Главная » Просмотр файлов » Шишкин. Линейная алгебра (лекции)

Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 3

Файл №1113076 Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (Шишкин. Линейная алгебра (лекции)) 3 страницаШишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076) страница 32019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

е. любой e - ый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов. Осталось показать что это представление единственно. Предположимпротивное: есть еще одно представление e - го столбца — ||ake ||m = ||akp ||m bp , гдеp = 1, r. Вычтем из первого представления второе: θ = ||akp ||m (cp − bp ). Но ||akp ||m ,p = 1, r — базисные столбцы и, следовательно, линейно независимы. Поэтому последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда cp − bp = 0.

т. е. cp = bp ,p = 1, r. Полученное противоречие доказывает единственность разложения. Теоремадоказана.7С л е д с т в и е 1. Для того, чтобы определитель D n-го порядка равнялсянулю необходимо и достаточно, чтобы между его столбцами (строками) существовала линейная зависимость.Н е о б х о д и м о с т ь. Дано: D = 0. Требуется доказать: его столбцы линейнозависимы. Так как D = 0, то базисный минор матрицы определителя D имеет порядок r < n. Поэтому после выделения r базисных столбцов найдется еще по крайнеймере один столбец, не попавший в число базисных.

По теореме 3 такой столбецпредставляет собой некоторую линейную комбинацию базисных столбцов. В составэтой комбинации можно включить и все оставшиеся столбцы определителя D, поставив перед ними, например, нулевые коэффициенты. Но тогда по теореме 1 столбцыопределителя D являются линейно зависимыми.Д о с т а т о ч н о с т ь. Дано: столбцы D линейно зависимы. Требуется доказать:D = 0.

В силу теоремы 1 один из столбцов определителя D есть линейная комбинация остальных столбцов. Если эту линейную комбинацию вычесть из этого столбца,то по свойству 7 определитель D не изменится, но у него появится нулевой столбец.Поэтому по свойству 6 D = 0. Что и требовалось доказать.С л е д с т в и е 2.Нетривиальная совместность однородной линейной системыуравнений.Пусть дана однородная системы уравнений:apk xk = 0, p = 1, m, k = 1, n,(5)с матрицей A = ||apk ||mn . Система (5) всегда совместна, ибо имеет тривиальное решение: xk = 0, k = 1, n.Естественно возникает вопрос: при каких условиях система (5) имеет, крометривиального, еще и другие решения? Ответ на этот вопрос даетТеорема 4 Для того чтобы система (5) имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, т.

е. r < n.Н е о б х о д и м о с т ь. Дано: (5) имеет нетривиальные решения. Требуется доказать: r < n.Итак, существуют числа c1 , c2 , . . . , cn , не все равные нулю, обращающие систему(5) в верные равенства, т. е.apk ck = 0, p = 1, m, k = 1, n,или в матричной форме:k||apk ||mn c = θ, k = 1, n,т. е. столбцы матрицы A линейно зависимы. Отсюда следует, что порядок базисногоминора r < n, ибо базисные столбцы являются линейно независимыми.Д о с т а т о ч н о с т ь.

Дано: r < n. Требуется доказать: (5) имеет нетривиальныерешения.Так как r < n, то у матрицы A хотя бы один столбец является не базисным.По теореме 3 этот столбец представляет собой линейную комбинацию базисныхстолбцов, а значит и всех остальных столбцов матрицы A. Но тогда по теореме 1столбцы матрицы A линейно зависимы, т.

е. по определению линейной зависимостинайдутся такие числа c1 , c2 , . . . , cn , не все равные нулю, что справедливо равенство:k||apk ||mn c = θ, k = 1, n,8или в координатах:apk ck = 0, p = 1, m, k = 1, n.Последние равенства говорят о том, что совокупность n чисел c1 , c2 , . . . , cn представляет собой нетривиальное решение системы (5).С л е д с т в и е 3. Для того, чтобы однородная линейная система n уравненийс n неизвестными имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно,чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю.С л е д с т в и е 4. Для того чтобы столбцы матрицы A были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был меньше числа ее столбцов,т.

е. r < n.9Гл. 2. Линейные пространства.Мы подошли к основному понятию нашего курса. Со времен Аристотеля известно, что в основе любой науки лежит то, что можно назвать "принципом намереннонеполного знания": абстракция и обобщение как раз и состоят в том, что определенные свойства рассматриваемых объектов систематически игнорируются. Аксиоматический метод в математике представляет собой не что иное, как применение этогопринципа, и он отличается от других ситуаций, в которых работает "принцип намеренно неполного знания"лишь тем, что все свойства, которые математик не склоненигнорировать, т.

