Феодосьев В.И. - Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов (1113498), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Классический подход в данном случае этим условиям не удовлетворяет. Действительно, сообщая карандашу сколь угодно малое отклонение от вертикали, мы убеждаемся в том, что оп восстанавливает свое исходное состояние. Следовательно, его положение равновесия устойчиво, Мало того, оставаясь на позициях сохранения сколь угодно малых отклонений, мы должны признать, что равдовесие будет всегда устой- чивым, независимо от того, сколь длинным будет карандаш и сколь малой будет опорная площадка.
Классический подход, как видим, не дает верного описания явления. Вывод о том, устойчива система или не устойчива, будет совершенно иным, если на сообщаемые возмущения установить некоторую норму. При небольших возмущениях система сохраняет свое состояние, при больших — не сохраняет. В одних условиях она может рассматриваться как устойчивая, а в других — как неустойчивая. Например, сооружение из трех поставленных друг на друга табуреток можно считать устойчпвым, если сверху ставится модель в классе для рисования.
Это же сооружение будет рассматриваться как неустойчивое, если при его помощи необходимо сменить в люстре перегоревшую лампочку, На основе высказанных соображений возникает мысль несколько расширить возможности классического подхода и, отказавшись от наложения сколь угодно малых перемещений, производить «методическую» пробу, сообщая системе малые, но конечные возмущения. Так появился критерий устойчивости «в большом», получивший такое название в отличие от обычного определения устойчивости «в малом». Подробнее на этом вопросе мы Р Р, остановимся в следующей главе, а сейчас вернемся к последней задаче об устойчивости кольца.
При передаче усилия через натянутую нить кольцо оказывается в условиях, совершенно аналогичных условиям равновесия карандаша, стоящего на Ряс. 75. незаточепном конце. Если кольцу сообщить малое отклонение от круговой формы, то нагрузка изменится таким образом, что кольцо восстановит эту форму. Вместе с тем, если кольцу сообщить возмущение малое, но большее некоторой наперед заданной величины, то произойдет переход к новой форме рав-. новесия (рис. 75).
Чем больше сила Р, тем меньше возмущение, необходимое для перехода кольца к новому состоянию. Но во всех случаях это возмущение должно быть больше некоторой величины, зависящей от силы Р, Если сравнивать равновесие кольца с равновесием карандаша, то можно сказать, что возрастание силы Р в первой задаче аналогично уменьшению опорной площадки во второй. Мы рассмотрели несколько примеров различного поведения внешних сил при изменении формы нагруженного объекта.
Как видим, в зависимости от этого поведения критическая сила меняется очень существенно, и в ряде случаев оказывается, что там, где можно ожидать потери устойчивости, ее на самом деле не возникает. 6" ю' Рис. 77. Рвс. 76, Существуют и обратные примеры. Бывает, что силы на первый взгляд носят безобидный характер, а иногда даже и вовсе «отсутствуют», и, тем не менее, при определепных условиях исходная форма равновесия становится неустойчивой. Наиболее показательными в этом смысле являются примеры передачи усилий на стержень через жидкость или газ. На рис.
76 представлень1 три случая нагружения трубки- стержня внутренним давлением. Во всех случаях сам стержень от действия осевой силы освобожден Однако прп отклонении от вертикали в его сечениях возникают моменты, пропорциональные прогибу, как это имеет месго и при обычном нагружении. В случае а) внутренняя полость трубки заполнена тяжелой жидкостью. Естественно, что критическое состояние здесь наступает в тех же условиях, что и для стержня, находящегося под действием собственного веса, равного сумме весов стержня и жидкости.
В этом легко убедиться, рассматривая стержень в отклоненном положении ~рис. 77, а), В случае, иоказанном на рис. 77, б, уравнение упругой линии изогнутого стержня составляется так же, как и при обычном нагружении осевой силой., и мы получаем: КУу" = — Ру. Поэтому, как обычно, к-'ЕУ Р и Дифференциальное уравнение упругой линии может быть составлено и иначе. Силы дав- Ф ления, действующие во внутрен- (ф~ ней полости изогнутого стержня, Рис. 78.
создают распределенную нагрузку, направленную в сторону выпуклости (рпс. 78). Иа участке длиной Ых зта сила будет равна р~"~йр, где Г* — площадь сечения трубки «в свету». Погонная нагр5 зка равна Р~'~ "'0 Р~~~У~~ Тогда дифференциальное уравнение упругой линни будет ЯУ Р) Следует заметить, что зто уравнение верно лить в том случае, если в сечении стержня отсутствует нормальная сила. Это как раз и имеет место в примерах, показанных на рис. 76, б и 76, в. Решая уравнение (2), получаем у=А япйх+Всозйх — 1 Сж+В, где В примере, показанном на рис. 77, в, имеем грани 1- ные условия: при х=О у=О и у' =О.
Те же условия 1Л сохраняются н для второго конца стержня. В результате для определения постоянных А, В, С, .О полу гаем че- тыре уравнения: В-,'-0=0, Ай+С=О, Л я п Б -1- В соя Ы + С1 + .0 = О, Ай соя Ы вЂ” ВМ а1п И вЂ”,'- С =- О. Ирнравнивая нулю определитель этой системы, находим Ы в1п И 2 (1 — соя Ы) „ Наименьший, не равный нулю корень, будет И 2л, откуда 4лРЕ.1 т. е. потеря устойчивости происходит при той же силе, приходящейся на поршень, что и при обычном сжатии стержня осевой силой. Последний пример хорошо объясняется и с энергетических позиций. Если стержень изогнулся (см.
рис. 77, в), то при его сползании с верхнего поршня объем внутрен- У ней полости увеличивается. Груз, сжимающий жидкость, при этом т~Гуй' р опускается. Совершаетж ся работа, равная до/ полнительной энергии изгиба стержня. Рис. 79е В дополнение к рас- смотренным, остановимся еще на одном примере, где стержень (трубка) не нагружен внешними силами, а находится под воздействием потока жидкости (рис. 79). Пусть через трубопровод протекает в секунду масса жидкости и. Тогда ва длине трубопровода Их в каждый момент времени находится масса т Их/ь, где и — скорость потока.
Если трубопровод искривился, то возникает инерционная сида, направленная в сторону выпуклости и рав- ная Уравнение упругой линии примет вид И у|~ — пгг'у", или угУ ~ ~йу'~ О где й'= пгг/И. Тогда решение этого уравнения имеет вид у = А я1 и /гх+ В соя!гх + Сх -,'— В. Р) Если трубопровод шарнирно закреплен по концам, то при х = О и при х = 1 перемещение у и пзгпбающий момент ЕУу" равны пулю.
В результате приходны к условию для определения критического параметра, ваап Ы О, БРЕУ; (ко)„, = —,, Любопытное обстоятельство. Величина пги имеет раз- мерность силы. Это — сила отдачи, действующая даже не на трубопровод, а на агрегат, подающий нидкость. Сле- довательно, прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, когда сила отдачи становится равной эплеровой силе.
Для стержня, защемленного одним концом, картпна получается иной. В этом случае имеем следующие гранич- ные условия' при х=-О у=О и у'=О, прн х=-1 у"=О п у"= —,=-О, которые приводят к системе уравнений; В+В=О; Ай+С=О, Аягп И+В сояИ=О; — А сояИ+Вягп 11=0. Приравнивая нулю определитель, получаем невьтполпи мое условие ягтР И+соя'Н = Р.
Это означает, что стеря ень не имеет форм равновесия. от-- личных от прямолинейной. Дальнейшее изучение вопроса показывает, что при определенных условиях защемленный одним концом стержень 193 совершает по некоторой форме колебательное движение с нарастающей амплитудой (рис. 80). Это явление можно наблюдать на примере поведения гибкого шланга, лежащего на мокром льду.
