Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675), страница 15
Текст из файла (страница 15)
∫ x 1 − x dx .Ответ: − (1 − x ) + C ( x ≤ 1) .3Ответ:25.⎛⎞1 + x − x 2 dx ⎜ 1 − 5 ≤ x ≤ 1 + 5 ⎟ .⎜⎟∫ (1 − 3x )⎝(Ответ: 1 + x − x∫ (x + 1))32 222⎠1⎛1⎞52x − 1− ⎜ x − ⎟ 1+ x − x2 −+C.arcsin4⎝2⎠165x 2 + 4 x + 1dx .Ответ:311 2(x + 4 x + 1)2 − ( x + 2) x 2 + 4 x + 1 +32( ())3+ ln x + 2 + x 2 + 4 x + 1 + C x ∉ − 2 − 3 ,−2 + 3 .2x 2 + 2 x + C (x ∉ [− 2,0]) .ln x − 1 + x − 2 x + 3 + C .x−2+ C (x ∈ (− 1,5)) .3dx .Ответ:(x > 0) .231arctg∫Ответ: 3 x 2 + x + 2 +26.) (1 −2.x +1(x ≠ ±1) .x −14 4 x −1+ C (x ∉ [− 2,1]) .3 x+2Ответ:x3 x.2.3dx .Ответ: − 5 − x + 4 x + 5 + 13 arcsin1 t2 + t +12t + 1+ 3arctg+C,ln22(t − 1)3где t =14.5x + 3∫x313.∫11327.∫x 2 dxx2 + x +1.Ответ:2x − 3 21 ⎛1⎞x + x + 1 − ln⎜ + x + x 2 + x + 1 ⎟ + C .48 ⎝2⎠Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл11428.dx∫x2x 2 − 2x − 1.36.Ответ: − arcsin29.∫ (x + 2)30.∫ (x + 1)31.∫ (x − 1)2dx32.33.34.∫x∫x∫3− x 2 + 4x∫ x⋅2x2 + x +1+ 1 ln 1 + 1 + x + x + 1 + C ( x ≠ 1) .3( x − 1)2 3 x −1 23 ( x − 1)39.∫340.∫341.∫1 1+ x2 +1x +1 + ln+ C (x ≠ 0) .2x1Ответ: −2x 2( x > 1) .42.dx .∫∫xОтвет: − ⎜43.∫xx 2 + 2x + 2dx .x44.∫Ответ:()x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 +2 x + 2 −− 2 lnx + 2 + 2(x 2 +2 x + 2 )+ C (x ≠ 0) .x))2 ,1 + 2 .19 + 5 x + 2 x 21− x1 + 2 x − x 2 − 4 arcsin+C.62(Ответ: 2 1 + 3 xdx .)3+ C (x ≥ −1; x ≠ 0 ) .(x ≠ −1;0) .1 + x53115(t − 1) + 3 arctg 2t + 1 + C , где t = 3 1 + x 5 .1ln 2Ответ:10 t + t + 1 53dx3.Ответ: −+ C (x > 0) .23x +1x2 1+ xdx.Ответ: 3arctg 3 x + C ( x ≠ 0 ) .232x 1+ xdx14.Ответ: −++ C (x > 0) .1089444x x +12 x +19 x +1222x 2 + 1 2Ответ:x −1 + C3x 3x2dx3.x−2⎛x⎞+ 5 ⎟ − x 2 + 4 x + 13 arcsin+ C (x ∈ (0,4 )) .2⎝2⎠35.1+ 3 x38.Ответ: − ln.x 2 −1x 2 + 2x + 34Ответ: −1− x + 2 x2 + x +1+ C ( x ≠ −1) .x +1.x2 + x +1x +1dx2⎛⎡1 − 3 1 + 3 ⎤ ⎞,+C ⎜x∉⎢⎥ ⎟⎟ .⎜22x 3⎦⎠⎣⎝Ответ:x + x +1dx.1 + 2x − x 2∫.2dx∫x +1x+ C (x ∉ [− 2,0]) .x+2(x ∈ (1 −x 3 dx37.x 2 + 2xdxОтвет: −§4.
