Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Если n = 1, т. е. имееммножество столбцов одной высоты k, то линейное пространство обозначаетсяTk , его элементы называются векторами, а элементы столбца — координатамивектора.4) Множество V3 всех свободных векторов в пространстве с двумя линейнымиоперациями (выполнение 8 аксиом доказано в курсе аналитической геометрии).5) В математическом анализе рассматривается множество всех непрерывных насегменте [a, b] функций с обычными операциями сложения и умножения начисло (здесь θ есть функция, тождественно равная нулю на всем сегменте).Это линейное пространство обозначается символом C[a,b] .6) C[a,b] — то же, что в 5), но функции имеют k непрерывных производных насегменте [a, b].7) Рассмотрим множество R векторов на плоскости, начала которых совпадают сначалом координат, введенных на плоскости, а концы — в пределах первогоквадранта.

Будет ли такое множество векторов с обычными линейными операциями образовывать линейное пространство? Ответ: нет, так как, например,некорректна операция умножения вектора на число — при умножении векторана -1 получаем вектор, не принадлежащий рассматриваемому множеству.8) Образует ли линейное пространство множество столбцов высоты n, у каждогоиз которых совпадает первая и последняя координаты? Ответ: да.Н а д о м:1) Образуют ли линейное пространство множество всех векторов на плоскостиза исключением векторов, параллельных некоторой фиксированной прямой, собычными линейными операциями над векторами? Ответ: нет (некорректнаяоперация сложения)2) Рассмотрите множества векторов с обычными операциями сложения и умножения на число x = (a, b, c) таких, что а) a = 0, б) a = 0 или b = 0, в)a + b = 0, г) a + b = 1.

В каком из этих случаев совокупность будет линейнымпространством? Ответ: а) да, б) нет, в) да, г) нет.§2. Некоторые простейшие свойства линейных пространств.Из а.1) - а.8) можно получить следующие теоремы.Теорема 1 В любом линейном пространстве существует единственный нулевойэлемент.12Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование хотя бы одного нулевого элемента утверждает а.3). Предположим, что таких элементов два: θ1 и θ2 . Положим в а.3) x = θ1и θ = θ2 . Тогда θ1 + θ2 = θ1 .

Полагая в той же аксиоме x = θ2 и θ = θ1 , получимθ2 + θ1 = θ2 . Так как по а.1) θ1 + θ2 = θ2 + θ1 , то θ1 = θ2 . Что и требовалось доказать.Теорема 2 В любом линейном пространстве для каждого элемента существуетединственный противоположный элемент.Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование хотя бы одного противоположного элемента утверждает а.4). Пусть для некоторого элемента x имеются два противоположных элемента x01 и x02 . Рассмотрим сумму x + x01 + x02 . С одной стороны,x + x01 + x02 = (x + x01 ) + x02 = (по а.4)) = θ + x02 = (по а.1)) = x02 + θ = x02 .

Сдругой стороны, x + x01 + x02 = (по а.1)) = x01 + x + x02 = (по а.2)) = x01 + (x + x02 ) = (поа.4)) = x01 + θ = (по а.3))= x01 . Отсюда следует, что x01 = x02 . Теорема доказана.Теорема 3 Для любого элемента x линейного пространства имеет место равенство 0 · x = θ.Д о к а з а т е л ь с т в о. x = (по а.5)) = 1 · x = (1 + 0)x = (по а.7)) = 1 · x + 0 · x =(по а.5)) = x + 0 · x, т. е.

x = x + 0 · x. Прибавляя к обеим частям противоположныйэлемент x0 для x, найдем x + x0 = x + 0 · x + x0 . По а.1) и а.4): θ = 0 · x + θ = 0 · x.Теорема 4 Для любого элемента x линейного пространства противоположныйэлемент есть элемент (−1)x, т. е. x0 = (−1)x.Д о к а з а т е л ь с т в о. x + (−1)x = (по а.5)) = 1 · x + (−1)x = (по а.7)) =(1 − 1)x = 0 · x = (по т.3) = θ, т. е. элемент (−1)x удовлетворяет а.4), т. е. являетсяпротивоположным для x.Обозначим (−1)x = −x. Теперь можно ввести понятие разности элементов линейного пространства: x − y = x + y 0 = x + (−y), т.

е. разность элементов x и y естьсумма x и противоположного к y элемента.Н а д о м: Доказать, что 1) a · θ = θ, 2) −θ = θ.Р е ш е н и е. ∀a ∈ K, ∀x ∈ R ax = (a.3)) = a(x + θ) = (а.8)) = ax + aθ, т. е.ax = ax + aθ . Добавим к обеим частям последнего равенства элемент −ax. В силуа.1), а.4) имеем θ = aθ. В частности, при a = −1 имеем: θ = −θ.§3. Линейная зависимость элементов линейного пространства.Пусть x1 , x2 , .

. . , xn — элементы линейного пространства R, c1 , c2 , . . . , cn — числаиз K.О п р е д е л е н и е. Элемент y = xk ck называется линейной комбинацией элементов x1 , x2 , . . . , xn с коэффициентами c1 , c2 , . . . , cn .Если c1 = c2 = . . . = cn = 0, то в силу теоремы 3 и а.3) y = θ.О п р е д е л е н и е. Элементы x1 , x2 , .

. . , xn называются линейно зависимыми,если некоторая их линейная комбинациями, не все коэффициенты которой равнынулю, дает элемент θ.О п р е д е л е н и е. Элементы x1 , x2 , . . . , xn называются линейно независимыми, если xk ck = θ тогда и только тогда, когда все ck = 0, k = 1, n.Все эти определения дословно повторяют аналогичные определения, которые были даны для векторов в векторной алгебре и для столбцов в §3 гл. 1 нашего курса.Только теперь природа элементов не конкретизируется.13Теорема 5 Для того чтобы элементы x1 , x2 , . . . , xn были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством теоремы 1 §3 Гл.

1.Легко доказываются следующие теоремы.Теорема 6 Если к элементам x1 , x2 , . . . , xn добавить нулевой элемент θ, то элементы x1 , x2 , . . . , xn , θ линейно зависимы.Для доказательства достаточно в линейной комбинации n + 1 элементов положитьc1 = c2 = . . . = cn = 0, cn+1 = 1.Теорема 7 Если элементы x1 , x2 , . . .

, xn линейно зависимы, то элементы x1 , x2 , . . . ,xn , xn+1 , . . . , xk так же линейно зависимы.П р и м е р ы.1 01) В пространстве Tn : e1 =  . .0kk nмы, так как y = ek c = ||c ||, e2 = 01..0= θ = ||0||n0 0 , . . . , en =  .  линейно независи .

1только тогда, когда все ck = 0, k = 1, n.2) Элементы пространства Amn:1 0 0 ... 00 1 0 ... 0 0 00 0 ... 0 0 0 ... 0 , e2 = E21 = e1 = E11 =  ... ... ... ... ...  ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 00 0 0 ... 00 0 0 ... 0 00 0 ... 0 . . . , em×n = Enm =  линейно независимы, ибо y = ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 12cc,. . . , cn cn+1cn+2 ,. . . , c2n ek ck =  = θ = ||0||mn тогда и только тогда, .........

... cn(m−1)+1 cn(m−1)+2 , . . . , cnmкогда все ck = 0, k = 1, nm.3) Элементы C[a,b] : e1 = sin2 x, e2 = 3 cos2 x, e3 = −1 — линейно зависимы, так какy = ek ck = 0 при c1 = 3, c2 = 1, c3 = 3.4) Элементы C[a,b] : e1 = 1, e2 = x, e3 = x2 , . . . , en+1 = xn , где n — любое фиксированное натуральное число, линейно независимы, ибо линейная комбинацияy = c1 +c2 x+. . .+cn+1 xn = 0 — конечное уравнение которое по основной теоремеалгебры при любых ck , не всех равных нулю, имеет не более n корней относительно x на [a, b]. Следовательно, нельзя выбрать нетривиальную совокупностьчисел ck так, чтобы это равенство выполнялось для всех x из сегмента [a, b].Н а д о м: Доказать: если x, y, e — линейно независимые элементы пространства, тоэтим же свойством обладают элементы x + y, y + e, e + x.14§4. Базис и координаты элементов линейного пространства.В векторной алгебре было введено понятие базиса.

Каждый вектор в пространствезадавался тремя числами — координатами в некотором базисе. Аналогичное понятиевведем в линейном пространстве. Точнее, понятие базиса в векторной алгебре —частный случай того понятия, которое мы сейчас введем.О п р е д е л е н и е. Совокупность n линейно независимых элементов e1 , e2 , . .

