Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Характеристическоеуравнение (9): c +c −λ2 1−c2det(A − λE) = 0−c20c2 + c3 − λ −c3−c3c3 − λ 11 − λ = −30−3014 − λ −11−11 11 − λ = 0,т. е. λ3 − 36λ2 + 299λ − 264 =√0 ⇒ λ1 = 1,√λ2 = 11, λ3 = 24. Итак, основные частотынайдены. Это ω1 = 1, ω2 = 11, ω3 = 2 6.
Решая систему (11) для каждого собственного значения, найдем соответствующие собственные векторы (с точностью до51числового множителя, не равного нулю):3113X1 = 10 , X2 = 0 , X3 = −13 ,11−311координаты которых — отношения амплитуд колебания масс, соответствующих данной основной частоте.П р и м е р 6. Протяженная изотропная среда подвержена деформации, при которой единичный куб с ребрами100e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 0 ,001переходит в переллелепипед с ребрами1, 50, 50, 5f1 = 0, 5 , f2 = 1 , f3 = 0 .0, 501Каковы главные оси деформации, т.
е. направления, которые сохраняются при деформации?Р е ш е н и е. Деформация описывается симметричной матрицей1, 5 0, 5 0, 510 Ae = 0, 5,0, 501для которой Âek = fk , k = 1, 2, 3. Следовательно, указанная деформация — линейныйоператор Â, а искомые направления — собственные векторы этого оператора, точнееего инвариантные подпространства. Матрица Ae — матрица оператора Â в базисе(ep )3 . Его характеристическое уравнение (9): −λ3 +3, 5λ2 −3, 5λ+1 = 0 имеет решения:λ1 = 0, 5, λ2 = 1, λ3 = 2.
Отвечающие им собственные векторы:20−1X1 = c · 1 , X2 = c · 1 , X3 = c · 1 , c ∈ K0 , c 6= 0.11−1Отметим попарную ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям, т. е. XpT Xk = 0, p, k = 1, 2, 3, p 6= k.§6. Симметричный (самосопряженный) линейный оператор вконечномерном евклидовом пространстве.Рассмотрим линейные операторы, действующие в евклидовом пространстве En .Поэтому здесь числовое поле K = K0 .О п р е д е л е н и е.
Линейный оператор Â, действующий в пространстве En ,называется симметричным, если для всех x, y из En выполняется равенство:(Âx, y) = (x, Ây).apk(12)О п р е д е л е н и е. Матрица A называется симметричной, если A = AT , т. е.= akp , p, k = 1, n.52Утверждение 12 Матрица симметричного оператора Â в ортонормированномбазисе симметрична.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (ep )n — ортонормированный базис, а Ae = ||apk ||nn —матрица оператора Â в этом базисе. По формуле (1) Âep = ek akp .
Поэтому (Âep , ei ) =akp (ek , ei ) =(из ортонормированности базиса)= akp δki = aip . С другой стороны, aip =(Âep , ei ) =(симметричность оператора)=(ep , Âei ) = (ep , ek aki ) = (ep , ek )aki = (ортогональность базиса) = δkp aki = api .Утверждение 13 Оператор Â симметричен, если в некотором ортонормированном базисе (ep )n имеет симметричную матрицу, т.
е. Ae = ATe .Д о к а з а т е л ь с т в о. Как следует из равенства (3) гл. 4, скалярное произведение любых двух элементов в ортонормированном базисе равняется сумме произведений соответствующих координат перемножаемых элементов. Так как элемент Âx всилу (2) имеет координаты Ae Xe , а элемент y — координаты Ye , то (Âx, y) =(формула(3) гл. 4)= (Ae Xe )T Ye =(теорема 4 гл. 4 курса аналитической геометрии)= XeT ATe Ye =(симметричность матрицы Ae ) = XeT Ae Ye . С другой стороны, (x, Ây) = (формула (3)гл.
4)= XeT Ae Ye . Из этих двух равенств следует, что (Âx, y) = (x, Ây).Утверждение 14 Симметричный оператор Â, действующий в пространстве En ,является симметричным в любом инвариантном относительно оператора Â подпространсве Mk (k ≤ n) пространства En .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Поскольку Mk — инвариантное относительно оператора подпространство, то для каждого x из Mk Âx ∈ Mk . А так как для любых x, y изEn выполняется (12), то, в частности, для всех x, y из Mk так же имеет место (12).Теорема 7 Все корни характеристического уравнения симметричного оператора— действительные числа.Д о к а з а т е л ь с т в о. (от противного). Пусть  — симметричный оператор, действующий в En , а (ep )n — ортонормированный базис в En .
Тогда по утверждению 12Ae = ATe . Пусть существует комплексное число λ = a+ib такое, что det(Ae −λE) = 0.Тогда система (10) есть квадратная система однородных линейных уравнений с матрицей Ae − λE, определенной на числовом поле K = C — поле всех комплексныхчисел. При введении числовых матриц (гл. 1) и решении систем линейных уравнений (гл. 1 и 3) мы пользовались произвольным числовым полем K. Поэтому все, чтобыло в этих главах получено, справедливо и для числового поля C. Следовательно, система (10) имеет ненулевое решение Xe = ||xp ||n тогда и только тогда, когдакогда определитель матрицы этой системы равен нулю. Но у нас это условие, какотмечалось выше, выполнено. Значит, имеем решение: Xe = B + iC = ||bp ||n + i||cp ||n ,причем Xe 6= θ + iθ, где θ — нулевой столбец высоты n.
