Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогда последовательно получаем х'(х) = -у зу', х' — = 1, х+1 Полученное линейное уравнение решаем методом вариации произвольной постоянной. При этом находим з = С(х)(х+!), где С(х) = $п(х+ Ц+Се. Окончательно решение исходного уравнения принимает вид 1 у= (х+ 1)бп(х+ Ц+С) 98. хуз(х+ (*'+ у'+ 1) Иу = О. ° а Произведя замену хз = и(у), получим линейное уравнение первого порядка 1 йи — у — + и = -(у' + 1). 2 4у Сг з / 3 Его общее решение имеет вид в = — щ, где С(у) = -у ~$- + 1) +сопи.
Таким образом, имеем У все решения исходного урзвиения: у + 2хзуз + 2у = С. ° 99. (х'у — Зх'у+ у') <Ых -ь 2х' г!у = О. ° Разделив обе части уравнения на Их ~ О (х = Π— очевидное решение), получим уравнение Бернулли 2х — +(х — Зх )у= — у. зау з з з Фх Счишя у Ф О (у = Π— тривиальное решение), делим абе части посдеднего уравнения на — уз и полагаем = я(х).
Тогда получим 1 — = я'(х); х з' — (х — Зх )з = 1. Гл. 1. Дифферевпиальвые ураввшия первого порядка Решая это линейное уравнение, находим х = С(х)х зе*, где С(х) = -е *+ Се Теперь запишем все решения исходного уравнения. Суе — у — х =О; х=б; 2 ь 2 3 у=б.м 100. 2у' — — = м Умножив обе части уравнения на у и положив у = и(х), получим линейное уравнение и — и = х. х (1) хз — 1 Ищем решение в виде и = у(х)в2(х).
Подставив и и и' в (1), имеем (.('-,*' ) +-'~=*. Функции 1 и в2 находим из уравнений хг =О, в2) =х, х2 — 1 Из первого )равнения получаем ( = СДхг — Ц. Из второго уравнения следует, что 1 2 и = — )) х' — Ц зап(х — 1) -Ь См С Следовательно, и = !х — Цзян(х~ — 1) + СДхт — Ц = х — ! + СДм~ -Т~, откуда у' = х'-1+ Сф*з — Ц. ~ 101.
у'х'мну = ху' — 2у. < Разделив обе час~и уравнения на у' Н О (у = Π— очевидное решение) и приняв х за функцию от у, получим уравнение Бернулли 2(Х 3 2у — — х = -х йпу. 2(у Используя замену х ' = х(у), приходим к линейному уравнению уг +х = 3!пу, общее решение которого вырывается формулой С позу у у Все решения исходного уравнения имеют вид: ! С сову г 2 У=О; — 2= — — —, илн у+х созу — Сх =О.м у у 102З, (х + у + 2х — 2У)Их+ 2(у — 1)2(у = О. М Преобразовывая уравнение следующим образом: ((х + 1) + (у — 1) — 2) 2((х + 1) + 2((у — 1) = О н полагая х+ 1 = и, (у — 1)' = е, приходим к линейному уравнению г †+в=2 в а 2 г с его общим решением в = Се "— и + 2и.
Все решения исходного уравнения описываются формулой х'+ у' — 2У = Се '. > 45 $4. Лиыейыые уравыеыиы и урашеыыя, нриводящыеся к ыым 103. (е" — у')х = 2. < Полагая е" = е(х), получим уравнение Бернулли 2 х+ — т=х. х Его обшее решение имеет вид 1 х(х) = х(1+ Сх) Общее решение исходного уравнения запишется в виде у = — (п(х ь Сх ).
(и 104. д(х) = ~ у(1) 41 ч- х + 1. о и Взяв от обеих частей равенства производную, получим линейное уравнение общее решение которого у = Се Исходя из очевидно~о начального условия у(0) = 1, находим С = 2. Следовательно, у =2е' — 1. м 105. '( (х — 1)у(1) 4( = 2х Ч- ~ у(1) г(1. о е ~ Дважды дифференцируя левую и правую части равенства, имеем последовательно у(() 41 = 2+ у(х); у(х) = у'(х), е откупа находим у(0) = — 2 и у(х) = Се*.