Интегрирование иррациональных функций())(()dx41+ xdx1 + x32((2 xОтвет:.1Ответ: ln3.x +1 − x −1x +1 + x −1∫1 + x2 + 1 −x21− x4(2))−1 1+ x2+ C (x ≠ 0) .3x 3( 1 + x − 1)23x3+ C (x > −1; x ≠ 0 ) .dx .Ответ:45.)1⎛ 2⎜ x − x x 2 − 1 + ln x + x 2 − 1 ⎞⎟ + C (x ≥ 1) .⎠2⎝dx .(Ответ: arcsin x + ln x + 1 + x2)+ C ( x < 1) .Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл11646.47.∫xdx(x ≥ −2) .x+2 + x+35353242Ответ: − ( x + 2 ) 2 + ( x + 2 ) 2 + ( x + 3) 2 − 2( x + 3) 2 + C .5352x dxx ∈ 1 − 3 ,1 + 3 .Ответ:4 − 2x + x 2 2 + 2x − x 2∫(( ()arcsin48.§4. Интегрирование иррациональных функцийx −13−41+ x22∫ (x50.∫(2 1+ x(x + 1)dx2+2.)14 21+ x + x 22ln+ C (x ≠ ±1) .1+ x − x 22( x − 1)2Ответ:+ x +1 x2 + x +13 x2 + x +1⎛⎞xdx⎡⎤⎜ x ∉ ⎢1 − 5 , 1 + 5 ⎥; x ≠ −1⎟ .⎟2 ⎦x 2 − 1 x 2 − x − 1 ⎜⎝⎣ 2⎠2+C.)Ответ:51.∫ x+dx52.∫1+dx113x + 1 − 2 x 2 − x − 1x−3arcsin− ln+C.2x +1x −1 5 2.x2 + x +1t4312Ответ:+ ln+ C , где t = x + x + x + 1 (x ≠ −1) .2(2t + 1) 2 2t + 1 31 − 2x − x 2[( x ∈ −1−x2 − x − 2(x ∉ (− 1,2); x ≠ −2) .− 2 ln54.]2 ,−1 + 2 ).1 + 1 − 2x − x 2t −1− 2arctgt + C , где t =.Ответ: lnxt55.x2 − x − 2 −15− +x+2 851ln x − + x 2 − x − 2 −221(x + 2)2−51+ +C.4( x + 2) 4dx∫ (1 + x(1 + x ) ) (x ∉ (− 1,0)) .2Ответ:xdxОтвет: x − 2 ln x + 2 +.Ответ:49.∫ x−))22 + 2x − x6 + 2 + 2x − x1−arctg+C.ln3(1 − x ) 266 − 2 + 2x − x 2dx∫ (1 − x )53.117∫2(3 − 4t )25 + 1 + 2t+ln+ C , где t = − x + x(1 + x ) .251− t − t5 55 − 1 − 2t()x 4 − 5x 3 + 6 x − 7dx .x 2 + 2x + 353⎛1 3 9 2 9⎞ 2ln x + 1 +Ответ: ⎜ x − x + x + 6 ⎟ x + 2 x + 3 −422⎝4⎠+ x 2 + 2 x + 3 + C (x ≠ −1) .§5.
Интегрирование тригонометрических функций§ 5.промежутках,ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙнесодержащихточеквидаπ + 2πn ,119гдеn∈Z(− π + 2πn < x < π + 2πn) . В дальнейшем это подразумевается. К недос-таткам этого подхода можно отнести тот факт, что универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям. В частности, этимметодом можно вычислять интегралы видаdx∫ a sin x + b cos x + c .Пример 1.При интегрировании тригонометрических функций наряду с алгебраическими преобразованиями эффективно используются всевозможные тригонометрические преобразования. Все интегралы вычисляются на промежуткахобласти определения, где подынтегральные функции определены и непрерывны.В простейших случаях интегралы вычисляются непосредственным сведением их к табличным.
Но в большинстве случаев надо знать подходы и осознанно применять их там, где нужно. Рассмотрим отдельные классы интегралов от тригонометрических функций и общие рекомендации по их вычислению.2dt2dtdtdx=∫ 2=∫=Решение. ∫= ∫ 1+ t22tt + t +1sin x + 213⎛⎞+2⎜t + ⎟ +1+ t24⎝ 2⎠22t + 1x=arctg+ C , где t = tg .233Пример 2.5.1. Интегралы вида∫ R(sin x, cos x )dxЗдесь, как и прежде, под R понимается рациональная функция своих аргументов. Это достаточно широкий класс интегралов, если учесть, что tgx иctgx также выражаются через синус и косинус. Интегралы данного вида вычисляются следующими методами.5.1.1. Метод универсальной подстановкиИнтегралы∫ R(sin x, cos x )dx приводятся к интегралам от рациональныхфункций с помощью универсальной тригонометрической подстановки1− t2x2t(или t = ctg ).
Тогда sin x =, cos x =,21+ t21+ t 22dt, и далее интегралы вычисляются соответствуюx = 2arctgt , dx =1+ t2dx∫ sin x + 2 .cos xdx∫ sin x(1 − cos x ) .Решение. Положим t = tgx, тогда приходим к интегралу21 − t 2 2tdt⋅21 + t 2 1 + t 2 = 1 1 − t dt = 1 ⎛⎜ dt − dt ⎞⎟ =∫ 2t ⎛ 1 − t 2 ⎞ 2 ∫ t 22 ⎝∫ t2 ∫ ⎠⎜⎟−11 + t 2 ⎜⎝ 1 + t 2 ⎟⎠1 t1x 1 x= − − + C = − ctg − tg + C .2t 222 2 2xt = tg2В некоторых случаях вычисление интегралов данного типа может бытьупрощено за счёт выбора других, более удачных, подстановок.щими методами интегрирования рациональных дробей.
Обратим ещё разR(− sin x, cos x ) = − R(sin x, cos x )Если подынтегральная функция нечётна относительно sin x , т.е. при всехx из области интегрирования верно R(− sin x, cos x ) = − R(sin x, cos x )то интеграл рационализируется с помощью подстановки t = cos x .внимание на то, что применение подстановки t = tgxвозможно только на25.1.2.
