Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Из(2) также следУет, что « = 0 чг«,12 при ! = С ге 1,75 с (это, очевидно, соответствует наибольшей высоте). Принимая во внимание равенство «(1) =,й, после подстановки ега в (2) и интегрирования полученного дифферсццнллй) ального уравнения, имеем 25 в 2.
Задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными Поскольку Ь(0) = Н, то отсюда слелует, что С = тгН. Очевидно, й(!) = 0 при )ОгН Н вЂ” !050с = !7,5 мин. м 3ьг2д г' 51. Решить предыдущую залачу в предположении, что ось цилиндра расположена горизонтально, а отверстие находится в самой нижней части цилиндра. м Как видим из рнс. )2, при понижении уровня жидкости за врелгя гхг на гхй через отверстие Е вытечет 2Нггй(2Н вЂ” йод+о(2гй] жидкости. Поэтому выполняется равенство -2Нхг й(2Л вЂ” Ь)гуй+ о(гЗЬ) = яг'е((,,)Ь(, М нз которого, как и в предыдущем примере, получаем дифференциюгьное уравнение — 2Н4Ь(2Н вЂ” Ь)г)й = яг'Огб,г2дйг((, Ь ~ О. Решениелг этого уравнения является функция г г г'3яг',гдгг г Ь(!) = 2Н вЂ” (0,3! + С)! ( ), С = сопят.
(!) Г2Н ) гвс ы Поскольку й(О) = 2Н, то отсюла следует, что С = О. Полагая в (!) й = О, находим время, за которое вытечет ася жидкость: 40 ЯгН (, = — —, = )040 . ю дя' гг гд 5л. Воронка имеет форму кругового конуса радиуса Н = бсм и высоты Н = !Осм, обрашенного вершиной вниз, За какое время из воронки вытечет вся вода через круглое отверстие диаметра 0,5слг, сделанное в вершине конуса? м Из рис. )3 видиль что количество воды га(г, содержашееся в заштрихованном слое, с точностью до лошых о(2гй) равно яг' Ьй. С другой стороны, через отверстие О вытечет яг;е(г,)Ь! волы. Таким образом, имеем равенство А — яг 2хй = яг, и((,уд(+ о(ЬЬ), где г, = 0,25см, (> б (г, ! + гх!), из которого предельным переходом при Ь! 0 получаем дифференциальное уравнение г г(й ч- гги(г) г(! = О, е(!) = О,б г2дй.
(!) Из подобна треугольников АМО и СО,О следует соотношение г = -)7-. Позтолгу уравнение (!) записываем в виде ьл г йг г(Ь -(- Ь г(! = О, Ь = 0,6 — г, )(2д. г г г Н г Нг Интегрируя, получаем С = сопя!. 5 — йг 4-Ь(=С, г .гз ! Так как й(0) = Н, то отсюда следует, что С = ТНг Таким образом, решение поставленной задачи имеет вид 5 йг — Нг =--Ь !. 2 Полагая здесь й =- О, нахолим 2 Нг (= —— 5 Ьг — время, за которое вытечет вся вода из воронки.
Вычисления лают ! ю 27 с. М 26 Гл. 1. Днффереицваяьвые уравнения первого порядка 30 — = (!2 — 0,01)/2дЬ), с(! проинтегрировав которое, найдем: 6000 !с 1200 ° с= — ---(Сг~ — г ггг-гаг,г гг~. (2) з/2д д[, ьг?д Пусть Ь(0) = О, тогда из (2) следует, что С = — 3600 !и 12. Подставив в (2) Ь = 80, найдем время 1,, за которое наполнится бак: 3 1, = 1200 (3!и — — !) гэ 260 с.
> 2 54. Резиновый шнур длиной 1 м лод действием силы У кГ удлиняется на й У метров. На сколько удлинится такой же шнур длины 1 и веса Р под действием своего веса, если его подвесить за один конец? м Пусть У(х) — удлинение шнура длиной х, а У(х + г)гх) — удлинение гннура лднной х+ гйх. Тогда удлинение элемента длиной гаях равно разности (г(х+ 15х) — (г(х) (рис. 14). На элемент шнура гьх действует растягивающая сила У, равная весу шнура длиной 1 — х — В!ьх, т. е. Р Г' = — (1 — х — Вгбх)г ! где -1- — удельный вес шнура, 0 < В < 1. Согласно условию, указанный Р элемент должен удлиниться на й У сгх метров.