Из начального условия следует, что С = 2. Итак, функция у(х) = -2е* есть решение поставленной задачи. м 106. унх 4 х 4у+ у~(яду — ус(х) = О. м Это уравнение Мнндинга — Дарбу, поскольку функции М(х, у) = у и тт'(х, у) = х однородные и имеют степень 1, а функция Я(х, у) = у' однородная и имеет степень 2. Следовательно, применима замена у = их(в), Имеем их йх + х(и йх + х йи) + из хе(х(и йх + х Ыв) — их йх) = О, или 2идх Ч-х(14 х'нз)ди = 0; х = О.
.(1) Разделим обе части полученного дифференциального уравнения на йи. Оно превратится в уравнение Бернулли Их 2 3 2н — +х= -и х . йи Полагая х ' = е, приходим к линейному уравнению 3 ве — е=н Легко проверить, что его общее решение представляется в виде е = и'+ Си. Последовательно возвращаясь к старым переменным, окончательно имеем у +Сху — 1=0. Решения х = 0 и у = 0 входят сюда при С = со. м 46 Гл. 1.
Диффереицвальвью урввиеииа первого порядка 107. (х'у+ у' — ху) ба+ х'!(у = О. М Записывая уравнение в виде О уз ву + (в~у + у~) г(х + х(х г(у — у вх) = О, замечаем, что оно есп уравнение Миндинга — Дарбу. Поэтому, полагая у = их, получаем х (и+ и )!(х+х Ии = О, !(и х= О; +Ых=б; и=б. и(1+ и!) Отсюда следует, что + — = Се *. Возвращаясь к переменным х и у, окончательно получаем ъ/и'-~1 у~=Сне ~(х +у~); х=О. Гь 108. уг(х+ а) а*+ х(*~ — у) йу = О. и Это уравнение Миндинга — Дарбу, поскольку оно приводится к стандартному вшгу у хг(х+ х~г(у+ ау(уг(х — хг(у) = О.
Произведя замену у = их(и), получим линейное дифференциальное уравнение йх х а — + !(и и(и+ 1) и+ 1' для решения которого применим метод вариации произвольной постоянной. Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид и+1 х = — С. (!) и Считая С = С(и), получаем дифференциальное уравнение решение которого имеет внд о С(и) = о 1п(Се(в+ 1)) + —, Се = сола!.
и+1 Подсивнв значение С(и) в (1) и принимая во внимание, что и = кх, запишем общее решение исходного уравнения в виде 109. (2ху — хгу — уз) <(х — (х'+ ут — хз — ху') йу = О. М Это такие уравнение Миндинга — Дарбу, поскольку (2ху — х у — у )<(х — (х +у — х' — ху )г(у = 2хувх — (х +у )ву — (х +у )(у!(х — хву). Полагая у = их(и)„получим уравнение с разделяющимися переменнымн (и — из) вх + х(1 + и')(х — 1) ви = О, из которого следует, что х — 1 и = С. иг Следовательно, в старых переменных имеем у(х — 1) = С(х~ — у ). > Решить спе!!ующие задачи.
110. найти кривую, которая имеет следующее свойство: отрезок оси (гх от начала координат до пересечения с касательной к этой кривой в любой точке пропорционален ординате этой точки. Н Из уравнения касательной к искомой кривой в точке М(х, у) Р— у = у'(ь — х), $4. Лвиейвые ураанеивг и уравнения, врвавдаивеея к ивм 47 где Х, à — текущие координаты касательной, следует, что абсцисса точки пересечения ее с осью Ох равна х — лг. Согласно условию, имеем уравнение у у ах х — — = йу, или у — — х = -йу. у ау Все решения полученного уравнения имеют внл *=у(С-й) ~у1).п 111.
Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есп величина постоянная, равная За . г м Из уравнения касательной (см. предыдущий пример) находим длину отрезка ОК: 10К) = = у — ху' (рис. 21). Пуси Б — площадь трапеции КОММ. Имеем (КО( + 1М1(г! 2 у Согласно условию задачи, Я = За'. Следовательно, 2 За = — (у — ху + у)х. 2 М(х, у) Полученное уравнение линейное относительно у: а баэ К ху' — 2у = — —. Его общее решение имеет вид 2а у = — +Сх. ~ х га.
эг ~ЛЧ~ = -' (1Одг!'+ !МЛг~') . Рассмотрим треугольник М)тЬ и найдем длину катета ФЬ. Имеем (ЛЬ| = уу'. Таким образом, лнфференциальное уравнение искомых кривых имеет вид 2уу' = х + у'. Полагая в нем уэ = н, получим линейное уравнение в'-и = х'. Решая его, находим и = Се*-х~ — 2х-2. Окончательно имеем у =Се — х — 2х — 2.п э 113. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг сали. В бак втекает 5 л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой.
Избыток вэщкости иэ него выливается. Копи каличеспю соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно? м пуси, 121(1) и Щг) — количества соли в кг соответственно в первом и втором баке в момент вРемени 1 ат начала пеРеливаниЯ. Тогда з?017 — — количество соли, выливающеесЯ из первого бака ао второй за время ат (до 1+ж, а тбв' — — количество соли, выливающееся из втоРаго бака за этот все пРомежУток вРемени, где(и Е (1, Г+Ж), йп Е (Г, 1+Ж). Слеповательно, Ж~(~п) Жэ(~а) (1) 100 100 112. Найти кривую, в каждой точке которой поднармаль является средним арифметическим кьздратоа координат этой точки.
< Согласно условию, имеем (рис. 22.): 48 Гл. 1. Диффереициальвые уравнения нервно нарядна есть количество соли во втором баке в момент времени (+ ах(, а а'„та((+Ь() =(2,(1) — ' " ти РОО (2) есть количество соли в первом баке в этот же момент времени. Из (2), переходя к пределу при Ы -а О, получаем дифференциальное уравнение Ма — = -0 05(ка а(( откуда а'„та = Се к~', где время С измеряется в минутах. Поскольку (4а(0) —. 10, то С = 1О, Следовательно, !О -о,ма (3) Совершив предельный переход в (1) при аз( — О, и принимая во внимание (3), получим — = -Оа05()т + 0,5е а(а;тт -о,ора Решив линейное уравнение, имеем (4т(1) = (0,5( + С)е Так как ((т(0) = О, то С = О.
Окончательно находим ((т(() = Оа5(е Исследуя функцию ь)т иа экстремум, получим, что шах ()т достигается при 1 = 20 мин и равен !О (7т(20) = — ах 3,68хт. в е 114. За время арр (где аь( О и выражено в долях года) из каждого грамма радия распадается 0,00044 Ы грамма и образуется 0,00043 М грамма радона. Из каждого грамма радона за время Ы распадается 70а)1 грамма. В начале опьпа имелось некоторое количество хр чистого радия. Когда количество образовавшегося и еше не распавшегося радона будет наибольшим? ° Обозначим через Р(1) и ()(() количества нераспавшихся радия и радона соотвсютаенно в момент времени 1 от начала распада (в годах). Тогда Р(1) — Р(1 + а5() есть количество распавшепзся радия за время от 1 до (+ а),(, а ак((+ 2м) — („т(() — количество образовавшегося радона за это же время.
Согласно условию задачи, имеем уравнения: Р(1) — Р(1+ й() = Р((п) 0,00044,5(, (1) ()((-ь а)а() — ()(1) = Р((аа) Оа00043а)а( — (4((ат)70ах(, (2) где (и Е (1, (+ ро(), (п б (1, (+ аь(). Совершив предельный переход при а!а( -+ 0 (предварительно разделив на а5( левые и правые части уравнениИ (1) и (2)), получим дифференциальные уравнения а(Р— = — 0,00044Р(1), (3) — = 0,00043Р(1) — 70Ж). М4 ай (4) Решение уравнения (3) имеет вид Р(() = хое (5) Подсшвив (5) в (4), получим дифференциальное уравнение, проинтегрировав которое, найдем: тра Оа00043хр аа пора,ц 69,99956 Принимая во внимание начальное условие (г(0) = О, опредетшем С: С = --ф щ~~. Оконча- 0 00043х 'тельно имеем 69,99956 ( Исследование на экстремум функции 7(1) = е р'"'4' — е 'р' показывает,.
что пах 7(() достигается при ! 70 69 99956 О 00044 й 4. Лвнейвме уравнения н уравнения, прнведввгиеев к иим 49 115. Даны два различных решения У1 и уз линейного уравнения первого порядка. Выразить через ннл общее решение этого уравнения. Н Линейное дифференциальное уравнение у'+ Р(х)у = ге(х) имеет общее решение у = (С + а(х))Д(х), где а(х) = ) (г(х)!Г'(х) 1(х, !)(х) = екр (-~Р(х) г(х) . согласно условию, из (1) имеем У1(х) = (С1 + а(х))29(х), уз(х) = (С2+ а(х))Д(х), (2) где С, и С2 — постоянные, соответствующие решениям у, и уг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
