Главная » Просмотр файлов » Шишкин. Линейная алгебра (лекции)

Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 7

Файл №1113076 Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (Шишкин. Линейная алгебра (лекции)) 7 страницаШишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076) страница 72019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Но в начале докажем одно вспомогательное утверждение.Лемма 2 Изоморфизм Γ : R → R0 переводит нулевой элемент θ пространства Rв нулевой элемент θ0 пространства R0 .Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения изоморфизма следует, что ∀b ∈ K Γ(bx) =bΓ(x). В частности, при b = 0 Γ(0 · x) = 0 · Γ(x). Но по теореме 3 а) 0 · x = θ ∈ R,так как x ∈ R, б) 0 · Γ(x) = θ0 ∈ R0 , так как Γ(x) ∈ R. Поэтому Γ(θ) = θ0 . Что итребовалось доказать.23Теорема 15 Все линейные пространства одной и той же размерности n изоморфны между собой.Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что любое линейное пространствоRn изоморфно линейному пространству Tn , элементами которого являются матрицыстолбцы ||xp ||n высоты n.

Пусть (ek )n — базис в линейном пространстве Rn . Тогдакаждый элемент x из Rn имеет в этом базисе разложение: x = ek xk . Каждомуэлементу x из Rn поставим в соответствие n действительных чисел x1 , x2 , . . . , xn— координат этого элемента в базисе (ek )n , т. е. вполне определенный элемент x0 =||xk ||n пространства Tn . Установленное соответствие взаимно однозначно. Более того,если элементам x = ek xk , y = ek y k из Rn отвечают соответственно столбцы x0 =||xk ||n , y 0 = ||y k ||n из Tn , то в силу теоремы 9 элементу x + y из Rn соответствуетстолбец ||xk + y k ||n , т.

е. элемент x0 + y 0 из Tn , а элементу bx из Rn соответствуетстолбец ||bxk ||n , т. е. элемент bx0 из Tn . Теорема доказана.Теорема 16 Любые два линейных пространства разных размерностей не изоморфны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим линейные пространства Rn и Rm . Пусть m <n. В пространстве Rn существуют n линейно независимых элементов e1 , e2 , . . . , en .Если бы существовал изоморфизм, то элементы e1 , e2 , . . . , en перешли бы в n элементов φ1 , φ2 , . .

. , φn пространства Rm , которые необходимо были бы зависимыми, ибочисло элементов n больше размерности линейного пространства Rm . Постольку всилу леммы 2 при изоморфизме нулевой элемент переходит в нулевой элемент, торавной нулевому элементу линейной комбинации образов φk ck , k = 1, n, где не всеck равны нулю, должна соответствовать равная нулевому элементу линейная комбинация прообразов ek ck , k = 1, n, что противоречит предположению об их линейнойнезависимости. Теорема доказана.24Гл.

3. Система линейных уравнений.§1. Критерий совместности общей линейной системы уравнений.Рассмотрим линейную систему m уравнений с n неизвестными:AX = B,(1)p np mгде A = ||apk ||mn , X = ||x || , B = ||b || . Матрица A называется основной матрицейсистемы. Если в матрице A добавить еще один столбец B, то получим матрицу A∗ ,называемую расширенной матрицей системы (1).Теорема 1 (Кронекера-Капелли) Для того чтобы система (1) была совместна,необходимо и достаточно, чтобы rang A = rang A∗ .Н е о б х о д и м о с т ь.

Пусть система (1) совместна, т. е. существуют числа c1 , c2 ,. . . , cn , которые при подстановке в систему (1) обращают все уравнения в верныеравенства. Эти равенства означают, что столбец свободных членов B есть линейнаякомбинация столбцов матрицы A, т. е. этот столбец можно вычеркнуть из матрицыoA∗ (элементарная операция 5 , §9, гл. 2), не изменив при этом ранга. Таким образом,rang A = rang A∗ .Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть rang A = rang A∗ . Тогда базисный минор матрицыA является базисным минором матрицы A∗ . Следовательно, по теореме о базисномминоре столбец свободных членов B есть линейная комбинация базисных столбцов,а значит и всех столбцов матрицы A с числовыми коэффициентами c1 , c2 , . . . , cn .

Этичисла и являются решением системы. Теорема доказана.§2. Однородные линейные системы уравнений.Однородная система уравнений в матричной форме записывается так:AX = θ,(2)где A, X те же что и в §1, а θ — нулевой столбец высоты m. Пусть rang A = r.Как следует из теоремы 4 гл. 1, система (2) нетривиально совместна при r < n.Заметим, что всякое решение ||cp ||n системы (2) является элементом пространстваTn .

Очевидно, что не всякий элемент пространства Tn является решением системы(2). Таким образом, множество M всех решений стстемы (2) образует подмножествомножества всех элементов линейного пространства Tn . Операции сложения и умножения на число, введенные в пространстве Tn , корректны на множестве M , т. е. а)∀X, Y — решений системы (2) X + Y тоже решение (2), т. е. X + Y ∈ M ; б) ∀b ∈ Kи ∀X ∈ M bX ∈ M , так как bX — решение системы (2).Итак, множество M всех решений системы (2) с указанными линейными операциями является подпространством линейного пространства Tn .

Осталось определитьего размерность.О п р е д е л е н и е. Фундаментальной совокупностью решений (ФСР) системы (2) называется базис в пространстве решений.Иными словами ФСР — максимальное число линейно независимых решений. Таккак в любом линейном пространстве базисов бесконечно много, то и ФСР такжебесконечно много. Если выбрана какая-либо ФСР, то любое решение системы (2)есть некоторая линейная комбинация решений из ФСР и обратно, так как ФСР —25базис в пространстве решений, то любая линейная комбинация решений из ФСР —решение системы (2). Поэтому, чтобы найти всю совокупность решений системы (2),достаточно построить ФСР. Число решений в ФСР определит согласно теореме 11размерность пространства решений.Будем считать, не умаляя общности рассуждений, что базисный минор Mb находится в левом верхнем углу матрицы A, т.

е. Mb = det ||apk ||rr . В матрице A = ||apk ||mnкаждая из последних m − r строк есть линейная комбинация базисных строк, т. е.первых r строк. Поэтому в системе (2) последние m − r уравнений являются следствием первых r. Значит, последние m − r уравнений из системы (2) можно убратьи решать систему лишь из r первых уравнений. Кроме того, в левой части системыоставим лишь r первых неизвестных, а последние n−r неизвестных перенесем в правую часть уравнений, задав их произвольным образом, т.

е. xr+1 = cr+1 , . . . , xn = cn .Итак, система (2) примет вид:apk xk = −ape ce , p = 1, r, k = 1, r, e = r + 1, n.(3)Система (3) — система r уравнений с r неизвестными и определителем Mb 6= 0. Такимобразом, если фиксированы значения cr+1 , . . . , cn , то система (3) имеет единственноерешение, определяемое формулами Крамера. Будем задавать значения cr+1 , . . . , cn согласно ниже приведенной таблицы:c1n−rc12c11 ...  ...  ... 12n−r ...  ...  ... r+1c10...

0 cr cr  cr  n−2  2  1 r+2 , . . . , Yn−r = ⇒ Y1 =  , Y2 = c01... 0 0  0  1 ...... ... ... ... 0  1  0 cn00... 1 ...  ...  ... 100pт. е. каждому набору значений c будет соответствовать решение системы (2), причемэти решения Y1 , Y2 , . . . , Yn−r линейно независимы, ибо ранг матрицы, составленнойиз этих столбцов, равен n − r. Чтобы убедиться в том, что построенное множестворешений образует базис в пространстве решений, достаточно показать, что любое решение X ∗ = ||ck ||n системы (2) является линейной комбинацией указанных решений.Рассмотрим линейную комбинациюX = Yk ck+r , k = 1, n − r,(4)где c1+r , . .

. , cn — (n − r) последних координат решения X ∗ . Так как у X и X ∗ последние n − r координат совпадают, то это означает, что они удовлетворяют системе(3) с одной и той же правой частью. А так как система (3) при этом имеет единственное решение, то X = X ∗ . Таким образом, доказано, что Y1 , Y2 , . . . , Yn−r — ФСРи по теореме 11 размерность пространства решений системы (2) равна n − r.З а м е ч а н и е 1. Способ построения ФСР, приведенный выше, где все свободные члены полагались равными нулю, кроме одного, равного 1, дает особую ФСР,именуемую нормальной.

Очевидно, значения cr+1 , . . . , cn можно задавать иначе, получая другие ФСР.З а м е ч а н и е 2. Формула (4) при условии, что в ней cr+1 , . . . , cn принимаютлюбые значения от −∞ до ∞ независимо друг от друга, определяет всю совокупность решений системы (2). Отсюда следует, что множество решений системы (2) —линейная оболочка, натянутая на порождающую систему векторов Y1 , Y2 , .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
431,69 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее