Феодосьев В.И. - Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов (1113498), страница 20
Текст из файла (страница 20)
69) ЕУу" = — Р~ — Рц (1 — х). Далее получаем р = А яп Йх + В сов Йх — с~ (1 — х) ц затем путем обычных операций приходим к уравнению И ф~И= — 1, откуда Нж 2,8, и 7,84Е.7 Р ир ~2 Перейдем, наконец, к последнему из примеров: к нагружению защемленного стержня силой Р, создаваемой ракетным двигателем. Эта сила при изгибе стержня будет, очевидно, следить за нормалью к торцевому сечению. Дифференциальное уравнение упругой линии будет (рис. 70) Ергу" = Р (~ — г1) — Рср (1 — х), откуда у = А в1п 1сх + В сов Лх + / — ср (1 — х).
Для определения констант А, В, / и ср имеем следующие граничные условия: при х=О у=О и у'=О, при х =1 у =1, у'=(р. Для выполнения этих условий получаем четыре уравнения ~ В+1 ~1=0; АЬ+ р=о; А в1п И+В соя И = 0; Ай сов Ы вЂ” ВЪ в1п Ы = О. Определитель атой системы при ненулевых значениях й и, соответственно, при ненулевых значениях Р в нуль не обращается. Следовательно, стержень не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной. По Эйлеру — ' Лагранжу зто означает, что система устойчива при любых значениях силы Р.
Однако более углубленный анализ показывает, что начиная с некоторого значения силы Р существует движение стержня с нарастающей амплитудой колебаний. Таким образом, происходит переход не к новой форме равновесия„а к некоторой форме движения, а величина критической силы оказывается зависящей не только от длины стержня и его жесткости, но и от закона распределения масс. Естественно, что исследование возможных форм движения выходит за рамки расчетной схемы Эйлера — Лагранжа.
Это самостоятельная теория устойчивости движения, основные положения которой тесно связаны с именем А. М. Ляпунова. К этому вопросу мы еще вернемся в дальнейшем. Примеры, иллюстрирующие различное поведение системы в зависимости от характера поведения внешних сил, можно продолжить. Очень интересной в этом смысле является задача об устойчивости кольца, сжатого радиальными силами (рис. 71). Бо всех руководствах и справочниках приводится следующее значение критической нагрузки: ЗЕУ Я иэ п ~ 4+ю Рвс. 7'>. Рис. 74. Рассмотрим эту задачу более подробно.
Обозначим через и~ радиальное перемещение точек, принадлежащих кольцевому контуру. Изменение кривизны кольца будет Д2ц> ц~ Х= — + — В Д~З Д2 ' Эта величина пропорциональна изгибающему моменту М, т. е. М ЕУх. Для элемента кольца (рис. 72) легко составить уравнения равновесия: д» ~у~ 0 * ~ о~ ~ + о л > у~ д >» Л НЛХ 0=— » >8 / где д„' и о» вЂ” нормальная и касательная составляющие нагрузки, а Л1 есть местный радиус кривизны деформированного кольца, определяемый из соотношения 1 $ — = — — Х Л, Л В докритическом состоянии д~ — — О, д„'=д. Нормальная сила в докритическом состоянии У~=уй. Что касается М И4 Однако далеко не всем известно, что зто выражение справедливо лишь для случая нагружения кольца «следящим» давлением, т.
е. силами, постоянно направленными по нормали к изогнутой линии кольца. При ином поведении сил критическая нагрузка будет иной. и (~, то зти величины в докритпческом состоянии равны нулю. Введем обозначения уз' = д.й + у; д'„= д -',— 7, Дополнительные слагаемые Л' и о„являются малыми, поскольку малы перемещения и малы все изменения, связанные с переходом к новому состоянию равновесия. Подставляя выражения Л'~, д,', и п1 в уравнения равновесия и удерживая лишь первые степени х, Л', ~ и .М, получаем д„+ — — — +дпк=О; — „+д,+ — =О. Исключаем Ь', И и (3: Поведение внешних сил при изгибе кольца учитывается двумя последними слагаемыми. Предположим, что кольцо нагружено давлением, следящим за нормалью к поверхности.
Тогда Ч„=Ч,=О Е~ ~~з ~~ Ф+ ур,р. = О' Полагая пз и= А з1п— Л' находим рз,./ Е,/ ~ ц .— ~'~ — ~ д~+ —.~ ~=О Лз ~ Л>( д откуда (д2 Ц Е~ дз Наименьшее ненулевое значение величина о принимает цри и=2. В результате получаем приведенное ранее значение критической нагрузки ЗЫ Чкр у з Рассмотрим теперь другой способ создания нагрузки д. Пусть кольцо нагружено радиальными усилиями, создаваемыми при помощи множества упругих резиновых тросов, собранных в центре в узел (рис. 73).
В атом случае нагрузка д следит за центром кольца. При повороте элемента дуги п8 образуется составл яющая касательной на- грузки Йп 71=Ч Если нити достаточно податливы или если каждая из них натягивается самостоятельно, то при возникновении перемещений и нормальная впегпппх сил меняться не будет, следова- Рвс 73 составляющая тельно, д„=О. Уравнение Д) и ринимаез вид Полагая ПЗ в= А в1п— и пол учаем (и' — 1)'-' Е3 (и~ — 2) й~ При ц=2 где К вЂ” коэффициент жесткости нитей, ~1Ь т. е. теперь критическая нагрузка в 1,5 раза вьтп~е. чсм и ри гидростатическом нагруженни.
Если нити натягиваются общим грузом, то при изгибе кольца происходит перераспределение усилий, В области положительных и нити дополнительно растягиваются, а в области отрицательных — укорачиваются. Возникает изменение нормальной составляющей д„. Тогда в уравнение (1) войде~ дополнительный член ~и В результате получим Таким образом, увеличение жесткости нитей К приводит к повышению критической нагрузки. Это и понятно. Образующиеся дополнительные усилия направлены так, что восстанавливают круговую Р форму кольца. Низшее критическое значение д достигается, вообще говоря, уже не при п=2, а при некотором,[ругом целочисленном гг, зависящем от величины К, Интересен случай нагружения г ~ с кольца усилиями, передаваемыми через охватывагощую нить(рис.
74). В этом случае нз поверхность Рис. 74. кольца действует распределенная нагрузка, интенсивность которой в каждой точке пропор- ' циональна местной кривизне Поэтому Р Но так как — =д, то следова1ельно, Уравнение ~1) приннмзез внд ,уз> — + — — =О, ~уЗ Д2 ~~ Параметры нагрузки в него не входят. Следовательно, заданная система сил не может рассматриваться как причина возникновения новых форм равновесия. Уравнение имеет тот же вид, что и в случае полного отсутствия распределенных по поверхности сил, Оно выражает форму равновесия отрезка упругой линии кольца при заданных силовых и геометрических условиях на концах.
Для замкнутого кольца новых форм равновесия не обнаруживается. 117 Таким образом, из расчетной схемы Эйлера — Лагранжа вытекает, что кольцо устойчиво при любых значениях сил Р, Мы снова сталкиваемся со случаем, физическое содержание которого не вписывается в класси геску1о схему. Дело здесь уже не в динамике. Камнем преткновения оказалось предположение о малости возмущений, налагаемых на систему. Действительно, устойчивость или неустойчивость состояния равновесия определяется «методической» пробой. Системе сообщается не только малое, но сколь угодно малое отклонение от положения равновесия, и суждение об устойчивости выносится в зависимости от последующего поведения системы. Если система возвращается к исходному состоянию, то равновесие считается устойчивым.
Однако система„способная восстановить исходное состояние при сколь угодно малом отклонении, может не проявить этого свойства, если ее отклонить сильнее, т. е. если сообщить ей не сколь угодно малое отклонение, а малое, но большее некоторой наперед заданной величины. Хороп ей механической аналогией, иллюстрирующей сказанное, является следующая: карандаш поставлен на стол острием вверх. Площадь опоры мала, а карандаш длинный.
Устойчива система или неустойчива? Для ответа на этот вопрос нелишне вернуться к исходпому определению. Под устойчивостью понимается свойство конструкции сохранять свое состояние при реально существующих внешних воздействиях. Отвлекаясь на время от расчетных схем и теоретических концепций, можно с позиций «здравого смысла» сразу дать ответ, что система неустойчпва, и лучшим подтверждением этому является то, что карандаши на письменных столах в столь причудливом состоянии не хранятся. Теперь перейдем к расчетной схеме. Правильной расчетной схемой будет такая, которая, описывая качественную сторону явления, дает основу для количественной оценки устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
