Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2*ту' = у' + ху. м Положим у = а'. Тогда получим 2ах г г =г +ха,2ах г" дг — (з +хх') 2(а=О. Отсюда следует, что функции 2ахта' ' и хзе+ х»' однородны яишь при одном условии: а+ 1 = 2 = За = а+ 1, т. е.' при а =;. Таким образом, в случае у > 0 применяем замену у =,/г, Тогда исходное авнение п имет вид ур Р х 2(а — (2+ х)х2(х = О. Замена а = хн(х) преобразует последнее уравнение в уравнение с разделяющимися переменными хЖ- н22(х = О. Интегрируя его, получаем -„'+1пЦ = С, или — +02)х) = С. у2 Решение у = 0 входит в полученное семейство при С = оо. > Заначавие 1. В рассмотренном, н в некоторых других примерах мы включали "пошрянные" решения в семейство интегральных кривым при синг)парных значениях С.
Однако такое включение вызвано не существом дела, а лишь формой записи решения. Покажем это на п)2еяегщем примере. Имеем х+у 3п!х)=Су, — (х+у !и!е!)=у, С2(х+у 1и!х!)=у, С2 = —. 2 2 ! 2 2 С Положив в последней формуле С2 = О, получим у и О. у+2 у — 2х 71. у'= — +гд х+1 х+1 М Уравнение привоаится к однородному с помощью замены х = и — 1, у = е — 2: 2(е е е — 2н — = — + )д 2(Н и и Далее, как и в предыдуших примерах, применяем замену е = пь(н). Тогда получим пе' = гд(С вЂ” 2), Разделение переменных и интегрирование дает; 2(Ь" 2(н — — (п )н) - 1п ! з)п(Π— 2)) = 1и С. ГИ(С - 2) н ' Потенциируя и возвращаясь к прежним переменным, окончательно имеем х+ 1 = Сюп (~ — +-1-). Заметим, что решения х+ 1 = О (и = О) и у~ — * = )гх, д Е Е (гб(1 — 2) = 0) нхщят в полученное семейство решений соответственно при С = О и С = оо.
М 72. х'(у' — х) = у'. < Уравнение не является однородным, однако, применив замену у = (х(х))', замечаем, что уравнение 35 я 3. Однородные уравнения и уравнения, ярююляягиеся к внм Зивечавве 2. Замена У = -г/г (дш У ( 0) вРиаодвт к такомУ же РезультатУ. 74. уйх+ х(2ху+ 1) йу = О. < Применив замену у = г', получим уравнение г йх+ х(2хг" + !)аг" г(г = О.
Так как функции г' и ахг '(2хг" + 1) однородны н имеют одну и ту же степень при а = -1, то данное уравнение приводится к однородному с помощью замены у = г . Однако его можно ! привести к уравнению с разделяющимися переменными, если воспользоваться заменой у = и(х! (в общем случае заменой у = х'о(х)). Таким образом, получим уравнение -2и йх + х(2и + 1) йо = О, откуда йх йв яи 1х1 1 — = — + —, )п~ — !+ — =!пС, х и 2ог' ~и~ 2о 2ху = 2 де * =С.
!и С!д(' Заметим, что последняя форма записи решеггий исключаег такие, как х = 0 и д = О, в то время как ей предшествующая включает решение х = 0 (при С = оо). Легко показать, что никакие преобразования формулы семейства интегральных кривых не позволяют включить в их состав решение у = О. М 75. 2у'+ х = 4 /у. ч Проверка на обобщенную однородность данного уравнения показывает, по показатель однородности а = 2. Следовательно, замена у = хгв(х) (и > 0) приводит к уравнению с разделяющимися переменными 2хйв+(1+4и — 4з/в)г(а=О (х > О). Проинтегрировав его, получим: 1 1 х(1 — 2ття) = Се' "'-г в =— 4' нли г (х — 2,~ус*-" г = С, у = —. Если же х ( О, то вместо уравнегшя (1) получим уравнение 2х г(в + (1 + 4в+ 4чги) г(х = О, интегрирование которого приводит к уже полученному результату шгя уравнения (1).
и 76. 2 ~,/хтуУ+ ! — х'у) йх — х' йу = О. ° Полагая у = г, получаем уравнение 2(14ъ Ь! ',)йх „„' -!лг — О Отсюда следует, что функции при дифференциалах однородны и имеют одинаковую степень только при а = -2. Поэтому замена у = У(~2 приводит к уравнению х 2~/ц~ + 1 йх — х г(в = 0 *' = С (н+ /вг+ !), *' = С ~х'д+ ф+ хгдг) . !и й 3. Одворедвме ураввеяия в ууаавеявя, врааюдюпвеся к ввм 37 Таким образом, искомое семейство кривых имеет вид — )7'х + у' = С. Случай х < 0 предоставляем разобрать читателю.
м 80. Найти кривую, зная, что треугольник, образованный нормалью к ней н осями координат, равновелик треугольнику, образованному осью Ох, касательной и нормалью к этой же кривой. М По условию„треугольники КМ)У и Обгь( (рис.19) равновелики, поэтому равновелики также треугольники КОР и РМй. Поскольку последние еще и подобны, то они конгруэнтны. Следовательно, )ОР~ = !РМ!. Из уравнения касательной г' — у = у'(Х вЂ” х), где Х, У вЂ” текущие координаты точки, лежащей на касательной, следует, что Л !РО! =- у — у'х.
Длину отрезка РМ находим по формуле расстояния между точками М(х, у) н Р(0, !РО)): М(х, у) г Р (РМ! = )( хг + у' хг. а Таким образом, получаем дифференциальное уравнение ьг г г ь г К О )ьг х (у — уьх) = х + у' х, нли у — 2уу~х — х = О. Полученное уравнение однородное, поэтому воспользуемся заменой у = хи(х), которая после ее проведения дает возможность разделить переменные. Имеем из+ 2ии'х+ 1 = О, откуда интегрированием находим: х(1+ и ) = 2С, или (х — С) + у = С . м 81.
прн каких а и 19 уравнение у' = ах'+ьул приводится к однородному с помощью замены у ььг м Применив указанную замену, получим тх~ 'г' = ах~+ба~а (т ~ 0). (1) Отсюда следует, ьто если а и 6 отличны от нуля, то для однородности уравнения (1) необходимо и достаточно выполнения равенств т — 1 = а = т)3. Из вгоропг равенства имеем т = ~~, ()У х О, а ьа 0). Подставив т в первое равеььство, ььолучим искомую связь; 1 1 — — — =1.> )) а 82. Доказать, что интегральные кривые уравнения (ах+Ьу+с)ь(х+(ау — Ьх+сь)ь(у=О (а +Ь ~0) являются логарифмическими спиралями.
м С помощью формул параллельного переноса системы координат я=и+а, у=с+)у приводим данное уравнение к виду (аи + Ье) ь(и + (ее — Ьи) ь(е = О. Даава полагаем и = рстуг, е = Рз)пьр, где Р, ьг — полярные координаты с полюсом в точке (а, Д относительно системы Оху. Имеем аР =ЬР I опьуда находим р= Се ". Получили семейспю логарифмических спиралей. > Гл. 1. Диффереициашяияе уравнения первого вврялва Замечавпе. Если е = Ь = О, то падучим семейспю прямых. Если е = О, Ь | В, то эпкме получается семейство прямых. Если Ь = О, е Ф О, то пслучпм семейство серуююстсй. Есе эгн случаи слелуют непосредственно нз данного уравнения. 83. Найти форму зеркала, отражагощего все лучи, которые выходят из одной и той же точки, параллельно данному направлению. м На рис.
20 показано, что ОМ)У = )г(МЯ (угол падения луча ОМ равен углу отроскения луча МЯ). Выберем направление отраженных лучей параллельно оси Ох. Тогда, исходя из указанного выше равенства углов и параллельности луча МЯ оси Ох, имеем а+Да —, КМО=а. 2' Следовательно, треугольник КМΠ— рашюбедренный, т, е. (КО) = (ОМ(. Очевидно, (ОМ) = ьгхг+у~. Длину отрезка КО можно найти, вычислив абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.
Из уравнения касательной к искомой кривой У = у+ у'(Х вЂ” х), где Х, )' — текущие координаты касательной, находим трс- О й( буе у' аб ц осу: Ряс.зо Х =а — —. у у' Тогла ~КО! = -Х. Таким образом, имеем дифференциальное уравнение — — х= х+у у У Эго уравнение однородное и с помощью замены у = хн(х), опуская простые выкладки, получаем его решения у -гсх-с =о, 2 2 геометрически представляющие собой семейство парабол (С ~ 0). м 84.
Пусть йо — корень уравнения у(й) =- й. Показать, что: 1) если у'(йо) < 1, то ни одно решение уравнения у' = у(Ц, за исключением решения у = Фох, не касается прямой у = йох в начале координат; 2) если у'(йо) > 1, то этой прямой касается бесконечно много решений. м Применим метод доказательства от противного. Пуст~ при выполнении условий у(йо) = йо, У'(йо) < 1 сУществУет Решение УРавнениЯ У' = 1(кх), касающессЯ пРЯмой У = йох в начшге координат. Тогда в малой окрестности начала координат оно предсташшется в виде У(х) = "ох+ хб(х) (1) .де б(х) 0 при х — О. Подставив (1) в рассматриваемое уравнение, получаем йо + хб + б = У(йо + б(х)) = У(йо) + У Оуо)б(х) + с(б) ~ хб' = Аб+ о(б), пкуда хб' о(б) — = А+, где А = у" (йо) — 1. б б отбросив — у- (как величину, стремящуюся к нулю при х — 0), можем записать -Ь- - А, откуда осбз хб' иходим б - С)х)~.
Из полученной формулы следует, что если С Ф О, то б к нулю не стремится три х -г 0 (в силу того, по А < 0). Полученное противоречие и )юказывает ушерждение 1). 2) В этом случае противоречия нет, поскольку А > 0 и б- О при х — 0 для любых С, м Змяечяаяе. Строго говоря, нн ояно Решение нп в одном нз рассмотренных случаев не касается прямой у = Ьох а начале кссролнат, если молчаливо не допустять, что Х~ = Вгп а -о*' б 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
