Феодосьев В.И. - Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов (1113498), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Следовательно, Р„р —— 20,00 «, Величина критической следящей силы зависит от распределения масс Рис. 82, по длине стержня. Чтобы обойти вычислительные трудности, рассмотрим упрощенную стержневую систему, показанную на рис. 82. Два стержня, имеющих массы т,, и т,„, связаны между собой пружиной жесткости С. Такая же прун«ина связывает нижний стержень с шарнирной опорой. Линия действия силы Р постоянно совпадает с направлением верхнего стержня. За обобщенные координаты причем углы поворота стержней «р, и «в,.
Тогда перемещения центра масс каждого стержня будут х1 = йр1 х2 = 2 йр1 + ««р2 '«') Коэффициент 20,05 был найден Бекком ~ХЬсЬт. аппеъ. Ма«п. Р1туа. 3 (1952), Л' 3. Позже К. С. Дейнеко и М. Я. Леоновым (ПММ 19, 1955, № 6) было получено значение 2,0028л'=19,77. В связи с обпаруженныи расхождением ре«поппе было повторено. Действительное значение коэффициента оказалось равным 20,051. Значение «о=11,016. где 21 — длина каждого стержня.
Моменты инерции стержней относительно центральных поперечных осей будут т1Р У,= У = —. т Р з Введя силы взаимодействия в шарнире (рис. 83), составим уравнения движения. Получим для верхнего стержня г =Р; Х=Рср,+т,х,; 2срЯ + $ 31 + (ср2 ср1) = 0$ (3) 'а для нижнего СЧ'1 +.~1ср1 — С(ЧЪ вЂ” р,) + Х 21+ + т,х,1 — У'Бср, = О. (4) Исключив х„х„Х и У и выразив моменты инерции через массы, получим —,т,,Рср, + 2т,Рср, + С (ср, — ср,) = О; + (2С вЂ” 2Р~)ср, + +(2Рг — С) р2=О. (5) Рис. 83, Положим, что ср, = А е~с; ср, = А,е~~. После подстановки ср, и а в уравнения (5) получаем два уравнения относительно А, и А,: А, (2т,,РР— С) + Л, —,~и.,РР+ С = О; А, 4т.,/Ч'+ —,т,Р/Р + 2С вЂ” 2Р/ + + А, (2т.,И~ + 2Р1 — С) = О.
Для определения условия существования ненулевых решений приравняем нулю определитель. 3то дает следующее квадратное уравнение относительно Й'. ~$ = — — ° П2~ Свободный член уравнения (7) не зависит от силы Р. Зто означает, что не существует такой нагрузки, при которои й обращалось бы в нуль, позтому из выражений (6) вытекает, что ~, и ~, не могут быть постоянными. Системане имеет форм равновесия, кроме исходной, при которой ~р и ~, равны нул|о. Рассматриваемая стержневая система обладает тем же свойством, что и защемленный стержень, нагруженный следящей силой.
Из уравнения (7) нетрудно также установить, что величина Й' при любой силе Р остается меньше нуля. Это означает, что Й не имеет веществеиных значений, и условия для апериодического движения отсутству|от. Примем, что и найдем условие, при котором е будет величиной положительной. Это соответствует условиям возникновения колебательного движения с возрастающей амплитудой. Разделяя в уравнении (7) вещественную и мнимую части, получим 1(е' — а')' — 4з'еР) (3+ 4р) ~- + 3 (е — в ) ~8 -~- ~ — 5 ,2 2 Р1~ 9 С,) 4 4аи (е' — и') ~3+ 4р)-~-2еи З (8~ ~ Исключив в, получим Р1 9 8+Р,— 5— е' 4 (3+ 4р) + е' 6 8 + р — 5— откуда Наименьшее значение Р, при котором е' (а следовательно, и е) принимает положительное значение, будет 5 3.
Д. Феодосьев Теперь свободный член этого уравнения зависит ою силы и при 41 ( -~-~ обращается в нуль. Следовательно, для й возможно существование нулевых значений, и существует форма равновесия, отличная от исходной. Для критической силы получим выражение Р— 4~ ( Таким образом, величина критической силы от соотношения масс стержней не зависит, так как параметр р.. в свободный член уравнений (7) илн (8) не входит и не может войти. Два рассмотренных варианта одной и той же задачи создают впечатление, что характерным признаком применимости или неприменимости критерия Эйлера — Лагранжа является сохранение или несохранение силами заданного направления. Б действительности дело обстоит сложнее.
В предыдущей главе был рассмотрен ряд примеров, в которых изменение направления приложенных сил в процессе искривления стержня не влекло за собой необходимости перехода Рис. 85. к динамическому критерию. Мало того, имеется много примеров, по внешнему виду почти не отличающихся от рассмотренного случая со следящей силой. Тем не менее, возможность применения статического подхода в этих задачах полностью сохраняется. На рис. 85 показана стержневая система, нагруженная двумя следящими силами. Если каждый стержень повернулся на угол ~р, происходит движение с ускорением.
Равнодействующие инерционных сил будут приложены в центрах масс и имеют величину Р~р. фФ 5' 18~ Приравнивая нулю сумму моментов сил, действующих на один стержень, относительно шарнира, получаем Р~а=С 2~, откуда 2С р кр а Таким образом, имеем форму равновесия в связанной системе координат. Любопытно, что критическая сила при Р М=Пр атом зависит не от длины стержней, а от места расположе- ния центра масс стержней, т. е.
от величины а. При силах, сохраняющих свое направление (рис. 86), расположение центра масс не имело бы значения, В атом Рр случае, очевидно, '7= т В результате получаем дифференциальное уравнение ЕУу'~'+ Ру" = — ~ со следующими граничными условиями. у"=0 и р" =О, у =0 и у =О. при х=О нри х=~ 132 ' Рис. 87. Очень интересен пример, предложенный Л. И.
Балабухом. Однородный стержень нагружен двумя следящими силами (рис. 87). Как и для системы, показанной на рис, 85, имеем равноускоренное поступательное движение, в результате которого возникает инерционная равномерно распределенная нагрузка дифференцируя два раза уравнение (9) по х и обозначая у" через з, получим уравнение Ы~' +Р~"=0 с гр аничныыи усл о в иямп! при х=О при х=1 и з' =-О, и з' ~ О. Следовательно, критическая сила будет такой же, как и для стержня, защемленного по концам (рис. 88). Для рассмотренной симметричной формы Ц р р Я 4д2Г3 3 к,) — 11 Рис. 88 Понятно, что зтот результат вереи лишь в случае, если правая часть уравнения (9) будет либо константой, либо линейной функцией х, т. е.
если масса стержня распределена по его длине равномерно или же по линейному закону. Несколько более сложной является задача об устойчивости свободного стержня, находящегося под действием тяги ракетного двигателя (рис. 89). Здесь нри равно- х мерном распределении р масс не существует форм ~~ 3 равновесия в связанной системе координат. При силе 109,7.Е7 12 ~,ЯТ возникают колебания с нарастающей амплитудой. --~ 1/ ' г ф Вывод етого выражения достаточно сложен и здесь Рис. 89.
Рис, 90. мы его не приводим. При неравномерном распределении масс, например, нри массах, сосредоточенных по концам стержня (рис. 90, и), имеет место иная картипа. Здесь задача сводится к обычной статической. Уравновешиваем силу Р двумя силами Р/2, приложенными к каждой массе, и вводим еще пару инерционных сил Р1/21, возникающих при равно- ускоренном вращательном движении. В результате получаем систему сил, удовлетворяющую условиям равновесия (рис. 90, б). Далее легко определяется условие возникновения криволинейной формы равновесия стержня в связанной системе координат.
Очевидно, это будет при Р л'Е1 — 2~ 2 Р Ср Аналогичная картина имеет место И и для модели, состоящей из двух однородных стержней, соединенных пружиной (рис. 91). Здесь момент Р ; сил — Ьу уравновешивается момен- 2 том сил, распределенных по треугольнику. Далее, приравнив ая сумму моментов сил, действующих на один стержень, моменту пружины, получаем 4С Р ~~р ~ ° Таким образом, и при следящих силах задача об устойчивости в целом ряде случаев сводится к обычному анализу форм равновесия. Очень интересны в этом смысле случаи нагружения упругих систем моментами. Так, например, устойчивость плоской формы изгиба защемленной одним концом полосы (рис.
92) при внешнем моменте, сохраняющем плоскость своего действия, а также и для следящего, требует динамического подхода. Форм равновесия, от- 1~ н личных от исходнои, полоса не имеет. Стержень (рис. 93), имею- щий одинаковые жесткости на изгиб в плоскостях ху и хз и загруженный на конце силой Р и моментом М, соответственно сохраняющими направление и плоскость действия, не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной. То же самое будет и для случая следящего момента (рис. 94), Лишь при усло- вии М=О обнаруживается существование форм равнове- сия стержня с изогнутой осью. Если же жесткости стержня на изгиб в плоскостях ку и тз различны, то в зависимости от величин момента М и силы Р возможен переход либо к новой форме равновесия, либо к некоторой форме движения периодического Р Ю характера с нарастающей амплитудой.
В Задача определения Ф условий движения, естественно, много сложнее, чем задача отыскания форм равновесия, Возникает вопрос, всегда ли для того, Л чтобы избежать ошибок, необходимо прибегать к У громоздкому динамическо- Рис. 93. Рис. 91. му критерию? Нельзя ли найти признаки, которые позволили бы еще до реше- ния задачи уверенно ориентироваться в особенностях системы? Здесь известно пока одно.
Режим колебаний с нарастаю- щей амплитудой может развиваться лишь в результате того, что работа внешних сил за один цикл не равна нулю. Зто означает, что она зависит от пути, а сами силы не имеют потенциала, Такие силы называются неконсервативными. Так, ' б)~ в частности, если переход стержня (рис. 95) из положения а) в положение 6) произведен простым поворотом торца, следящая сила совершит одну работу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
