Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Нодля любых y1 , y2 из Rn y1 + y2 = y2 + y1 . Поэтому а.1) выполнена.а.2) ( + B̂) + Ĉ =  + (B̂ + Ĉ) доказывается так же, как а.1).а.3) для всех операторов  существует оператор θ̂ такой, что Â+ θ̂ =  (доказываетсяпо той же схеме, что и а.1)).а.4) для всякого оператора  существует оператор (−1)Â, такой что  + (−1) = θ̂.(для всякого x из Rn ( + (−1)Â)x = Âx + (−1)Âx = y + (−1)y = y − y = θ т. е.аксиома выполнена).а.5) 1 ·  = Â, что следует из определения операции умножения оператора на число.а.6) для всех a, b из K a(bÂ) = (ab) (докажите самостоятельно).а.7) для всех a, b из K и любого  (a + b) = a + bÂ.
Для каждого x из Rn((a + b)Â)x = (a + b)(Âx) = (a + b)y = ay + by. С другой стороны, (a + bÂ)x =aÂx + bÂx = ay + by. Сравнивая эти равенства, приходим к выводу, что а.7) имеетместо.43а.8) для любого a из K и любых Â, B̂ a( + B̂) = a + aB̂. С одной стороны, длявсех x из Rn (a( + B̂))x = a(( + B̂)x) = a(Âx + B̂x) = a(y1 + y2 ) = ay1 + ay2 . Сдругой стороны, (a + aB̂)x = aÂx + aB̂x = ay1 + ay2 . Из этих равенств следуетсправедливость а.8). Теорема доказана.З а д а ч а. Найти базис и определить размерность пространства U линейных операторов, действующих в пространстве Rn над полем K.Р е ш е н и е.
Между оператором Â и его матрицей Ae в базисе (ep )n существуетвзаимно однозначное соответствие, что было доказано выше (теоремы 1, 2). Поэтому,так как при этом в силу выше доказанных утверждений сумме операторов соответствует сумма их матриц, а произведению матриц на число оператор, умноженныйна это число, то пространства U и Ann изоморфны.
Следовательно, размерность пространства U равна n2 и базис пространства U (Âp )n2 — множество линейных операторов, у каждого из которых в базисе (ep )n матрица имеет все элементы равныминулю, кроме единственного элемента, равного 1.О п р е д е л е н и е. Произведением операторов Â, B̂ действующих в линейномпространстве Rn , называется оператор Ĉ такой, что для всех x из Rn Ĉx =Â(B̂x) и обозначается так: ÂB̂.Утверждение 6 Если Â, B̂ — линейные операторы, то ÂB̂ — тоже линейныйоператор.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть ÂB̂ = Ĉ. Тогда для всех x, y из Rn Ĉ(x + y) =Â(B̂(x + y)) =(линейность B̂) = Â(B̂x + B̂y) =(линейность Â)= Â(B̂x) + Â(B̂y) =Ĉx+ Ĉy, т. е. первое условие линейности оператора выполнено. Так как для любых xиз Rn и любого a из K Ĉ(ax) = Â(B̂(ax)) =(линейность B̂)= Â(aB̂x) = (линейностьÂ)= aÂ(B̂x) = aĈx, то выполнено и второе условие линейности оператора.Утверждение 7 Матрица оператора ÂB̂ в любом базисе (ep )n равна произведению матрицы оператора  на матрицу оператора B̂ в том же базисе, т. е.(AB)e = Ae Be .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть Ĉ = ÂB̂. Тогда eCe =(формула (10 ))= Ĉe = (Â(B̂e))= (формула (10 ))= Â(eBe ) =(лемма 1)= (Âe)Be =(формула (10 ))= (eAe )Be =(свойствооперации умножения матриц)= e(Ae Be ), т. е. eCe = e(Ae Be ) ⇒ утверждение.З а м е ч а н и е. (AB)e = Ae Be , (BA)e = Be Ae . Как было показано в алгебрематриц (гл. 4 курса аналитической геометрии), операция умножения матриц не обладает свойством перестановочности, т. е. вообще говоря, Ae Be 6= Be Ae . Поэтому всилу изоморфизма пространства операторов и пространства матриц Ann , вообще говоря ÂB̂ 6= B̂ Â. Например, в линейном пространстве V2 заданы ортонормированныйбазис ~e1 , ~e2 и два оператора: оператор Â проектирует векторы из V2 на ось вектора~e1 , а оператор B̂ поворачивает векторы из V2 на угол π/2 против часовой стрелки.Тогда ÂB̂~e1 = Â~e2 = θ, а B̂ Â~e1 = B̂~e1 = ~e2 .
Но θ 6= ~e2 , т. е. ÂB̂ 6= B̂ Â.Однако есть линейные операторы, обладающие свойством перестановочности:1) для всех Â Âθ̂ = θ̂Â = θ̂ и 2) для всех Â ÂÊ = Ê Â = Â.Свойства операции умножения операторов.o1 . Сочетательное свойство относительно числового множителя: для любого a из Kи любых Â, B̂ из U a(ÂB̂) = (aÂ)B̂.o2 .Сочетательное свойство относительно операторного множителя: для любых Â, B̂,Ĉ из U (ÂB̂)Ĉ = Â(B̂ Ĉ).o3 . Распределительное свойство относительно сложения операторов: для любых Â,B̂, Ĉ из U (Â + B̂)Ĉ = ÂĈ + B̂ Ĉ и Ĉ(Â + B̂) = Ĉ Â + Ĉ B̂.44oД о к а з а т е л ь с т в о. 1 . Ĉ = ÂB̂ — линейный оператор, как следует из утверждения 6. Поэтому для любого x из Rn (a(ÂB̂)x = (aĈ)x =(линейность Ĉ)= Ĉ(ax) =Â(B̂(ax)).
С другой стороны, ((aÂ)B̂)x =(линейность Â)= Â(aB̂x) = (линейностьoB̂)= Â(B̂(ax)). Из сравнения этих равенств следует свойство 1 .o2 . Из определения операции умножения операторов: для всех x из Rn имеем (Â(B̂ Ĉ))x= Â((B̂ Ĉ)x) = Â(B̂(Ĉx)). С другой стороны, ((ÂB̂)Ĉ)x = (ÂB̂)(Ĉx) = Â(B̂(Ĉx)). Отoсюда следует справедливость свойства 2 .o3 . Докажем первое равенство, ибо второе доказывается аналогично. Для всех x изRn ((Â + B̂)Ĉ)x = (Â + B̂)(Ĉx) = Â(Ĉx) + B̂(Ĉx) = ÂĈx + B̂ Ĉx, что и означаетoвыполнение свойства 3 .З а м е ч а н и е. Если перемножается несколько одинаковых операторов, то длясокращения записи введем обозначение Â · Â · . . .
·  = Ân при условии, что такихсомножителей n. Очевидна и такая запись: Ân+k = Ân Âk .О п р е д е л е н и е. Линейный оператор B̂ называется обратным к операторуÂ, если B̂  = ÂB̂ = Ê и обозначается символом B̂ = Â−1 .Утверждение 8 Если оператор  в базисе (ep )n имеет матрицу Ae , то его обратный оператор Â−1 имеет в том же базисе матрицу A−1e .Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению обратного оператора и утверждению 7Be Ae = Ae Be = E, т. е. из определения обратной матрицы имеем Be = A−1e .
Что итребовалось доказать.Утверждение 9 Линейный оператор Â имеет обратный Â−1 , если его матрицаAe в некотором базисе (ep )n является невырожденной.Д о к а з а т е л ь с т в о. Если в некотором базисе (ep )n матрица Ae оператора Âневырождена, то 1) как следует из равенства (4), матрица этого оператора будетневырожденной в любом базисе пространства Rn , 2) она имеет обратную матрицу−1Â−1e . Но тогда по теореме 2 матрице Ae будет соответствовать линейный оператор,который и является обратным.§5.
Собственные значения и собственные векторы линейныхоператоров.Пусть M — подпространство линейного пространства Rn над числовым полем K,а Â — линейный оператор, действующий в этом линейном пространстве.О п р е д е л е н и е. Пространство M называется инвариантным подпространством относительно оператора Â, если для любого x из M Âx также принадлежит M .П р и м е р ы.1) Для линейных операторов θ̂, Ê и подобия всякое подпространство линейного пространства является инвариантным.12) В пространстве C[a,b]линейная оболочка L{a sin t + b cos t} является инвариантнымподпространством относительно оператора дифференцирования D = ∂/∂t.О п р е д е л е н и е.
Число λ из поля K называется собственным значениемоператора Â, если существует ненулевой элемент x из Rn такой, чтоÂx = λx.При этом элемент x называется собственным вектором оператора Â.45(5)З а м е ч а н и е. Иногда равенство (5) лучше записывать так:( − λÊ)x = θ.(50 )Утверждение 10 Если x, y - собственные векторы оператора Â, соответствующие собственному значению λ, и a, b — какие угодно числа из поля K, тоненулевой вектор ax + by (a2 + b2 6= 0) тоже собственный вектор оператора  стем же собственным значением λ.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Â(ax + by) =(линейность Â)= a(Âx) + b(Ây) =(формула(5))= a(λx) + b(λy) =(a.8 линейного пространства) = λ(ax + by). Итак, Â(ax + by) =λ(ax+by), т. е. согласно (5) ax+by — собственный вектор оператора Â с собственнымзначением λ.С л е д с т в и е. Каждому собственному вектору оператора Â соответствуетодномерное инвариантное подпространство относительно оператора Â.Действительно, если x — собственный вектор оператора Â, то в силу утверждения10 L = {ax} — множество собственных векторов и нулевой элемент θ.
Поэтому приa 6= 0 Â(ax) = λ(ax) = (λa)x ∈ L, а при a = 0 Âθ = θ, т. е. L — инвариантноеотносительно оператора  подпространство.Лемма 2 Для любого линейного оператора Â, действующего в линейном пространстве Rn , Âθ = θ.Д о к а з а т е л ь с т в о. Âθ =(т. 3, гл. 3)= Â(0 · x) =(линейность Â)= 0 · Âx =0 · y = θ.Теорема 4 Множество Mλ , содержащее нулевой элемент θ и все собственныевекторы, соответствующие собственному значению λ оператора  образуетинвариантное относительно оператора  подпространство.Д о к а з а т е л ь с т в о. Если элемент y принадлежит Mλ , тоÂy = λy,(6)ибо, если y 6= θ, то это следует из (5), а если y = θ, то из леммы 2.
Далее,а) Mλ — подпространство линейного пространства Rn , так как 1) для каждого x, yиз Mλ Â(x+y) =(линейность оператора Â)= Âx+ Ây =(формула (6))= λx+λy =(a.8)линейного пространства) = λ(x + y), т. е. x + y ∈ Mλ . 2) для любых x из Mλ и a изK Â(ax) =(линейность оператора) = aÂx =(формула (6))= a · λx =(a.6) линейногопространства)= λ(ax), т. е. ax ∈ Mλ .б) Mλ — инвариантное относительно оператора Â подпространство, т. е.
если y изMλ такой элемент, что Ây = λy, то Ây ∈ Mλ . Действительно, Â(Ây) =(по формуле(6))= Â(λy) = (линейность оператора)= λ(Ây), т. е. Ây ∈ Mλ .П р и м е р ы.1) Для оператора θ̂ каждый элемент x 6= θ является собственным вектором с собственным значением λ = 0 т. е. θ̂x = 0 · x.2) Для оператора Ê каждый элемент x 6= θ является собственным вектором с собственным значением λ = 1, т.
е. Êx = 1 · x.3) Для оператора подобия с коэффициентом подобия каждый элемент x 6= θ является собственным вектором с собственным значением λ = b, т. е. Âx = bx.4) Оператор поворота в V2 на угол α (0 < α < π) не имеет собственных векторов,ибо из равенства (5) следует коллинеарность векторов, а при повороте на угол αполучающийся вектор не будет коллинеарен исходному вектору.4625) В линейном пространстве C[a,b]оператор D̂2 = ∂ 2 /∂t2 имеет собственный векторx = sin t с собственным значением λ = −1, т. е.
D2 sin t = − sin t.6) В пространстве V3 оператор Â поворота вокруг некоторой оси, проходящей черезнулевой элемент, на угол α, имеет собственные векторы — все векторы e этой оси ссобственным значением λ = 1.Теорема 5 Собственные векторы оператора Â, соответствующие различнымсобственным значениям, линейно независимы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом математической индукции. Пустьλ1 , λ2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
