Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Осталось доказать единственность представления функционала Φ в виде скалярного произведения.Пусть возможны два представления: Φ(x) = (x, x0 ) = (x, y). Но тогда для любого xo oиз En (x, x0 ) − (x, y) = (a.1 , 2 ) = (x, x0 − y) = 0. В частности, при x = x0 − y имеемo(x0 − y, x0 − y), что в силу a.4 определения скалярного произведения возможно лишьпри x0 − y = θ, т. е. при x0 = y.
Из полученного противоречия с предположениемследует единственность представления. Теорема доказана.§7. Изоморфизм евклидовых пространств.По аналогии с изоморфизмом линейных пространств вводится понятие изоморфизма всех конечномерных евклидовых пространств.38О п р е д е л е н и е. Два евклидовых пространства En и En00 называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам пространства En x, yотвечают соответственно элементы x00 , y 00 пространства En00 , то элементу x + yиз En отвечает x00 + y 00 из En00 , а элементу bx (∀b ∈ K0 ) из En отвечает элементbx00 из En00 и, наконец, (x, y) = (x00 , y 00 ).Теорема 7 Все евклидовы пространства одной и той же размерности n изоморфны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что любое n-мерное евклидово пространство En00 изоморфно евклидову пространству En упорядоченных совокупностейn действительных чисел вида x = (x1 , x2 , . .
. , xn ) со скалярным произведением(x, y) = x1 y 1 + x2 y 2 + . . . + xn y n .(18)Согласно теореме 2 в En00 существует ортонормированный базис (e00k )n . Каждому элементу x00 = e00k xk пространства En00 поставим в соответствие n чисел x1 , x2 , . . . , xn— координат этого элемента в базисе (ek )n , т. е. вполне определенный элементx = (x1 , x2 , . . . , xn ) пространства En .
Установленное соответствие взаимно однозначно. Кроме того, из теоремы 9 гл. 2 следует, что если элементам x00 , y 00 из En00 , имеющимв базисе (e00k )n координаты Xe = ||xk ||n , Ye = ||y k ||n , отвечают соответственно элементы x = (x1 , x2 , . .
. , xn ) и y = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) пространства En , то элементу x00 + y 00соответствует элемент x + y, а элементу bx00 соответствует элемент bx. Осталосьдоказать, что (x00 , y 00 ) = (x, y). В силу ортонормированности базиса (e00k )n и формулы(30 ): (x00 , y 00 ) = x1 y 1 + x2 y 2 + .
. . + xn y n . C другой стороны, в силу формулы (18), определяющей скалярное произведение в пространстве En , этому же выражению равноскалярное произведение (x, y). Теорема доказана.39Гл. 5. Линейные операторы в линейном конечномерном пространстве.§1. Основные понятия.Пусть Rn и Rk — линейные пространства над полем K, причем k ≤ n. Будемназывать оператором Â, действующим из Rn в Rk , соответствие вида Â : Rn →Rk , сопоставляющее каждому элементу x пространства Rn некоторый элемент yпространства Rk и обозначать символом y = Âx, при этом элемент x называетсяпрообразом, а соответствующий ему элемент y называется образом.О п р е д е л е н и е.
Оператор Â, действующий из Rn в Rk , называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства Rn и любого числа b изполя K1) Â(x1 + x2 ) = Â(x1 ) + Â(x2 ) (свойство аддитивности оператора)2) Â(bx1 ) = bÂ(x1 ) (свойство однородности оператора).З а м е ч а н и е 1. Если k = 1, то линейный оператор Â, действующий из Rn в R1называется линейной формой или линейным функционалом. Этому случаю посвящен§6 гл. 4.З а м е ч а н и е 2. Если пространство Rk совпадает с пространством Rn , то линейный оператор Â, действующий из Rn в Rn , называют также линейным преобразованием пространства Rn .Эта глава целиком будет посвящена последнему случаю, т.
е. линейному оператору, действующему из Rn в Rn . Так как в этом случае не возникает проблемыо том, куда и откуда действует оператор, то слова "действующий из Rn в Rn " заненадобностью будем опускать.П р и м е р ы.1. Нуль-оператор θ̂: для каждого x из R θ̂x = θ.2. Единичный или тождественный оператор Ê: для всех x из R Êx = x.3. Оператор умножения на число из поля K или оператор подобия: для каждогоx из R Âx = bx, где b — фиксированное число из K.4. Оператор поворота на угол φ0 в линейном пространстве V2 : для каждого вектора~a = {ρ, φ} Â~a = ~b = {ρ, φ + φ0 }.5. Оператор дифференцирования D̂, заданный в линейном пространстве непре1рывно дифференцируемых на сегменте [a, b] функций C[a,b], переводит элемен1ты этого пространства в элементы пространства C[a,b] : для каждого x(t) ∈ C[a,b]D̂x(t) = ẋ(t) ∈ C[a,b] .