е. которые он желает признать присущими изучаемым объектам, заботливо и исчерпывающе перечисляются — и в дальнейшем запрещается опиратьсяна что-либо, кроме этих свойств (аксиом) и правил логики.§1. Определение линейного пространстваО п р е д е л е н и е. Множество R элементов любой (но одной) природы x, y, e, . . .называется линейным пространством, еслиo1 . Существует правило, с помощью которого любой упорядоченной паре элементов x, y из R ставится в соответствие третий элемент e из R, называемый суммой элементов x, y и обозначаемый "x + y";o2 . существует еще одно правило, с помощью которого для любого элементаx из R, и любого числа c из поля K ставится в соответствие элементφ из R, называемый произведением элемента x на число c и обозначаемыйсимволом "cx"или "xc";o3 .

оба этих правила удовлетворяют 8 аксиомам:аксиомы операции сложения:a.1) ∀x, y ∈ Rx + y = y + x (переместительное свойство),a.2) ∀x, y, e ∈ R(x + y) + e = x + (y + e) (сочетательное свойство),a.3) существует нулевой элемент θ такой, что x + θ = x ∀x ∈ R (особая рольнулевого элемента),a.4) ∀x ∈ R существует противоположный элемент x0 такой, что x + x0 = θ;аксиомы операции умножения:a.5) ∀x ∈ R1 · x = x (особая роль числового множителя 1),a.6) ∀x ∈ R и ∀c, b ∈ K c(bx) = (cb)x (сочетательное относительно числовыхмножителей свойство);аксиомы, связывающие операции сложения и умножения:a.7) ∀c, b ∈ K и ∀x ∈ R (c + b)x = cx + bx (распределительное относительносуммы числовых множителей свойство),a.8) ∀c ∈ K и ∀x, y ∈ R c(x + y) = cx + cy (распределительное относительносуммы элементов свойство).10З а м е ч а н и е 1.

В определении множество R элементов любой, но одной природы.З а м е ч а н и е 2. В а.6) операция умножения чисел cb и в а.7) операция сложения чисел b + c понимается в смысле операций в поле K, т. е. обычных школьныхопераций сложения и умножения чисел.З а м е ч а н и е 3. Аксиомы 1) - 8) не претендуют на логическую независимость.Они просто являются удобным описанием объектов, которые мы желаем изучать.З а м е ч а н и е 4.

Линейное пространство можно интерпретировать как объединение трех объектов: множества R и двух правил, причем правила 1, 2корректностьR1 правилоHH2 правило4 аксиомыполе K2 аксиомыHH2 аксиомыне произвольны, а удовлетворяют условию корректности и 8 аксиомам, из которых4 относятся к первому правилу, две — ко второму правилу и еще две аксиомысвязывают эти операции друг с другом.

Наконец, правило 2 зависит от поля K. Этасхема, естественно, приводит нас к мысли, что добавляя или убирая в этой схеме"кубики", т. е. вводя новые правила, или убирая часть старых, или меняя их, мыполучим другие объекты алгебры. Именно так они и строятся.З а м е ч а н и е 5. В монографиях по алгебре элементы линейного пространствачасто называются точками или векторами. Так же, подчеркивая связь линейногопространства с числовым полем K, линейное пространство R называется линейнымпространством R над полем K.З а м е ч а н и е 6. Далее в этой главе, не упоминая о числовом поле K, над которым определено линейное пространство, будем полагать, что все числа принадлежатэтому числовому полю K.З а м е ч а н и е 7. При нашем введении числового поля K линейное пространство содержит или бесконечно много элементов или только один элемент. Нетруднопроверить с помощью аксиом, что последний случай — это пространство, состоящееиз нулевого элемента.

Это пространство будем называть тривиальным линейнымпространством и обозначать так же как и сам элемент буквой θ.З а м е ч а н и е 8. Договоримся употреблять слово "эквивалентность"и писатьзнак ≡ лишь тогда, когда выполняются три условия:a) каждый элемент эквивалентен самому себе: ∀a, a ≡ a (рефлексивность)б) высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения, какой из элементов рассматривается первым и какой вторым: ∀a, b, a ≡b ⇒ b ≡ a (симметричность)в) два элемента, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой: ∀a, b, c a ≡b и c ≡ b ⇒ a ≡ c (транзитивность).Примеры линейных пространств.111) Множество K0 над полем K рациональных чисел с обычными операциямисложения и умножения над числами в поле.2) Множество K0 над полем K0 с теми же операциями, что и в 1).3) Множество Akn всех k × n - матриц с двумя линейными операциями, введенными в Гл. 4 курса аналитической геометрии (там же доказано выполнениевсех 8 аксиом определения линейного пространства).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
431,69 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее