Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Но в начале докажем одно вспомогательное утверждение.Лемма 2 Изоморфизм Γ : R → R0 переводит нулевой элемент θ пространства Rв нулевой элемент θ0 пространства R0 .Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения изоморфизма следует, что ∀b ∈ K Γ(bx) =bΓ(x). В частности, при b = 0 Γ(0 · x) = 0 · Γ(x). Но по теореме 3 а) 0 · x = θ ∈ R,так как x ∈ R, б) 0 · Γ(x) = θ0 ∈ R0 , так как Γ(x) ∈ R. Поэтому Γ(θ) = θ0 . Что итребовалось доказать.23Теорема 15 Все линейные пространства одной и той же размерности n изоморфны между собой.Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что любое линейное пространствоRn изоморфно линейному пространству Tn , элементами которого являются матрицыстолбцы ||xp ||n высоты n.
Пусть (ek )n — базис в линейном пространстве Rn . Тогдакаждый элемент x из Rn имеет в этом базисе разложение: x = ek xk . Каждомуэлементу x из Rn поставим в соответствие n действительных чисел x1 , x2 , . . . , xn— координат этого элемента в базисе (ek )n , т. е. вполне определенный элемент x0 =||xk ||n пространства Tn . Установленное соответствие взаимно однозначно. Более того,если элементам x = ek xk , y = ek y k из Rn отвечают соответственно столбцы x0 =||xk ||n , y 0 = ||y k ||n из Tn , то в силу теоремы 9 элементу x + y из Rn соответствуетстолбец ||xk + y k ||n , т.
е. элемент x0 + y 0 из Tn , а элементу bx из Rn соответствуетстолбец ||bxk ||n , т. е. элемент bx0 из Tn . Теорема доказана.Теорема 16 Любые два линейных пространства разных размерностей не изоморфны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим линейные пространства Rn и Rm . Пусть m <n. В пространстве Rn существуют n линейно независимых элементов e1 , e2 , . . . , en .Если бы существовал изоморфизм, то элементы e1 , e2 , . . . , en перешли бы в n элементов φ1 , φ2 , . .
. , φn пространства Rm , которые необходимо были бы зависимыми, ибочисло элементов n больше размерности линейного пространства Rm . Постольку всилу леммы 2 при изоморфизме нулевой элемент переходит в нулевой элемент, торавной нулевому элементу линейной комбинации образов φk ck , k = 1, n, где не всеck равны нулю, должна соответствовать равная нулевому элементу линейная комбинация прообразов ek ck , k = 1, n, что противоречит предположению об их линейнойнезависимости. Теорема доказана.24Гл.
3. Система линейных уравнений.§1. Критерий совместности общей линейной системы уравнений.Рассмотрим линейную систему m уравнений с n неизвестными:AX = B,(1)p np mгде A = ||apk ||mn , X = ||x || , B = ||b || . Матрица A называется основной матрицейсистемы. Если в матрице A добавить еще один столбец B, то получим матрицу A∗ ,называемую расширенной матрицей системы (1).Теорема 1 (Кронекера-Капелли) Для того чтобы система (1) была совместна,необходимо и достаточно, чтобы rang A = rang A∗ .Н е о б х о д и м о с т ь.
Пусть система (1) совместна, т. е. существуют числа c1 , c2 ,. . . , cn , которые при подстановке в систему (1) обращают все уравнения в верныеравенства. Эти равенства означают, что столбец свободных членов B есть линейнаякомбинация столбцов матрицы A, т. е. этот столбец можно вычеркнуть из матрицыoA∗ (элементарная операция 5 , §9, гл. 2), не изменив при этом ранга. Таким образом,rang A = rang A∗ .Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть rang A = rang A∗ . Тогда базисный минор матрицыA является базисным минором матрицы A∗ . Следовательно, по теореме о базисномминоре столбец свободных членов B есть линейная комбинация базисных столбцов,а значит и всех столбцов матрицы A с числовыми коэффициентами c1 , c2 , . . . , cn .
Этичисла и являются решением системы. Теорема доказана.§2. Однородные линейные системы уравнений.Однородная система уравнений в матричной форме записывается так:AX = θ,(2)где A, X те же что и в §1, а θ — нулевой столбец высоты m. Пусть rang A = r.Как следует из теоремы 4 гл. 1, система (2) нетривиально совместна при r < n.Заметим, что всякое решение ||cp ||n системы (2) является элементом пространстваTn .
Очевидно, что не всякий элемент пространства Tn является решением системы(2). Таким образом, множество M всех решений стстемы (2) образует подмножествомножества всех элементов линейного пространства Tn . Операции сложения и умножения на число, введенные в пространстве Tn , корректны на множестве M , т. е. а)∀X, Y — решений системы (2) X + Y тоже решение (2), т. е. X + Y ∈ M ; б) ∀b ∈ Kи ∀X ∈ M bX ∈ M , так как bX — решение системы (2).Итак, множество M всех решений системы (2) с указанными линейными операциями является подпространством линейного пространства Tn .
Осталось определитьего размерность.О п р е д е л е н и е. Фундаментальной совокупностью решений (ФСР) системы (2) называется базис в пространстве решений.Иными словами ФСР — максимальное число линейно независимых решений. Таккак в любом линейном пространстве базисов бесконечно много, то и ФСР такжебесконечно много. Если выбрана какая-либо ФСР, то любое решение системы (2)есть некоторая линейная комбинация решений из ФСР и обратно, так как ФСР —25базис в пространстве решений, то любая линейная комбинация решений из ФСР —решение системы (2). Поэтому, чтобы найти всю совокупность решений системы (2),достаточно построить ФСР. Число решений в ФСР определит согласно теореме 11размерность пространства решений.Будем считать, не умаляя общности рассуждений, что базисный минор Mb находится в левом верхнем углу матрицы A, т.
е. Mb = det ||apk ||rr . В матрице A = ||apk ||mnкаждая из последних m − r строк есть линейная комбинация базисных строк, т. е.первых r строк. Поэтому в системе (2) последние m − r уравнений являются следствием первых r. Значит, последние m − r уравнений из системы (2) можно убратьи решать систему лишь из r первых уравнений. Кроме того, в левой части системыоставим лишь r первых неизвестных, а последние n−r неизвестных перенесем в правую часть уравнений, задав их произвольным образом, т.
е. xr+1 = cr+1 , . . . , xn = cn .Итак, система (2) примет вид:apk xk = −ape ce , p = 1, r, k = 1, r, e = r + 1, n.(3)Система (3) — система r уравнений с r неизвестными и определителем Mb 6= 0. Такимобразом, если фиксированы значения cr+1 , . . . , cn , то система (3) имеет единственноерешение, определяемое формулами Крамера. Будем задавать значения cr+1 , . . . , cn согласно ниже приведенной таблицы:c1n−rc12c11 ... ... ... 12n−r ... ... ... r+1c10...
0 cr cr cr n−2 2 1 r+2 , . . . , Yn−r = ⇒ Y1 = , Y2 = c01... 0 0 0 1 ...... ... ... ... 0 1 0 cn00... 1 ... ... ... 100pт. е. каждому набору значений c будет соответствовать решение системы (2), причемэти решения Y1 , Y2 , . . . , Yn−r линейно независимы, ибо ранг матрицы, составленнойиз этих столбцов, равен n − r. Чтобы убедиться в том, что построенное множестворешений образует базис в пространстве решений, достаточно показать, что любое решение X ∗ = ||ck ||n системы (2) является линейной комбинацией указанных решений.Рассмотрим линейную комбинациюX = Yk ck+r , k = 1, n − r,(4)где c1+r , . .
. , cn — (n − r) последних координат решения X ∗ . Так как у X и X ∗ последние n − r координат совпадают, то это означает, что они удовлетворяют системе(3) с одной и той же правой частью. А так как система (3) при этом имеет единственное решение, то X = X ∗ . Таким образом, доказано, что Y1 , Y2 , . . . , Yn−r — ФСРи по теореме 11 размерность пространства решений системы (2) равна n − r.З а м е ч а н и е 1. Способ построения ФСР, приведенный выше, где все свободные члены полагались равными нулю, кроме одного, равного 1, дает особую ФСР,именуемую нормальной.
Очевидно, значения cr+1 , . . . , cn можно задавать иначе, получая другие ФСР.З а м е ч а н и е 2. Формула (4) при условии, что в ней cr+1 , . . . , cn принимаютлюбые значения от −∞ до ∞ независимо друг от друга, определяет всю совокупность решений системы (2). Отсюда следует, что множество решений системы (2) —линейная оболочка, натянутая на порождающую систему векторов Y1 , Y2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