Таким образом, получаем уравнение Р Лх) Щх+ гЬх) — (Г(х) = й — (1 — х — Вйхййх, (1) где величина В введена с целью учета влияния силы, действующей на элемент 28х, обусловленной весом самого элемента. Далее, известным пугем из (1) получаем дифференпиальное уравнение сШ ЬР— = — (! — х) г(х из которого следует, что йР (Г(х) = С+ — (2! — х)х. 2! Увс. 14 Поскольку (Г(0) = О, то С = О. Следовательно, йР (Г(х) = — (21 — х)х. 21 Из последней формулы получаем удлинение шнура длиной 1: ЬР1 (гг(!) = —.
В. 2 53. В прямоугольный бак размером 60см к 75см и высотой 80см поступает 1,8л воды в секунду. й дне имеется отверстие плошадью Я = 2,5 см . За какое время наполнится бак? М Пусть Ь(!) — высота уровня воды в баке. Тогда !ь)'г = (Ь(1 + гьг) — Ь(1)) 60 ?5 — приращение се объема за время от 1 до 1+ гзг. Это увеличение (или уменьшение) объема происходит за счет поступления з8)'з воды и ее утечки в количестве гб(гз через отверстие.
Таким образом, имеем уравнение гз!сг = Ь)гг — г)г)сз. Поскольку г5г)с, .= !800гбг, Ь)сз = 2,5 Огб,,/2дй(гг)2Ы, 1, Е (1, 1+гьг), то последнее уравнение можно представить в виде 4500(Ь(1+ г51) — !гЯ) = 1800гзг — 2,5 0,6)(с2дй(гг)гьг, д = 1О'см/с~. (1) Разделив в (1) обе части на !81 и совершив предельный переход при 18! — О, получим дифференциальное уравнение и 2. Задачи, ириводяввю к уравнениям с разделяюигимися переменными 27 55. Найти атмосферное давление на высоте й, если на поверхности Земли давление равно 1 кГ/см' и плотность воздуха 0,0012 г/см'.
и Пусть Р(х) — давление воздуха на высоте х от поверхности Земли. Тогда разность давлений Р(х) — Р(а + хьх) равна весу столбика воздуха с площадью основания 1 см' и высотой ххх, т. е. равна величине р(х+ 02ьх)д. Ьг, где р — некоторая средняя плотность воздуха, 0 < д < 1. Поэтому имеем Р(х) — Р(х+ хьх) = р(х+ дз52)д. Ьх, откуда предельным нерехалом при хьз -~ 0 получаем дифференциальное уравнение оР— = -др(х) г(а Согласно закону Бойля — Мариотта, плотность воздуха при постоянной температуре пропорциональна давлению, т. е.
р(х) = йР(з). Используя это равенство, из (1) находим -км — = — йд, Р = Р е м кГ/см . Р Так как при г = 0 Р = 1 кГ/см, то Р = е М", а поскольку 0,0012г/см = 1ОООГ/см' й = 1000г/см дй, тле д = 9,8 м/с' = -1-; — ускорение свободного падения, то йд = 0,12 10 ' см ' = 0,12(км) ' Таким образом, на вйсоте Ь км давление воздуха Р = е ц кГ/см . > 56. Для остановки речных судов у пристани с них бросают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно, если канат делает три витка вокруг столба, коэффициент трения каната о стш|б равен 5, и рабочий на пристани тянет за 1 свободный конец каната с силой 10 кГУ м Пусть Т(р) — сила натяжения каната, соответствующая его углу наматывания )з на столб, /ьР— нормальная реакция столба на участок каната ллипой хьЯ = Вгьр (рис. 15).
