Главная » Просмотр файлов » Шишкин. Линейная алгебра (лекции)

Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 11

Файл №1113076 Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (Шишкин. Линейная алгебра (лекции)) 11 страницаШишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076) страница 112019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Осталось доказать единственность представления функционала Φ в виде скалярного произведения.Пусть возможны два представления: Φ(x) = (x, x0 ) = (x, y). Но тогда для любого xo oиз En (x, x0 ) − (x, y) = (a.1 , 2 ) = (x, x0 − y) = 0. В частности, при x = x0 − y имеемo(x0 − y, x0 − y), что в силу a.4 определения скалярного произведения возможно лишьпри x0 − y = θ, т. е. при x0 = y.

Из полученного противоречия с предположениемследует единственность представления. Теорема доказана.§7. Изоморфизм евклидовых пространств.По аналогии с изоморфизмом линейных пространств вводится понятие изоморфизма всех конечномерных евклидовых пространств.38О п р е д е л е н и е. Два евклидовых пространства En и En00 называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам пространства En x, yотвечают соответственно элементы x00 , y 00 пространства En00 , то элементу x + yиз En отвечает x00 + y 00 из En00 , а элементу bx (∀b ∈ K0 ) из En отвечает элементbx00 из En00 и, наконец, (x, y) = (x00 , y 00 ).Теорема 7 Все евклидовы пространства одной и той же размерности n изоморфны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что любое n-мерное евклидово пространство En00 изоморфно евклидову пространству En упорядоченных совокупностейn действительных чисел вида x = (x1 , x2 , . .

. , xn ) со скалярным произведением(x, y) = x1 y 1 + x2 y 2 + . . . + xn y n .(18)Согласно теореме 2 в En00 существует ортонормированный базис (e00k )n . Каждому элементу x00 = e00k xk пространства En00 поставим в соответствие n чисел x1 , x2 , . . . , xn— координат этого элемента в базисе (ek )n , т. е. вполне определенный элементx = (x1 , x2 , . . . , xn ) пространства En .

Установленное соответствие взаимно однозначно. Кроме того, из теоремы 9 гл. 2 следует, что если элементам x00 , y 00 из En00 , имеющимв базисе (e00k )n координаты Xe = ||xk ||n , Ye = ||y k ||n , отвечают соответственно элементы x = (x1 , x2 , . .

. , xn ) и y = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) пространства En , то элементу x00 + y 00соответствует элемент x + y, а элементу bx00 соответствует элемент bx. Осталосьдоказать, что (x00 , y 00 ) = (x, y). В силу ортонормированности базиса (e00k )n и формулы(30 ): (x00 , y 00 ) = x1 y 1 + x2 y 2 + .

. . + xn y n . C другой стороны, в силу формулы (18), определяющей скалярное произведение в пространстве En , этому же выражению равноскалярное произведение (x, y). Теорема доказана.39Гл. 5. Линейные операторы в линейном конечномерном пространстве.§1. Основные понятия.Пусть Rn и Rk — линейные пространства над полем K, причем k ≤ n. Будемназывать оператором Â, действующим из Rn в Rk , соответствие вида Â : Rn →Rk , сопоставляющее каждому элементу x пространства Rn некоторый элемент yпространства Rk и обозначать символом y = Âx, при этом элемент x называетсяпрообразом, а соответствующий ему элемент y называется образом.О п р е д е л е н и е.

Оператор Â, действующий из Rn в Rk , называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства Rn и любого числа b изполя K1) Â(x1 + x2 ) = Â(x1 ) + Â(x2 ) (свойство аддитивности оператора)2) Â(bx1 ) = bÂ(x1 ) (свойство однородности оператора).З а м е ч а н и е 1. Если k = 1, то линейный оператор Â, действующий из Rn в R1называется линейной формой или линейным функционалом. Этому случаю посвящен§6 гл. 4.З а м е ч а н и е 2. Если пространство Rk совпадает с пространством Rn , то линейный оператор Â, действующий из Rn в Rn , называют также линейным преобразованием пространства Rn .Эта глава целиком будет посвящена последнему случаю, т.

е. линейному оператору, действующему из Rn в Rn . Так как в этом случае не возникает проблемыо том, куда и откуда действует оператор, то слова "действующий из Rn в Rn " заненадобностью будем опускать.П р и м е р ы.1. Нуль-оператор θ̂: для каждого x из R θ̂x = θ.2. Единичный или тождественный оператор Ê: для всех x из R Êx = x.3. Оператор умножения на число из поля K или оператор подобия: для каждогоx из R Âx = bx, где b — фиксированное число из K.4. Оператор поворота на угол φ0 в линейном пространстве V2 : для каждого вектора~a = {ρ, φ} Â~a = ~b = {ρ, φ + φ0 }.5. Оператор дифференцирования D̂, заданный в линейном пространстве непре1рывно дифференцируемых на сегменте [a, b] функций C[a,b], переводит элемен1ты этого пространства в элементы пространства C[a,b] : для каждого x(t) ∈ C[a,b]D̂x(t) = ẋ(t) ∈ C[a,b] .