. ,en называется базисом линейного пространства R и обозначается символом(ek )n , если для любого x из R существуют такие числа x1 , x2 , . . . , xn , что x = ek xk ,причем эта линейная комбинация называется разложением элемента по базису(ek )n , а числа xk — координатами элемента x в базисе (ek )n .Теорема 8 Разложение любого элемента линейного пространства по данномубазису единственно.Д о к а з а т е л ь с т в о.

(От противного). Пусть x = ek ak и x = ek bk . Вычтем изпервого разложения элемента x второе. Тогда θ = ek (ak − bk ). Так как e1 , e2 , . . . , en —линейно независимы, то ak − bk = 0, т. е. ak = bk , k = 1, n.П р и м е р ы.1) Линейное пространство V3 : любые три некомпланарные векторы образуют базис(это доказано в курсе аналитической геометрии).2) Линейное пространство T3 : в примере 1) §3 приведены линейно независимыеэлементы e1 , e2 , .

. . , en , причем для каждого x = ||ak ||n = ek ak , т. е. указанныеэлементы образуют базис.3) Линейное пространство Amn : в примере 2) §3 указаны n × m линейно независиpмых элементов Ek , p = 1, m, k = 1, n, причемA = ||apk ||mn =m XnXEkp apk ,p=1 k=1т. е. (ek )nm — базис в линейном пространстве Amn.Значение базиса. После введения базиса абстрактные операции над элементами линейного пространства становятся обычными (точнее, привычными) операциями сложения и умножения над числами — координатами элементов, что утверждает следующаяТеорема 9 При сложении двух элементов линейного пространства их координаты складываются.

При умножении элемента на число все его координатыумножаются на это число.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x = ek ak , y = ek bk . Тогда в силу аксиом линейногопространства x + y = ek ak + ek bk = (a.1, 2, 7) = ek (ak + bk ) и xc = (ek ak )c = (a.8, 5)= ek (ak c). Так как разложение по базису в силу теоремы 8 единственно, то теоремадоказана.Разложение элемента x линейного пространства по базису (ek )n : x = ek ak — можно записать и в другой форме. Для этого введем матрицы составленные из элементовлинейного пространства (в отличии от числовых матриц будем их обозначать малымибуквами). Пусть e = (e1 , e2 , .

. . , en ) = ||ep ||n . Обозначим Xe = ||ak ||n матрицу-столбец,состоящую из координат элемента x по базису (ek )n . Тогда разложение x по базису(ek )n запишется так:x = ek ak = eXe .(∗)15Лемма 1 Пусть элементы x1 , x2 , . . . , xm линейного пространства R разложеныпо базису (ep )n : xk = ep apk , k = 1, m.

Тогда из линейной зависимости столбцовматрицы A = ||apk ||nm следует линейная зависимость элементов x1 , x2 , . . . , xm .Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем обозначение Xek = ||apk ||n , k = 1, m, тогда xk =ep apk = eXek . По условию столбцы Xek линейно зависимы, т. е. найдутся такие числаc1 , c2 , . . . , cm не все равные нулю, что Xek ck = θ.

Рассмотрим линейную комбинациюxk ck = (eXek )ck = (почему?) = e(Xke ck ) = eθ = (e1 , e2 , . . . , en ) · ||0||n = e1 · 0 + e2 · 0 +. . . + en · 0 = (по т.3 и а.3)) = θ, т. е. элементы x1 , x2 , . . . , xm линейно зависимы.§5. Размерность линейного пространства.О п р е д е л е н и е. Натуральное число n называется размерностью линейногопространства R и обозначается символом dim R, если в линейном пространствеR есть n линейно независимых элементов, а любые n + 1 элементов линейнозависимы. Само пространство R называется n-мерным и обозначается символомRn .Иначе говоря, размерность линейного пространства равняется максимальномучислу линейно независимых элементов этого пространства.О п р е д е л е н и е.

Линейное пространство называется бесконечномерным,если в нем найдется любое наперед заданное число линейно независимых элементов этого пространства, и обозначается символом R∞ .Например, линейное пространство C[a,b] бесконечномерно, ибо как показано впримере 4, §3 элементы ek = xk−1 , k = 1, n, где n — любое натуральное число,являются линейно независимыми. Также бесконечномерным является пространствовсех многочленов.Теорема 10 Если Rn — линейное пространство размерности n, то в нем существует базис из n элементов, причем в качестве базиса можно взять любые nлинейно независимых элементов.Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению размерности линейного пространства вRn имеются n линейно независимых элементов e1 , e2 , . . . , en .

Характеристики

Список файлов лекций