Иными словами, оператор D̂ действует на подпростран1стве C[a,b]линейного пространства C[a,b] . Это единственный пример линейногооператора в бесконечномерном пространстве, который мы рассмотрели в нашемкурсе, ибо наша цель — изучить линейные операторы, действующие в линейномконечномерном пространстве.§2. Матрица линейного оператора.Пусть линейный оператор Â задан в линейном пространстве Rn , а (ep )n — некоторый базис в этом пространстве.
Оказывается, достаточно выяснить результат применения оператора  к базисным векторам, чтобы задать этот оператор во всем40пространстве Rn . Рассмотрим элементы Âep , p = 1, n. Разложим каждый из них побазису (ep )n :(1)Âep = ek akp , p = 1, n, k = 1, n.Матрица Ae = ||akp ||nn называется матрицей линейного оператора  в базисе (ep )n .Соотношение (1) запишем в матричной форме, воспользовавшись введенными в гл.2 обозначениями e = ||ep ||n , Âe = ||Âep ||n :Âe = eAe .(10 )Лемма 1 Если C = ||ckp ||nm , то Â(eC) = (Âe)C.Д о к а з а т е л ь с т в о. Â(eC) =(определение произведения матриц)= ·||ek ckp ||m =||Â(ek ckp )||m =(свойство 2) определения линейного оператора)= ||(Âek )ckp ||m = (определение произведения матриц)= (Âe)C.
Лемма доказана.Теорема 1 Пусть в базисе (ep )n линейного пространства Rn линейному оператору Â соответствует матрица Ae . Тогда, если элемент x из Rn имеет в этомбазисе координаты Xe = ||xp ||n , то его образ y = Âx будет иметь координаты,определяемые формулой:Ye = ||y p ||n = Ae Xe .(2)Д о к а з а т е л ь с т в о. Если x, y ∈ R, то по базису (ep )n они разложатся так:x = eXe , y = eYe . Тогда y = Âx запишется так: eYe = Â(eXe ) или в силу леммы 1 иформулы (10 ) eYe = eAe Xe .
Здесь слева и справа стоят разложения по базису (ep )nравных элементов. Поэтому в силу единственности разложения по базису имеем:Ye = Ae Xe .Теорема 2 Если (ep )n — базис в линейном пространстве Rn , то каждая n × nматрица Ae = ||akp ||nn является матрицей некоторого линейного оператора Â вэтом базисе.Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим оператор Â так: каждому x с координатами Xeставим в соответствие элемент y с координатами Ye , заданными равенством (2).а) Этот оператор линеен, так как элементы x + z и bx имеют в силу теоремы 9, гл.2, соответственно, координаты Xe + Ze , bXe и по формуле (2):Ae (Xe + Ze ) = Ae Xe + Ae Ze , т.
е. Â(x + z) = Âx + Ây,Ae (bXe ) = b(Ae Xe ), т. е. Â(bx) = b(Âx).б) Вычислим матрицу этого оператора в базисе (ep )n . С этой целью вычислим координаты элемента Âep и поставим их, как следует из определения матрицы оператора,в p-ый столбец матрицы. Тогда по формуле (2): (Âep )e = Ae ||δpi ||n = ||aki δpi ||n = ||akp ||n ,где ||δpi ||n — координаты ep в базисе (ei )n . Таким образом, матрица оператора в указанном базисе ||akp ||nn = Ae .
Теорема доказана.Объединяя теоремы 1 и 2, можно сделать вывод: при фиксированном базисе влинейном пространстве Rn существует взаимно однозначное соответствие междулинейными операторами и матрицами порядка n × n.П р и м е р ы.1. Матрица нуль-оператора θ̂ в любом базисе имеет вид: θe = ||0||nn .2. Матрица тождественного оператора Ê в любом базисе имеет вид: Ee = ||δkp ||nn .3. Матрица оператора подобия Â в любом базисе имеет вид: Ae = ||bδkp ||nn .414. Матрица поворота на угол α в линейном простанстве V3 для ортонормированного базиса ~e1 , ~e2 : Â~e1 = ~e1 cos α + ~e2 sin α, Â~e2 = −~e1 sin α + ~e2 cos α.
Такимобразом,!cos α − sin αAe =— ортогональная матрица.sin αcos α§3. Связь матриц оператора при переходе от одного базиса кдругому.Пусть в базисах (ep )n и (fp )n матрицами оператора Â будут матрицы Ae и Afcоответственно. Пусть P — матрица перехода от базиса (ep )n к базису (fp )n , т. е.f = eP . Имеем: Âf = Â(eP ) =(лемма 1)= (Âe)P = (формула (10 ))=e(Ae P ). С другойстороны, Âf = f Af = (eP )Af = e(P Af ). Таким образом, e(Ae P ) = e(P Af ), гдеслева и справа стоят разложения по базису (ep )n равных элементов. Поэтому в силуединственности разложения по базису Ae P = P Af .