Иными словами, оператор D̂ действует на подпростран1стве C[a,b]линейного пространства C[a,b] . Это единственный пример линейногооператора в бесконечномерном пространстве, который мы рассмотрели в нашемкурсе, ибо наша цель — изучить линейные операторы, действующие в линейномконечномерном пространстве.§2. Матрица линейного оператора.Пусть линейный оператор Â задан в линейном пространстве Rn , а (ep )n — некоторый базис в этом пространстве.

Оказывается, достаточно выяснить результат применения оператора  к базисным векторам, чтобы задать этот оператор во всем40пространстве Rn . Рассмотрим элементы Âep , p = 1, n. Разложим каждый из них побазису (ep )n :(1)Âep = ek akp , p = 1, n, k = 1, n.Матрица Ae = ||akp ||nn называется матрицей линейного оператора  в базисе (ep )n .Соотношение (1) запишем в матричной форме, воспользовавшись введенными в гл.2 обозначениями e = ||ep ||n , Âe = ||Âep ||n :Âe = eAe .(10 )Лемма 1 Если C = ||ckp ||nm , то Â(eC) = (Âe)C.Д о к а з а т е л ь с т в о. Â(eC) =(определение произведения матриц)= ·||ek ckp ||m =||Â(ek ckp )||m =(свойство 2) определения линейного оператора)= ||(Âek )ckp ||m = (определение произведения матриц)= (Âe)C.

Лемма доказана.Теорема 1 Пусть в базисе (ep )n линейного пространства Rn линейному оператору Â соответствует матрица Ae . Тогда, если элемент x из Rn имеет в этомбазисе координаты Xe = ||xp ||n , то его образ y = Âx будет иметь координаты,определяемые формулой:Ye = ||y p ||n = Ae Xe .(2)Д о к а з а т е л ь с т в о. Если x, y ∈ R, то по базису (ep )n они разложатся так:x = eXe , y = eYe . Тогда y = Âx запишется так: eYe = Â(eXe ) или в силу леммы 1 иформулы (10 ) eYe = eAe Xe .

Здесь слева и справа стоят разложения по базису (ep )nравных элементов. Поэтому в силу единственности разложения по базису имеем:Ye = Ae Xe .Теорема 2 Если (ep )n — базис в линейном пространстве Rn , то каждая n × nматрица Ae = ||akp ||nn является матрицей некоторого линейного оператора Â вэтом базисе.Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим оператор Â так: каждому x с координатами Xeставим в соответствие элемент y с координатами Ye , заданными равенством (2).а) Этот оператор линеен, так как элементы x + z и bx имеют в силу теоремы 9, гл.2, соответственно, координаты Xe + Ze , bXe и по формуле (2):Ae (Xe + Ze ) = Ae Xe + Ae Ze , т.

е. Â(x + z) = Âx + Ây,Ae (bXe ) = b(Ae Xe ), т. е. Â(bx) = b(Âx).б) Вычислим матрицу этого оператора в базисе (ep )n . С этой целью вычислим координаты элемента Âep и поставим их, как следует из определения матрицы оператора,в p-ый столбец матрицы. Тогда по формуле (2): (Âep )e = Ae ||δpi ||n = ||aki δpi ||n = ||akp ||n ,где ||δpi ||n — координаты ep в базисе (ei )n . Таким образом, матрица оператора в указанном базисе ||akp ||nn = Ae .

Теорема доказана.Объединяя теоремы 1 и 2, можно сделать вывод: при фиксированном базисе влинейном пространстве Rn существует взаимно однозначное соответствие междулинейными операторами и матрицами порядка n × n.П р и м е р ы.1. Матрица нуль-оператора θ̂ в любом базисе имеет вид: θe = ||0||nn .2. Матрица тождественного оператора Ê в любом базисе имеет вид: Ee = ||δkp ||nn .3. Матрица оператора подобия Â в любом базисе имеет вид: Ae = ||bδkp ||nn .414. Матрица поворота на угол α в линейном простанстве V3 для ортонормированного базиса ~e1 , ~e2 : Â~e1 = ~e1 cos α + ~e2 sin α, Â~e2 = −~e1 sin α + ~e2 cos α.

Такимобразом,!cos α − sin αAe =— ортогональная матрица.sin αcos α§3. Связь матриц оператора при переходе от одного базиса кдругому.Пусть в базисах (ep )n и (fp )n матрицами оператора Â будут матрицы Ae и Afcоответственно. Пусть P — матрица перехода от базиса (ep )n к базису (fp )n , т. е.f = eP . Имеем: Âf = Â(eP ) =(лемма 1)= (Âe)P = (формула (10 ))=e(Ae P ). С другойстороны, Âf = f Af = (eP )Af = e(P Af ). Таким образом, e(Ae P ) = e(P Af ), гдеслева и справа стоят разложения по базису (ep )n равных элементов. Поэтому в силуединственности разложения по базису Ae P = P Af .

