Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для того чтобы убедиться в том, что эти элементы образуют базис, достаточно показать, что произвольныйэлемент x из Rn есть линейная комбинация элементов e1 , e2 , . . . , en . По определению размерности линейного пространства элементы x, e1 , e2 , . . . , en линейно зависимы, т. е. существуют числа c0 , c1 , . . . , cn , не все равные нулю, такие, что xc0 +ek ck = θ.Очевидно, что c0 6= 0, ибо иначе e1 , e2 , . . . , en были бы линейно зависимы.
Обозначивxk = −ck /c0 , k = 1, n, получим x = ek xk , т. е. (ek )n — базис в Rn .Теорема 11 (Обратная) Если в линейном пространстве R есть базис из n элементов, то dim R = n.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (ep )n — базис. По определению базиса e1 , e2 , . . .
, enлинейно независимы. Покажем, что любые n + 1 элементов линейно зависимы. Рассмотрим произвольные элементы x1 , x2 , . . . , xn+1 . Разложим каждый из них по базису: xk = ep apk , k = 1, n + 1. Рассмотрим n × (n + 1) -матрицу A = ||apk ||nn+1 . Очевидно ееранг ≤ n, т. е. меньше числа столбцов матрицы A.
Тогда по следствию 4 к теоремео базисном миноре столбцы матрицы A линейно зависимы. Следовательно, по лемме1 элементы x1 , x2 , . . . , xn+1 линейно зависимы. Теорема доказана.З а м е ч а н и е. Теперь на основании доказанных теорем можно утверждать, чтоdim V3 = 3, dim Tn = n, dim Amn = m · n.16§6. Преобразование базиса и координат элементов линейногопространства.Пусть в линейном пространстве Rn даны два базиса (ek )n и (φk )n . Разложимэлементы входящие во второй базис, по первому базису:φk = ep apk , k = 1, n(1)Если ввести обозначения ||apk ||nn = A, ||φk ||n = φ, ||ek ||n = e, то равенство (1) можнозаписать в матричной форме:φ = eA.(2)Формула (1) (или, что то же самое, формула (2)) дает правило перехода от базиса(ek )n к базису (φk )n , причем матрица A называется матрицей перехода. Заметим, чтолюбой k-ый столбец этой матрицы составлен из координат элемента φk по базису(ek )n . При этом A — невырожденная матрица, ибо иначе по следствию 1 к теоремео базисном миноре между столбцами матрицы A была бы зависимость, а значит всилу равенства (2) и леммы 1 элементы φ1 , φ2 , .
. . , φn были бы линейно зависимы, чтопротиворечит определению базиса. Поскольку D = det A 6= 0, то матрица A имеетPобратную A−1 = ||bpk ||nn , где bpk = (1/D) nk=1 Akp , а Akp — алгебраическое дополнениеэлемента akp матрицы A. Поэтому, умножив равенство (2) справа на A−1 , получимформулу перехода от базиса (φk )n к базису (ek )n :e = φA−1 ,или в координатах:ep =φk bkp= 1/D ·nXφk Akp , p = 1, n.(3)(4)k=1Итак, установлено, как преобразуется базис при линейном преобразовании.Поставим еще одну задачу: выяснить, как при таком преобразовании изменятсякоординаты произвольного элемента x пространства Rn ?Пусть элемент x в базисе (ek )n имеет координаты b1 , b2 , .
. . , bn , т. е. определяетсяматрицей-столбцом Xe = ||bk ||n , а в базисе (φk )n — координатами c1 , c2 , . . . , cn , т. е.задается матрицей-столбцом Xφ = ||ck ||n . Таким образом,x = ek bk = eXe , x = φk ck = φXφ .Сравнивая эти равенства, имеем: eXe = φXφ . Но φ = eA.
Поэтому φXφ = (eA)Xφ =o(свойство 1 операции умножения матриц) = e(AXφ ). Следовательно,eXe = e(AXφ ).В этом равенстве слева и справа стоят разложения одного и того же элемента побазису (ek )n . В силу единственности разложения по данному базису имеем:Xe = AXφ ,(5)bk = akp cp , k, p = 1, n.(6)или в координатах:Умножив равенство (5) на матрицу A−1 слева, получим:Xφ = A−1 Xe .(7)Равенство (7) в координатах:ck = 1/D ·nXApk bp , k = 1, n.p=117(8)§7. Подпространства линейного пространства.О п р е д е л е н и е. Подпространством линейного пространства R называется любое непустое множество M элементов этого пространства, на которомкорректны операции сложения и умножения на число, введенные в линейном пространстве R, т.
е.а) ∀x, y ∈ M x + y ∈ M, б) ∀c ∈ K и ∀x ∈ M xc ∈ M .Сформулируем и докажем некоторые свойства подпространства линейного пространства.Свойство 1 Всякое подпространство линейного пространства R есть линейноепространство.Д о к а з а т е л ь с т в о. Как следует из определения подпространства нам данымножество M элементов и две линейные операции. Поэтому для доказательстваэтого свойства достаточно проверить выполнение аксиом линейного пространства.Выполнение а.1), 2), 5) - 8) очевидно, так как они имеют место для всех без исключения элементов пространства R.
