Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. любой e - ый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов. Осталось показать что это представление единственно. Предположимпротивное: есть еще одно представление e - го столбца — ||ake ||m = ||akp ||m bp , гдеp = 1, r. Вычтем из первого представления второе: θ = ||akp ||m (cp − bp ). Но ||akp ||m ,p = 1, r — базисные столбцы и, следовательно, линейно независимы. Поэтому последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда cp − bp = 0.
т. е. cp = bp ,p = 1, r. Полученное противоречие доказывает единственность разложения. Теоремадоказана.7С л е д с т в и е 1. Для того, чтобы определитель D n-го порядка равнялсянулю необходимо и достаточно, чтобы между его столбцами (строками) существовала линейная зависимость.Н е о б х о д и м о с т ь. Дано: D = 0. Требуется доказать: его столбцы линейнозависимы. Так как D = 0, то базисный минор матрицы определителя D имеет порядок r < n. Поэтому после выделения r базисных столбцов найдется еще по крайнеймере один столбец, не попавший в число базисных.
По теореме 3 такой столбецпредставляет собой некоторую линейную комбинацию базисных столбцов. В составэтой комбинации можно включить и все оставшиеся столбцы определителя D, поставив перед ними, например, нулевые коэффициенты. Но тогда по теореме 1 столбцыопределителя D являются линейно зависимыми.Д о с т а т о ч н о с т ь. Дано: столбцы D линейно зависимы. Требуется доказать:D = 0.
В силу теоремы 1 один из столбцов определителя D есть линейная комбинация остальных столбцов. Если эту линейную комбинацию вычесть из этого столбца,то по свойству 7 определитель D не изменится, но у него появится нулевой столбец.Поэтому по свойству 6 D = 0. Что и требовалось доказать.С л е д с т в и е 2.Нетривиальная совместность однородной линейной системыуравнений.Пусть дана однородная системы уравнений:apk xk = 0, p = 1, m, k = 1, n,(5)с матрицей A = ||apk ||mn . Система (5) всегда совместна, ибо имеет тривиальное решение: xk = 0, k = 1, n.Естественно возникает вопрос: при каких условиях система (5) имеет, крометривиального, еще и другие решения? Ответ на этот вопрос даетТеорема 4 Для того чтобы система (5) имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, т.
е. r < n.Н е о б х о д и м о с т ь. Дано: (5) имеет нетривиальные решения. Требуется доказать: r < n.Итак, существуют числа c1 , c2 , . . . , cn , не все равные нулю, обращающие систему(5) в верные равенства, т. е.apk ck = 0, p = 1, m, k = 1, n,или в матричной форме:k||apk ||mn c = θ, k = 1, n,т. е. столбцы матрицы A линейно зависимы. Отсюда следует, что порядок базисногоминора r < n, ибо базисные столбцы являются линейно независимыми.Д о с т а т о ч н о с т ь.
Дано: r < n. Требуется доказать: (5) имеет нетривиальныерешения.Так как r < n, то у матрицы A хотя бы один столбец является не базисным.По теореме 3 этот столбец представляет собой линейную комбинацию базисныхстолбцов, а значит и всех остальных столбцов матрицы A. Но тогда по теореме 1столбцы матрицы A линейно зависимы, т.
е. по определению линейной зависимостинайдутся такие числа c1 , c2 , . . . , cn , не все равные нулю, что справедливо равенство:k||apk ||mn c = θ, k = 1, n,8или в координатах:apk ck = 0, p = 1, m, k = 1, n.Последние равенства говорят о том, что совокупность n чисел c1 , c2 , . . . , cn представляет собой нетривиальное решение системы (5).С л е д с т в и е 3. Для того, чтобы однородная линейная система n уравненийс n неизвестными имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно,чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю.С л е д с т в и е 4. Для того чтобы столбцы матрицы A были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был меньше числа ее столбцов,т.
е. r < n.9Гл. 2. Линейные пространства.Мы подошли к основному понятию нашего курса. Со времен Аристотеля известно, что в основе любой науки лежит то, что можно назвать "принципом намереннонеполного знания": абстракция и обобщение как раз и состоят в том, что определенные свойства рассматриваемых объектов систематически игнорируются. Аксиоматический метод в математике представляет собой не что иное, как применение этогопринципа, и он отличается от других ситуаций, в которых работает "принцип намеренно неполного знания"лишь тем, что все свойства, которые математик не склоненигнорировать, т.