из условия равновесия трех сил Т(зз), ЬР и Т(р+ /ьр), с точностью до бесконечно малых величин угла Ь р, слелуют равенства Т(р ч- тарду+ о(!йр) = !АР, Т(р + Ь)з) — Трр) + о(/ьы) = ЬР, где ЬР— сила трения, действуюшая на указанный элемент. Согласно условию, 21Р = й/зР, поэтому из (!) получаем соотношение Т(уг+ /ьм) — Т( р) = йТОр+ /ьуз)ьр+ о(~р), из которого известным читателю способом легко получить дифференциальное уравнение вТ вЂ” = йТ. Ыр Его решение — Т = Т,ею. Пусть при (з = 0 Та — — 10 кГ.
Тогда при р = бя (что соответствует трем виткам) Т = !Ое " ш 5355 кГ. М 57. На врашаюшийся в жидкости диск действует замелляюшая его двюкепие сила трения, пропорциональная угловой скорости врашения. Найти зависимость угловой скорости от времени. 28 Гл. 1. Двффереипиальиме уравнения вервого порядка если вначале диск вращался со скоростью 100 оборотов в минуту, а по истечении одной минугы— 60 оборотов в минуту. < Пуси ы(!) — угловая скоростьдвижения диска. Тогда, согласно закону изменения момента количества движения, имеем аы г — =М, (1) где г — момент инерции диска, М вЂ” момент сил, действующих на диск.
По условию М = лры (ле — — сопя), поэтому уравнение (1) принимает вид йы — =йы, л= —. <й ' 2 Его решение — ы = маем. Пусть ш измеряется в оборотах за минуту, а время ! — в минутах. Тогда ьгз —— 100, 60 = 100е", откуда е" = 0,6. Таким образом, требуемая зависимость имеет вид ы = 100(0,6)' об/мин.
М 58. В закрытом помещении объемом Ум' находится открытый сосуд с водой. Скорость испарения воды пропорциональна разности между количеством Ч, водяного пара, насыщающего ! м воздуха при данной температуре, и количеством Ч водяного пара, имеющимся в !и воздуха з в рассматриваемый момент (считаем, что температура воздуха н воды, а также величина площади, с которой происходит испарение, остаются неизменными). В начальный момент в сосуде было пге г воды, а в 1 м воздуха Чр г пара, Сколько воды останется в сосуде через промежугок з времени !? м Пусть Щ) — количества испарившейся воды в граммах за время !. Тогда, согласно условию, скоРость испаРениЯ -т - Равна величине Дф — Ч), т.
е. имеем диффеРенциальное УРавнение ло = к(В Ч) с! (1) где й — коэффициент пропорциональности. Найдем значение Ч. Очевидна, что (У гло ' 10 ) Ча = (Рь есп количество пара в граммах, которое было в помещении, а (У-, 10-')Ч,+д=(), — количество пара в граммах в помещении в момент времени й Ясно, что колнчеспю !2з было равномерно распределено в объеме Уз = У вЂ” пга'1О +(г'10 (число 10 ~ везде фигурирует вследствие того, что 1 г воды занимает 1смз = 1О ~м объема). Поэтому (2, (У вЂ” где!0 ) Чз+() (2) Уз ! - 10-ь(, + (2) ' Если У Ъ 1О г(гла -ь 6)), то из (2) можно получить более простую формулу для Ч: УЧо + (е !е Ч= У = Чо+ Подставив (3) в (1), получим окончательное дифференциальное уравнение Н~ Г ()'! — =«~~Ч,-»,— — ), (! ~ У/' проинтегрировав которое, получим: Ц(!) = У(Ч, - Ча)+ Се У, ПосколькУ (2(0) = О, то отсюда следУет, что С = -У(Ч, — Ча).
Таким обРазом, дла оставшейсЯ в сосуде воды имеем формулу нХ гл~(!) = гие — У(Ч~ — Че) (1 — е р') ° м 29 в 3. Однородные уравнения и уравиеяия, ириведюциеев к иим МС+ си) — МС) = Ьр, (1) где р — импульс внешних снл, действующих в течение времени схС на промежутке времени от С до С+ с) С. В данном случае таким импульсом служат продукты сгорания ракеты, которые отделяются от нее с абсолютной скоростью с — о(С) (с — относительная скорость отделения продуктов сгорания), поскольку отделяется (сгорает) масса М(с) — М(с ь схс), то (2) СХР = (с — о(С))(М(С) — М(С + ЬС)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