Случай, когдаХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл120§5. Интегрирование тригонометрических функций∫Пример 1. tgxdx .5.1.3. Случай, когдаsin xdxd (cos x )= −∫= − ln cos x + C ,cos xcos xπ⎛⎞+ πn, n ∈ Z ⎟ .где ⎜ x ≠2⎝⎠sin x + sin 3 x dx ⎛π πn⎞Пример 2. ∫⎜ x ≠ + ,n∈ Z ⎟.4 2cos 2 x⎝⎠Решение.(((то рекомендуется подстановка)sin x 1 + sin 2 xне1 − 2 sin 2 xчётна относительно sin x , сделаем рекомендуемую подстановку t = cos x .22Тогда sin x = 1 − t , − sin xdx = dt , и получаем1 3t2 − −2 − cos 2 x (− d cos x )t 2 − 2 dt2 2 dt = t −=∫=∫22∫1⎞22 cos x − 12t − 1⎛2⎜ t 2 − ⎟2⎠⎝11t−cos x −cosx33dtt22− 3 lnln− ∫= −+C =+C .124 2 1 2 4 2142t −t+cos x +222()()нечётна относительноПример 1.∫(cost = sin x .sin x ,− 2tdt1 udutdt= −1∫+=− ∫ 2∫ ⎛229⎞2 u −42 ⎛ 3⎞4⎜ t + 3t + ⎟ − 16⎜t + ⎟ − 44⎠⎝⎝ 2⎠12cos x −du33312 +C.+ ∫ 2= − ln ⎛⎜ cos x + ⎞⎟ − 4 + ln74 u −44 ⎝2⎠16cos x +2)x + cos 5 x dx.sin 2 x + sin 4 x3Решение. Поскольку подынтегральная функция(cos2)x + cos 4 x cos x(1 − cos x + 1 − cos 2 x2x , то положимнечётна относительно косинуса)2t = sin x .
Получим интеграл (x ≠ πn, n ∈ Z ) :∫(1 − t )(2 − t )dt =22t2 + t426 ⎞2⎛= ∫ ⎜1 + 2 −dt = sin x −− 6arctg (sin x ) + C .2 ⎟sin x1+ t ⎠⎝ tcos xdxПример 2. ∫.4cos x + sin 4 x + 2 sin 2 x + 1Решение. Замечая, что подынтегральная функция нечётна относительнокосинуса, положим t = sin x :∫ (1 − sin x )2sin 2 xdxπ⎛⎞Пример 3. ∫⎜ x ≠ ± + 2πn, n ∈ Z ⎟ .234 cos x + 12 cos x − 7 ⎝⎠Решение. Так как подынтегральная функция нечётна относительното сделаем подстановку t = cos x . Тогда получаем интеграл)R(sin x,− cos x ) = − R(sin x, cos x ) ,)Решение. Заметив, что подынтегральная функцияR(sin x,− cos x ) = − R(sin x, cos x )Если подынтегральная функция R sin x, cos xcos x , т.е. при всех допустимых x верно равенство∫ tgxdx = ∫121=d (sin x )2+ sin 4 x + 2 sin 2 x + 1=t+ 2t− 211dt1=dt −dt =4∫∫∫222 t +1 4 2 t + t 2 +14 2 t − t 2 +11sin 2 x + 2 sin x + 1=+ln8 2 sin 2 x − 2 sin x + 11+arctg 2 sin x + 1 + arctg 2 sin x − 1 + C .4 2((5.1.4. Случай, когда)())R(− sin x,− cos x ) = R(sin x, cos x )()Если подынтегральная функция R sin x, cos x чётна относительно синуса и косинуса, т.е.
при всех допустимых x выполняется тождествоХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл122§5. Интегрирование тригонометрических функцийR(− sin x,− cos x ) = R(sin x, cos x ) , то к цели приводит подстановкаππt = tgx , − + πn < x < + πn (или t = ctgx , πn < x < π + πn ), где22t1n ∈ Z .
При этом sin x =, cos x =, x = arctgt ,1+ t 21+ t2dt. В частности, этим способом можно вычислять тригонометричеdx =1+ t2dx.ские интегралы вида ∫2a sin x + b sin x ⋅ cos x + c cos 2 x∫ tgПример 1.2xdx .Решение. Поделив одновременно числитель и знаменатель дроби наcos x , приходим к интегралу (tgx ≠ −1) :sin xdxtgxd (tgx )cos x∫ ⎛ sin x ⎞ ⋅ cos 2 x = ∫ 1 + tgx = − ln 1 + tgx + tgx + C .+ 1⎟⎜⎝ cos x ⎠Замечание. Любое рациональное выражение R(u , v ) аргументов u и vвсегда можно представить в виде суммы трёх выражений, рассмотренных впунктах 5.1.1–5.1.3:R(u, v ) = R (u , v ) − R (− u , v ) + R (− u , v ) − R (− u ,−v ) + R (− u ,−v ) + R (u , v )2илиtg 2 xdxРешение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