е. которые он желает признать присущими изучаемым объектам, заботливо и исчерпывающе перечисляются — и в дальнейшем запрещается опиратьсяна что-либо, кроме этих свойств (аксиом) и правил логики.§1. Определение линейного пространстваО п р е д е л е н и е. Множество R элементов любой (но одной) природы x, y, e, . . .называется линейным пространством, еслиo1 . Существует правило, с помощью которого любой упорядоченной паре элементов x, y из R ставится в соответствие третий элемент e из R, называемый суммой элементов x, y и обозначаемый "x + y";o2 . существует еще одно правило, с помощью которого для любого элементаx из R, и любого числа c из поля K ставится в соответствие элементφ из R, называемый произведением элемента x на число c и обозначаемыйсимволом "cx"или "xc";o3 .
оба этих правила удовлетворяют 8 аксиомам:аксиомы операции сложения:a.1) ∀x, y ∈ Rx + y = y + x (переместительное свойство),a.2) ∀x, y, e ∈ R(x + y) + e = x + (y + e) (сочетательное свойство),a.3) существует нулевой элемент θ такой, что x + θ = x ∀x ∈ R (особая рольнулевого элемента),a.4) ∀x ∈ R существует противоположный элемент x0 такой, что x + x0 = θ;аксиомы операции умножения:a.5) ∀x ∈ R1 · x = x (особая роль числового множителя 1),a.6) ∀x ∈ R и ∀c, b ∈ K c(bx) = (cb)x (сочетательное относительно числовыхмножителей свойство);аксиомы, связывающие операции сложения и умножения:a.7) ∀c, b ∈ K и ∀x ∈ R (c + b)x = cx + bx (распределительное относительносуммы числовых множителей свойство),a.8) ∀c ∈ K и ∀x, y ∈ R c(x + y) = cx + cy (распределительное относительносуммы элементов свойство).10З а м е ч а н и е 1.
В определении множество R элементов любой, но одной природы.З а м е ч а н и е 2. В а.6) операция умножения чисел cb и в а.7) операция сложения чисел b + c понимается в смысле операций в поле K, т. е. обычных школьныхопераций сложения и умножения чисел.З а м е ч а н и е 3. Аксиомы 1) - 8) не претендуют на логическую независимость.Они просто являются удобным описанием объектов, которые мы желаем изучать.З а м е ч а н и е 4.
Линейное пространство можно интерпретировать как объединение трех объектов: множества R и двух правил, причем правила 1, 2корректностьR1 правилоHH2 правило4 аксиомыполе K2 аксиомыHH2 аксиомыне произвольны, а удовлетворяют условию корректности и 8 аксиомам, из которых4 относятся к первому правилу, две — ко второму правилу и еще две аксиомысвязывают эти операции друг с другом.
Наконец, правило 2 зависит от поля K. Этасхема, естественно, приводит нас к мысли, что добавляя или убирая в этой схеме"кубики", т. е. вводя новые правила, или убирая часть старых, или меняя их, мыполучим другие объекты алгебры. Именно так они и строятся.З а м е ч а н и е 5. В монографиях по алгебре элементы линейного пространствачасто называются точками или векторами. Так же, подчеркивая связь линейногопространства с числовым полем K, линейное пространство R называется линейнымпространством R над полем K.З а м е ч а н и е 6. Далее в этой главе, не упоминая о числовом поле K, над которым определено линейное пространство, будем полагать, что все числа принадлежатэтому числовому полю K.З а м е ч а н и е 7. При нашем введении числового поля K линейное пространство содержит или бесконечно много элементов или только один элемент. Нетруднопроверить с помощью аксиом, что последний случай — это пространство, состоящееиз нулевого элемента.
Это пространство будем называть тривиальным линейнымпространством и обозначать так же как и сам элемент буквой θ.З а м е ч а н и е 8. Договоримся употреблять слово "эквивалентность"и писатьзнак ≡ лишь тогда, когда выполняются три условия:a) каждый элемент эквивалентен самому себе: ∀a, a ≡ a (рефлексивность)б) высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения, какой из элементов рассматривается первым и какой вторым: ∀a, b, a ≡b ⇒ b ≡ a (симметричность)в) два элемента, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой: ∀a, b, c a ≡b и c ≡ b ⇒ a ≡ c (транзитивность).Примеры линейных пространств.111) Множество K0 над полем K рациональных чисел с обычными операциямисложения и умножения над числами в поле.2) Множество K0 над полем K0 с теми же операциями, что и в 1).3) Множество Akn всех k × n - матриц с двумя линейными операциями, введенными в Гл. 4 курса аналитической геометрии (там же доказано выполнениевсех 8 аксиом определения линейного пространства).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
