Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть (ep )n — базис в En , в котором оператор Â имеет матрицу Ae ,элементы x, b — координаты Xe , Be . Тогда в силу формулы (1∗ ) и единственностиразложения по базису, получаем что равенство (17) равносильно следующей системелинейных уравнений:(Ae − λE)Xe = Be .(18)По альтернативе Фредгольма система (18) или имеет единственное решение длялюбого столбца Be при условии, что соответствующая однородная система уравнений(Ae − λE)Xe = θ(19)имеет только тривиальное решение, что возможно, если det(Ae − λE) 6= 0, т.
е.λ не является собственным значением оператора Â, или совместна, если столбецBe ортогонален пространству решений соответствующей сопряженной однороднойсистемы уравнений, при условии, что система (19) имеет нетривиальное решение.Последнее возможно, если det(Ae −λE) = 0, т. е. λ — собственное значение оператораÂ.
Так как для симметричного оператора Ae = ATe , то сопряженная система совпадаетс системой (19), решения которой в этом случае дает все множество собственныхвекторов оператора Â, соответствующих данному собственному значению λ. Поэтомув данном случае альтернатива Фредгольма имеет вид:1) или λ не является собственным значением оператора Â, и тогда уравнение (17)имеет единственное решение x при любом выборе элемента b из En ;2) или λ — собственное значение оператора Â, и тогда уравнение (17) имеет решениетогда и только тогда, когда элемент b ортогонален к собственным векторам оператораÂ, соответствующим данному собственному значению.Эта теорема легко распространяется на случай произвольного линейного оператора Â, если ввести еще одно понятие.О п р е д е л е н и е. Оператор Â∗ , действующий в евклидовом пространствеEn , называется сопряженным к линейному оператору Â, если для любых x, y изEn выполняется соотношение:(Âx, y) = (x, Â∗ y).(20)Утверждение 16 Если в ортонормированном базисе (ep )n оператор  имеет матрицу Ae , то ему сопряженный оператор Â∗ имеет матрицу A∗e = ATe .55Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как (ep )n — ортонормированный базис, то по формуле(3) гл. 4 (Âx, y) = (Ae , Xe )T Ye =(теорема 4 гл. 4, курса аналитической геометрии)=XeT ATe Ye и (x, A∗ y) = XeT A∗e Ye . Но тогда из равенства (20) следует, что XeT ATe Ye =XeT A∗e Ye ⇒ A∗e = ATe .Утверждение 17 Собственные значения операторов Â и Â∗ совпадают.Д о к а з а т е л ь с т в о. Характеристические уравнения (9) для этих операторовимеют вид:det(Ae − λE) = 0 и det(ATe − λE) = 0.Но det(ATe −λE) = det(Ae −λE)T =(1 свойство определителей n-го порядка)= det(Ae −λE). Следовательно, характеристические уравнения этих операторов совпадают, чтои означает совпадение собственных значений.Собственные же векторы у этих операторов будут различны, так как определяются различными системами: для оператора Â — система (19), а для Â∗ — система:(ATe − λE)Xe = θ.(21)Так как для произвольного оператора, вообще говоря, Ae 6= ATe , то сопряженная однородная система уравнений, соответствующая системе (18), уже не будет совпадатьс системой (19).
Это система (21). Итак, в общем случае альтернатива Фредгольмаможет быть сформулирована следующим образом:1) или λ не является собственным значением оператора Â, и тогда уравнение (17)имеет единственное решение x при любом выборе элемента b из En ;2) или λ — собственное значение оператора Â, и тогда уравнение (17) имеет решениетогда и только тогда, когда элемент b ортогонален к собственным векторам оператораÂ∗ , соответствующим данному собственному значению.О п р е д е л е н и е.