Умножив это равенство на P −1слева, получимAf = P −1 Ae P.(3)Более тогоdet Af = det Ae ,(4)что следует из формулы (3), теоремы 5 гл. 4 курса аналитической геометрии и того,что det P · det P −1 = 1.§4. Действия над линейными операторами и соответствующиедействия над матрицами.Пусть в линейном пространстве Rn заданы базис (ep )n и линейные операторы Âи B̂.О п р е д е л е н и е. Операторы Â и B̂ называются равными, если для каждогоx из Rn Âx = B̂x.Утверждение 1 Если операторы равны, то в любом базисе равны матрицы этихоператоров.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как для любого x из Rn Âx = B̂x, то при x = epÂep = B̂ep , т. е. при p = 1, n последние равенства можно записать так: Âe = B̂e илипо формуле (10 ) eAe = eBe . Поэтому Ae = Be .О п р е д е л е н и е. Суммой любых двух линейных операторов Â, B̂ называется оператор Ĉ такой, что для любого x из Rn Ĉx = Âx + B̂x и обозначаетсясимволом Â + B̂.Утверждение 2 Если Â, B̂ — линейные операторы в линейном пространстве Rn ,то Â + B̂ — также линейный оператор в том же линейном пространстве.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ĉ = Â + B̂.

Надо доказать, что 1) для всех x, y изRn Ĉ(x + y) = Ĉx + Ĉy, 2) для любого x из Rn и любого b из поля K Ĉ(bx) = bĈx.Из определения суммы операторов следует, что для любого e из Rn Ĉe = Âe + B̂e.Поэтому, если e = x+y, то Ĉ(x+y) = Â(x+y)+B̂(x+y) =(из линейности Â, B̂)= Âx+Ây+B̂x+B̂y = (a.1, 2 линейного пространства)= (Âx+B̂x)+(Ây+B̂y) =(определениесуммы операторов)= (Â + B̂)x + (Â + B̂)y = Ĉx + Ĉy, т. е.

1) доказано. Аналогично, Ĉ(bx) =(определение суммы операторов)= Â(bx) + B̂(bx) =(линейность Â, B̂)42= bÂx + bB̂x =(a.8 линейного пространства)= b(Âx + B̂x) =(определение суммыоператоров)=b(Â + B̂)x = bĈx.Утверждение 3 Матрица суммы операторов Â, B̂ в любом базисе (ep )n равнасумме матриц операторов Â, B̂ в этом же базисе, т. е.Ce = (A + B)e = Ae + Be .Д о к а з а т е л ь с т в о. eCe =(формула (10 ))= Ĉe = ||Ĉep ||n = ||Âep + B̂ep ||n =||Âep ||n + ||B̂ep ||n = Âe + B̂e =(формула (10 ))= eAe + eBe = e(Ae + Be ).О п р е д е л е н и е.

Произведением оператора  на число b из K называется оператор Ĉ такой, что для каждого x из Rn Ĉx = b(Âx), и обозначаетсясимволом bÂ.Утверждение 4 Если  — линейный оператор, действующий в линейном пространстве Rn над полем K, а число b принадлежит K, то оператор b — линейный.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ĉ = bÂ. Тогда для любых x, y из Rn Ĉ(x + y) =b(Â(x + y)) = b(Âx + Ây) = b(Âx) + b(Ây) = Ĉx + Ĉy, т. е. первое требование линейности оператора выполнено. Теперь рассмотрим Ĉ(ax), где a ∈ K. Ĉ(ax) = b(Â(ax)) =(линейность Â) = b(aÂx) = (a.6 линейного пространства) = (ba)Âx = a(bÂx) = aĈx,т. е. и второе требование линейности оператора имеет место. Утверждение доказано.Утверждение 5 Матрица оператора b в любом базисе (ep )n равна матрице оператора  в этом же базисе, умноженной на число b, т.

е.(bA)e = bAe .Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ĉ = bÂ. Тогда eCe =(формула (10 ))= Ĉe = ||Ĉep ||n =||bÂep ||n = b||Âep ||n = b(Âe) =(формула (10 ))= beAe = ebAe . Поэтому Ce = bAe .Теорема 3 Множество всех линейных операторов, действующих в линейном пространстве Rn над полем K, с указанными операциями сложения и умножения начисло b из того же поля K образуют линейное пространство.Д о к а з а т е л ь с т в о. Надо проверить выполнение всех восьми аксиом линейного пространства.а.1) Â + B̂ = B̂ + Â. Из определения операции сложения операторов следует, что длявсякого x из Rn (Â + B̂)x = Âx + B̂x = y1 + y2 и (B̂ + Â)x = B̂x + Âx = y2 + y1 .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
431,69 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее