C..( 1− ex)− 1+ ex +1ln4( 1 + e − 1)( 1 − e − 1) + C .( 1 + e + 1)( 1 − e + 1)xxxxХорошилова Е.В.
Неопределённый интеграл176§6. Интегрирование гиперболических, показательных и др. функцийe2xe2x1dx.Ответ:arctg+C.∫ e4x + 442e x + e2xxx16. ∫dx .Ответ: − e − 2 ln e − 1 + C ( x ≠ 0) .1− ex2e 2 x − e x − 3x17. ∫ 2 xОтвет: x + ln e − 3 + C ( x ≠ ln 3) .dx .xe − 2e − 3e 2 x + 3e x + 1618. ∫dx (x ≠ ln 2) .e 4 x − 16x13713Ответ:ln( e x − 2 (e x + 2 ) ) + ln (e 2 x + 4 ) − 3 arctg e − x + C .321616215.3ln 2 x∫ x dx .dx.20. ∫x ln xln x21.
∫ 2 dx .xln x22. ∫ 3 dx .xОтвет:19.23.24.25.∫ x ln∫∫2xdx .x ln 2 xdx .ln xxОтвет:53(ln x )3 + C (x > 0) .5ln ln x + C (x > 0; x ≠ 1) .ln x 1Ответ: −− + C (x > 0) .xx2 ln x + 1Ответ: −+ C (x > 0) .4x 21 2x (2 ln 2 x − 2 ln x + 1) + C (x > 0) .438⎞42 ⎛ 2Ответ: x 2 ⎜ ln x − ln x + ⎟ + C ( x > 0) .9⎠33 ⎝29.Ответ: 2 x ln x − 4 x + C()x3x3 x2 x 1ln (1 + x ) −+− + ln (1 + x ) + C (x > −1) .396 3 3∫ cos (ln x )dx .2x x cos(2 ln x ) + 2 x sin (2 ln x )++ C (x > 0) .210ln(cos x )π⎛⎞∫ cos 2 x dx . Ответ: tgx ⋅ ln(cos x ) + tgx − x + C ⎜⎝ x ≠ 2 + πn, n ∈ Z ⎟⎠ .12Ответ: cos x(1 − 2 ln cos x ) + C (cos x > 0) .∫ sin 2 x ln cos xdx .2x +1Ответ: 2 ln x + x + C (ln x + x > 0; x > 0) .∫ x 2 ln x + x 3 dx .x ln xln x− ln x + 1 + x 2 + C (x > 0) .Ответ:dx .∫22 31+ x1+ x31.32.33.34.35.36.(∫ ln (∫())1 − x + 1 + x dx .Ответ: x lnln x + 1 + x 2(1 + x )2 3)dx .( 1− x +37.∫x1− x2lnx1− x38.x 1+ arcsin x + C2 2()(( x < 1) .)1ln x + 1 + x 2 − ln 1 + x 2 + C .21+ x2dx (0 < x < 1) .Ответ: − 1 − x 2 ln))1+ x −xОтвет:(x > 0) .x2 ⎛ 1 ⎞ x 1⎛ 1⎞26.
∫ x ln ⎜1 + ⎟dx . Ответ:ln⎜1 + ⎟ + − ln 1 + x + C ( x ∉ [− 1,0]) .x⎠x⎠ 2 22 ⎝⎝2xx11x27. ∫ x lnln+ x 2 − ln 1 + x 2 + C (x > 0) .dx . Ответ:222 1+ x421+ x22Ответ: x ln x + x + ln x + 1 − x + C ( x ∉ [− 1,0]) .28. ∫ ln (x + x )dx .(2Ответ:Ответ:dx .∫ x ln(1 + x )dx .Ответ:30.177x1− x− ln11+ 1− x2 11 − x2 + C .+ arcsin x +2x2∫ x ⋅ arctgx ⋅ ln (1 + x )dx .31xxОтвет: x − (3 + x )arctgx − ln (1 + x ) +2222222+1⋅ arctgx ⋅ ln 1 + x 2 + C .2()Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл17839.∫ x arcsin xdx .40.∫ xarcctgxdx .41.2∫ x arcsin xdx .42.∫x43.∫ x arccos x dx .44.∫45.arcsin x∫ x 2 dx .21(1 − x )2 3x2x11− x2 + C .arcsin x − arcsin x +4422x x +1Ответ: +arcctgx + C .22x32 + x2Ответ:arcsin x +1 − x 2 + C ( x ≤ 1) .39x3x2 1Ответ:arctgx −+ ln (1 + x 2 ) + C .36 62x1 1 2Ответ:x − 1 ⋅ sgn x + C ( x ≥ 1) .arccos −x 22arccos x 1 1 + xОтвет:+ C ( x < 1) .+ ln1− x2 2 1− xОтвет:arctgxdx .x arccos x§6.
Интегрирование гиперболических, показательных и др. функцийdx .Ответ: −()arcsin x1+ 1− x2− ln+C 0 < x ≤1 .xx1 41x arctg 2 x − arctg 2 x −442x11− x 3 − 3x arctgx +− ln 1 + x 2 + C .612 3xx(x > 0) .dx . Ответ: t ⋅ tg 2 t − tgt + t , где t = arcsin47. ∫ arcsinx +1x +11arcctg (3 x )2Ответ: − arcctg (3 x ) + C .48. ∫dx .261 + 9x46.32∫ x arctg xdx .)(∫50.∫5Ответ: − 1 − x −2dx .1− x2x + arcsin 3 (2 x )1 − 4x 252.∫2arccos 2 x + C5( x < 1) .dx .Ответ: −111⎞⎛1 − 4 x 2 + arcsin 4 (2 x ) + C ⎜ x < ⎟ .2⎠48⎝11ln 1 + 4 x 2 + arctg 2 (2 x ) + C ( x ≥ 0 ) .831Ответ:arcsin 2 x + arccos 2 x + C x < 1 .2dx .1 + 4x 2arcsin x − arccos x1− x2Ответ:x2 − 2∫ x 2 + 1 arctgxdx .3 + 2x 254.
∫ 2arctgxdx .x +1x 3 arccos x55. ∫dx .1− x2Ответ:56.3)Ответ: xarctgx −)()()31arctg 2 x − ln 1 + x 2 + C .22Ответ: 2 xarctgx +⎛ 2 + x2− 1 − x 2 ⎜⎜⎝ 3()1arctg 2 x − ln 1 + x 2 + C .2⎞6x + x3⎟⎟ arccos x −+ C ( x < 1) .9⎠x 4 arctgx∫ 1 + x 2 dx .Ответ:57.((dx .53.)349.∫x + arctg 2 xОтвет:(x + arccos 2 x51.179∫⎞arctg 2 x ⎛ x 3x2 2+ ⎜⎜ − x ⎟⎟arctgx −+ ln (1 + x 2 ) + C .6323⎠⎝⎛ 2x ⎞arctg ⎜⎜ e ⎟⎟⎝ ⎠ dx .x2(e 1+ ex)2⎛ x⎞ ⎛⎛ x ⎞⎞Ответ: − 2e arctg ⎜ e 2 ⎟ − ⎜ arctg ⎜ e 2 ⎟ ⎟ + x − ln (1 + e x ) + C .⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠⎠−x2СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫУчебное издание1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу./СПб: Мифрил, 1995. –489с.2. Фихтенгольц Г.М.
Курс дифференциального и интегрального исчисления/М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит-ры. Том 2. – 1969, 800 с., ил.3. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения поматематическому анализу. В 2 кн. Кн.1. Дифференциальное и интегральноеисчисление функций одной переменной. Учеб. пособие для университетов,пед. вузов./ Под ред. Садовничего В.А. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. шк.2000.
– 725 с.: ил.4. Ильин В.А.., Садовничий В.А.., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. /Под ред. Тихонова А.Н.. – 2-е изд., – М.: Изд-во МГУ, 1985.– 662 с.5. Математический анализ в вопросах и задачах: Учеб. пособие/ Бутузов В.Ф.,ХОРОШИЛОВА Елена ВладимировнаМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ(в помощь практическим занятиям)Учебное пособиедля студентов университетовКрутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Под ред. Бутузова В.Ф.―4-еизд., исп.
― М.: Физ.-мат. лит-ра, 2001. ― 480 с.6. Справочное пособие по математическому анализу. Часть 1./ Ляшко И.И.,Боярчук А.К., Гай Я.Г. и др. – Киев: Вища школа, 1978. – 696 с.7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1/ Учеб. пособие для втузов. –5-е изд., исп. – М.:Высш. шк., 1997. – 304 с.8. Гусак А.А. Справочное пособие по решению задач: математический анализ идифференциальные уравнения./ Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.9. Математика. Большой энциклопедический словарь. /Под ред. ПрохороваЮ.В. – 3-е изд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