Подставим это решение ссоответствующим значением λ = a + ib в систему (10). В итоге получим матричноетождество: Ae (B + iC) = (a + ib)(B + iC) или, приравнивая отдельно действительнуюи отдельно мнимую части этого тождества, найдем, чтоAe B = aB − bC,(13)Ae C = bB − aC.(14)Применив операцию транспонирования к равенству (13), получим: B T ATe = aB T −bC T . Так как ATe = Ae , то окончательноB T Ae = aB T − bC T .53(15)Умножим равенство (15) на матрицу C справа, а равенство (14) на матрицу B Tслева и из второго равенства вычтем первое: θ = b(B T B + C T C), что в координатахзапишется так:nbX((bk )2 + (ck )2 ) = 0.(16)k=1Так как Xe 6= θ +iθ, то среди чисел bk и ck имеются числа, отличные от 0, т. е. сумма,стоящая в равенствое (16) отлична от нуля.
Поэтому из (16) следует, что b = 0, чтопротиворечит предположению о том, что λ = a + ib — комплексное число.З а м е ч а н и е. Теорема 7, как следует из утверждения 14, справедлива в каждоминвариантном относительно симметричного оператора Â подпространстве Mk .С л е д с т в и е. Оператор Â симметричный в En всегда имеет собственныевекторы.Теорема 8 Если x — собственный вектор симметричного оператора Â в En , тосовокупность всех векторов y, ортогональных вектору x, образует инвариантноеотносительно оператора Â подпространство Mn−1 .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как x — собственный вектор оператора Â, то, как следует из следствия к утверждению 10, линейная оболочка L(x) = {ax, a ∈ (−∞, +∞)}— одномерное инвариантное относительно оператора подпространство линейногопространства En . Но тогда совокупность M всех элементов y из En , ортогональныхк элементу x, — ортогональное дополнение подпространства L(x).
Следовательно, потеореме 3 гл. 4 M — подпространство линейного пространства En размерности n − 1.Осталось показать, что оно инвариантно относительно оператора Â, т. е. если y ∈ M ,то и Ây ∈ M . Действительно, (Ây, x) = (симметричность Â)= (y, Âx) =(x— собo oственный вектор Â)= (y, λx) =(a.3 , 1 скалярного произведения)= λ(x, y) =(y ∈ M— ортогональному дополнению к L(x))= 0, т. е. Ây ортогонально к x, т. е. Ây ∈ M .Теорема 9 Для того, чтобы линейный оператор Â был симметричен, необходимои достаточно, чтобы в En существовал ортонормированный базис из собственных векторов оператора Â.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Н е о б х о д и м о с т ь. Так как Â — симметричный оператор, то в силу следствия к теореме 7 существует собственный вектор этого оператора X1 . Тогда подпространство Mn−1 векторов, ортогональных x1 , как следует изтеоремы 8, является инвариантным. Следовательно, к этому подпространству, какутверждает замечание к теореме 7, снова применима теорема 7. Поэтому в Mn−1существует собственный вектор этого оператора — x2 , причем x2 ортогонален x1(ведь x2 ∈ Mn−1 , а Mn−1 ортогонально x1 ). Рассмотрим множество всех векторовиз Mn−1 , ортогональных к x2 . По теореме 8 это множество есть инвариантное подпространство Mn−2 относительно оператора Â. Следовательно, в Mn−2 существуетпо теореме 7 собственный вектор оператора Â — x3 , причем x3 ортогонален к x1 ,x2 . Продолжая этот процесс далее получим n ортогональных друг другу векторовx1 , x2 , .
. . , xn . Как показано в лемме 1 гл. 4 ортогональные векторы линейно независимы. Поэтому n построенных векторов образуют базис в En . Нормируя их, т. е.полагая ep = xp /|xp |, p = 1, n, получим ортонормированный базис, состоящий, какследует из утверждения 10, из собственных векторов.Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть (ep )n — ортонормированный базис в En из собственных векторов оператора Â, соответствующих собственным значениям λ1 , λ2 , . .
. , λn(собственные значения с разными индексами могут совпадать). Как следует из формулы (1) элементы матрицы Ae оператора Â в данном базисе имеют вид: akp = λp δpk ,54т. е. матрица Ae — диагональная. Следовательно Ae = ATe . Поэтому, в силу утверждения 13, оператор Â симметричен.Утверждение 15 Собственные векторы симметричного оператора Â, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть собственный вектор x1 соответствует собственномузначению λ1 , а собственный вектор x2 — λ2 , (λ1 6= λ2 ), т.
е. Âx1 = λ1 x1 и Âx2 = λ2 x2 .Так как  — симметричный оператор, то (Âx1 , x2 ) = (x1 , Âx2 ) или так: (λ1 x1 , x2 ) =o(x1 , λ2 x2 ) или после применения a.3 скалярного произведения λ1 (x1 , x2 ) = λ2 (x1 , x2 )или (λ1 −λ2 )(x1 , x2 ) = 0. Так как λ1 6= λ2 , то (x1 , x2 ) = 0. Что и требовалось доказать.В приложениях часто приходится сталкиваться с задачей вида: найти множествовсех элементов x из En , удовлетворяющих равенствуÂx = λx + b,(17)где  — симметричный оператор, действующий в En , b — фиксированный элементпространства En .Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