Умножив это равенство на P −1слева, получимAf = P −1 Ae P.(3)Более тогоdet Af = det Ae ,(4)что следует из формулы (3), теоремы 5 гл. 4 курса аналитической геометрии и того,что det P · det P −1 = 1.§4. Действия над линейными операторами и соответствующиедействия над матрицами.Пусть в линейном пространстве Rn заданы базис (ep )n и линейные операторы Âи B̂.О п р е д е л е н и е. Операторы Â и B̂ называются равными, если для каждогоx из Rn Âx = B̂x.Утверждение 1 Если операторы равны, то в любом базисе равны матрицы этихоператоров.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как для любого x из Rn Âx = B̂x, то при x = epÂep = B̂ep , т. е. при p = 1, n последние равенства можно записать так: Âe = B̂e илипо формуле (10 ) eAe = eBe . Поэтому Ae = Be .О п р е д е л е н и е. Суммой любых двух линейных операторов Â, B̂ называется оператор Ĉ такой, что для любого x из Rn Ĉx = Âx + B̂x и обозначаетсясимволом Â + B̂.Утверждение 2 Если Â, B̂ — линейные операторы в линейном пространстве Rn ,то Â + B̂ — также линейный оператор в том же линейном пространстве.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ĉ = Â + B̂.
Надо доказать, что 1) для всех x, y изRn Ĉ(x + y) = Ĉx + Ĉy, 2) для любого x из Rn и любого b из поля K Ĉ(bx) = bĈx.Из определения суммы операторов следует, что для любого e из Rn Ĉe = Âe + B̂e.Поэтому, если e = x+y, то Ĉ(x+y) = Â(x+y)+B̂(x+y) =(из линейности Â, B̂)= Âx+Ây+B̂x+B̂y = (a.1, 2 линейного пространства)= (Âx+B̂x)+(Ây+B̂y) =(определениесуммы операторов)= (Â + B̂)x + (Â + B̂)y = Ĉx + Ĉy, т. е.
1) доказано. Аналогично, Ĉ(bx) =(определение суммы операторов)= Â(bx) + B̂(bx) =(линейность Â, B̂)42= bÂx + bB̂x =(a.8 линейного пространства)= b(Âx + B̂x) =(определение суммыоператоров)=b(Â + B̂)x = bĈx.Утверждение 3 Матрица суммы операторов Â, B̂ в любом базисе (ep )n равнасумме матриц операторов Â, B̂ в этом же базисе, т. е.Ce = (A + B)e = Ae + Be .Д о к а з а т е л ь с т в о. eCe =(формула (10 ))= Ĉe = ||Ĉep ||n = ||Âep + B̂ep ||n =||Âep ||n + ||B̂ep ||n = Âe + B̂e =(формула (10 ))= eAe + eBe = e(Ae + Be ).О п р е д е л е н и е.
Произведением оператора  на число b из K называется оператор Ĉ такой, что для каждого x из Rn Ĉx = b(Âx), и обозначаетсясимволом bÂ.Утверждение 4 Если  — линейный оператор, действующий в линейном пространстве Rn над полем K, а число b принадлежит K, то оператор b — линейный.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ĉ = bÂ. Тогда для любых x, y из Rn Ĉ(x + y) =b(Â(x + y)) = b(Âx + Ây) = b(Âx) + b(Ây) = Ĉx + Ĉy, т. е. первое требование линейности оператора выполнено. Теперь рассмотрим Ĉ(ax), где a ∈ K. Ĉ(ax) = b(Â(ax)) =(линейность Â) = b(aÂx) = (a.6 линейного пространства) = (ba)Âx = a(bÂx) = aĈx,т. е. и второе требование линейности оператора имеет место. Утверждение доказано.Утверждение 5 Матрица оператора b в любом базисе (ep )n равна матрице оператора  в этом же базисе, умноженной на число b, т.
е.(bA)e = bAe .Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ĉ = bÂ. Тогда eCe =(формула (10 ))= Ĉe = ||Ĉep ||n =||bÂep ||n = b||Âep ||n = b(Âe) =(формула (10 ))= beAe = ebAe . Поэтому Ce = bAe .Теорема 3 Множество всех линейных операторов, действующих в линейном пространстве Rn над полем K, с указанными операциями сложения и умножения начисло b из того же поля K образуют линейное пространство.Д о к а з а т е л ь с т в о. Надо проверить выполнение всех восьми аксиом линейного пространства.а.1) Â + B̂ = B̂ + Â. Из определения операции сложения операторов следует, что длявсякого x из Rn (Â + B̂)x = Âx + B̂x = y1 + y2 и (B̂ + Â)x = B̂x + Âx = y2 + y1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