Осталось проверить а.3), а.4). Пусть x — любойэлемент из M . Тогда по определению подпространства: ∀c xc ∈ M . Если c = 0, топо теореме 3 0 · x = θ, и, следовательно, множество M содержит нулевой элемент θ,т. е. а.3) выполнена. Если же c = −1, то по теореме 4 (−1)x есть элемент противоположный элементу x, и, следовательно, множество M вместе с каждым элементомx содержит и ему противоположный, т. е.
а.4) выполнена.П р и м е р ы.1) Минимальное по размерности подпространство любого линейного пространстваR — θ.2) Максимальное по размерности подпространство любого линейного пространства — само линейное пространство.3) Подпространства линейного пространства V3 : двумерное — множество всех векторов, параллельных какой-либо плоскости; одномерное — множество всех векторов параллельных какой-либо прямой.4) Пространство Tn : пусть k ≤ n. M — множество всех элементов ||ap ||n из Tn ,для которых a1 = a2 = .
. . = ak = 0.p m5) Пространство Amn : пусть e ≤ m, s ≤ n. M — множество всех матриц ||ak ||n изpAmn , для которых ak = 0, p = 1, e, k = 1, s.Свойство 2 dim M ≤ dim Rn .Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x1 , x2 , . . . , xn+1 — какие-либо элементы из M . Нотогда они принадлежат пространству Rn , в котором любые n + 1 элементов линейнозависимы. Очевидно, что это верно и на M .Свойство 3 (о пополнении базиса) . Если (ep )k — базис в подпространстве Mлинейного пространства Rn , причем k < n, то можно так выбрать элементы вRn ek+1 , ek+2 , .
. . , en , что (ep )n будет базисом в Rn .18Д о к а з а т е л ь с т в о. В линейном пространстве Rn существует по крайнеймере один элемент ek+1 такой, что элементы e1 , e2 , . . . , ek+1 — линейно независимы. Действительно, если предположить противное, то ∀x ∈ Rn существуют числа c0 , c1 , . . . , ck , не все равные нулю, такие, что xc0 + ep cp = θ. Если c0 = 0, тоe1 , e2 , .
. . , ek линейно зависимы, что противоречит предположению. Если c0 6= 0, тополучаем, что любой элемент x из Rn можно разложить по базису (ep )k , но этопротиворечит условию k < n. Итак, существует элемент ek+1 такой, что элементыe1 , e2 , . . . , ek+1 линейно независимы. Если k +1 = n, то (ep )k+1 — искомый базис в Rn .Если k + 1 < n, то можно найти такой элемент ek+2 , что e1 , e2 , .
. . , ek+2 — линейнонезависимы. Продолжая этот процесс, через конечное число шагов построим базис(ep )n в пространстве Rn , в котором первые k элементов являются базисом в M .§8. Линейные оболочки.О п р е д е л е н и е. Линейной оболочкой заданного конечного множества элементов x1 , x2 , . . . , xk линейного пространства Rn над полем K называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов и обозначается символом L(x1 , x2 , .
. . , xk ) = {x : x = xp cp , cp ∈ V∞ , p = 1, k}, причем множествоэлементов x1 , x2 , . . . , xk называется системой, порождающей линейную оболочку L(x1 , x2 , . . . , xk ).Свойства линейной оболочки.Свойство 1 Линейная оболочка L(x1 , x2 , . . . , xk ) элементов пространства Rn является подпространством линейного пространства Rn .Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать корректность относительно множества L операций сложения и умножения на число введенных в пространстве Rn .Пусть x, y ∈ L(x1 , x2 , .
. . , xk ), т. е. x = xp ap и y = xp bp . Тогдаа) x + y = xp ap + xp bp = (a.2,7) = xp (ap + bp ) = xp cp ∈ L (cp = ap + bp ),b) ∀c ∈ K xc = (xp ap )c = (a.2,5) = xp (ap c) ∈ L.Свойство 2 Линейная оболочка L(x1 , x2 , . . . , xk ) является наименьшим подпространством содержащим элементы x1 , x2 , . . . , xk . (Иными словами: она содержится в любом подпространстве, имеющем эти элементы.)Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что x1 , x2 , . . . , xk ∈ L(x1 , x2 , .
. . , xk ), которая всилу свойства 1 является подпространством линейного пространства Rn . С другойстороны, любое подпространство пространства Rn , содержащее эти элементы, включают в себя все их линейные комбинации, т. е. содержит в себе L(x1 , x2 , . . . , xk ).Свойство 3 Если какой-либо элемент из порождающей системы элементов x1 , x2 ,. . . , xk есть линейная комбинация остальных элементов этой системы, то егоможно убрать из порождающей системы, не изменив линейной оболочки.Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