Итак, мы рассмотрели особенности поведения упругих систем в некоторых специфических условиях нагруженпя. Здесь наиболее важными являются два обстоятельства. Первое — это то, что иссле- Г дование устойчивости должно 0 проводиться с ооязательным учетом поведения сил в процессе дефо рмирования сиРвс. 80, стемы. Второе обстоятельство сводится к следующему: существуют условия, в которых либо одно, либо другое из основных положений классического подхода оказывается неприемлемым, т.
е. нельзя рассматривать подход Зйлера — Лагранжа как абсолютный. Иногда он оказывается бессильным. Вопрос о том, что делать в подобных случаях, представляет собой одну из наиболее актуальных проблем современной теории устойчивости. Некоторые замечания по этому поводу излагаются ниже. Еще оо устойчивости Мы уже убедились в том, что существуют системы, для которых задача об устойчивости по Эйлеру — Лагранжу не может быть решена. Таких примеров к настоящему времени накопилось достаточно много, и имеется возможность произвести некоторую систематизацию вопроса.
Мон но сказать, что существуют два основных положе- ния, с которыми связана «необычность» поведения некоторых систем. Первое — зто содержащееся в классическом подходе отождествление двух понятий: «потеря устойчивости» и «существование сколь угодно близких форм равновесия». Х /р Второе — зто необходимая для классического подхода идеализация реальной системы до уровня, обеспечивающего сведение задачи к решению однородных уравнений и отысканию собственных значений. Начнем с первого.
Вернемся к примеру стержня, нагруженного следящей силой (рис. 8Ц. Уже было установлено, что при любых значениях силы Р стор- жень не имеет форм равновесия, от- Рвс. 81. личных от прямолинейной. Поэтому рассмотрим более общую задачу о движении стержня. Уравнение лвпжения будет следующим: где т — масса стержня, приходящаяся на единицу длины. Примем ее величиной постоянной. Положим далее, что у = ХВГаС, где функция Х зависит только от координаты ж, При вещественных значениях Й движение носит характер гармонических колебаний. Если И будет комплексным, т. е, то ~ = Х~(~~+~~~ = Хе~~Чсоз я~ + 3 я$п й~), С~) я=й1 1 г ~У-' Тогда получим Регпение этого уравнения будет Х вЂ” С, з1п ЙД + С, сов ЙД + С, зЬ йД + С, сЬ ФД, где ДВ = 'р + )/~ГЛр2 ~.Я = — р + ~/~~Я + ~д2 В заделке, независимо от условий нагру".кения, Х= О и ИХЩ= О.
Следовательно, С,+С,=О и й,С,+Ж,,С,=О, имеем На свободном конце изгибающий момент равен нулю, В случае следящей силы обращается в нуль и поперечная сила. Поэтому при х = 1 (или при ~=1) Х"=О и Х"'=О, что дает еще два уравнения~ С Ю181п й С й1 Созй +С й Вь 12 +С4й сь й2 О Следовательно, движение будет происходить либо с ватухающей, либо с возрастающей амплитудой, в зависимости от знака 6. Подставим выражение у в уравнение движения и введем безразмерные параметры Приравняв нулю определитель четырех полученных уравнений, получим Й~1 + Й~~ + ~ 1Йе ~Й~«Й3) з1п Й1 зле + 2АЯ соз Й сЬ Й вЂ” О 2Р'+«и'-«-«пР з1п Й1вЫ', +ь'соз Й, сЬЙ, =О.
~2) Для определения критического значения силы р необходимо найти такое наименьшее р, при котором имеет место кратность корней «о уравнения (2). Уто означает, что прн дальнейшем увеличении Р корни становятся комплексными сопряженными и существует корень с отрицательной мнимой частью, т. е. Й=а — Ь~. Согласно выражению (1) это соответствует появлению Формы колебаний с нарастающей амплитудой. Р Проведя числовой поиск, определяем ~) ~ = 10,025 («о =-11,016).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