Линейный оператор Q̂, действующий в евклидовом пространстве E, называется ортогональным, если для любых x, y из E выполняетсяравенство:(Q̂x, Q̂y) = (x, y).(22)Отсюда непосредственно следует, что если (ep )n — ортонормированный базис вE, то (Q̂ep )n — также ортонормированный базис в E.Утверждение 18 В любом ортонормированном базисе (ep )n матрица Qe ортогонального оператора Q̂ является ортогональной матрицей.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если (ep )n — ортонормированный базис, то по формуле(3) гл. 4 (Q̂x, Q̂y) = (Qe Xe )T Qe Ye = XeT QTe Qe Ye = XeT (QTe Qe )Ye и (x, y) = XeT Ye . Тогдав силу (22) QTe Qe = E, что означает, что Qe — ортонормированная матрица.Теорема 10 Для того чтобы линейный оператор Q̂ был ортогонален, необходимои достаточно, чтобы существовал оператор Q̂−1 и было выполнено равенствоQ̂∗ = Q̂−1 ,(23)где Q̂∗ — оператор, сопряженный к Q̂, а Q̂−1 — оператор, обратный к Q̂.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (ep )n — ортонормированный базис в En , в котором оператор Q̂ имеет матрицу Qe . Тогда Q∗e = QTe , и равенство (23) равносильноравенству QTe = Q−1e , которое совпадает с (13) гл. 4. Как следует из теорем 1, 2пространство операторов изоморфно пространству n × n-матриц.
Но в пространствеn × n-матриц эта теорема доказана. Следовательно, утверждение теоремы верно и впространстве операторов.56Гл. 6. Квадратичные формы.В этой главе будем рассматривать поле K0 — поле всех действительных чисел.§1. Общие понятия.О п р е д е л е н и е. Квадратичной формой называется функция n переменныхx , x2 , . .
. , xn из K0 вида1φ(x1 , x2 , . . . , xn ) = apk xp xk , p, k = 1, n(1)где apk ∈ K0 , причем apk = akp , т. е. матрица квадратичной формы A = ||apk ||nnесть симметричная матрица.П р и м е р. φ(x1 , x2 , x3 ) = 4x1 x2 − x2 x2 − 6x1 x3 + 2x3 x3 + 2x2 x3 . Так как у квадратичной формы apk = akp , то все смешанные произведения надо разбить на суммудвух равных слагаемых. Например: 4x1 x2 = 2x1 x2 + 2x2 x1 . В итоге получим матрицуквадратичной формы:02 −31 A = 2 −1.−312З а м е ч а н и е.
Выписывая матрицу квадратичной формы, не забывайте, что смешанные члены в ней берутся удвоенными.Очевидно, что матрица A однозначно определяет квадратичную форму.В ы в о д: всякой квадратичной форме соответствует единственная симметричнаяматрица A порядка n; обратно: если есть симметричная матрица A порядка n, то мыможем написать квадратичную форму с матрицей A.Квадратичную форму (1) можно записать в матричной форме, если ввести, какобычно, обозначения: X = ||xk ||n — матрица-столбец высоты n, X T = (x1 , x2 , .
. . , xn )— матрица-строка длины n. Тогда AX = ||apk xk ||n — матрица-столбец высоты n.Если теперь эту матрицу умножить слева на матрицу X T , то получим I × I-матрицус элементом apk xp xk — квадратичную форму (1), т. е.φ(x1 , . . . , xn ) = X T AX.(2)§2. Изменение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.Пусть P = ||pek ||n,n , Q = ||qek ||n,n , A = ||aek ||n,n , B = ||bek ||n,n , X = ||xk ||n , Y =||y k ||n , Z = ||xk ||n .О п р е д е л е н и е.
Линейным преобразованием переменных y 1 , . . . , y n в переменные x1 , . . . , xn называется преобразование видаX = P Y,(3)причем, матрица P называется матрицей линейного преобразования (3).З а м е ч а н и е. Здесь ради удобства изложения материала этой главы используется матричная форма записи оператора P̂ или, что то же самое, линейного преобразования пространства.Если P — невырожденная матрица, то преобразование (3) называется невырожденным. В противном случае оно называется вырожденным преобразованием. ПустьP — невырожденная матрица, т. е. det P 6= 0. Тогда для этой матрицы существует57обратная P −1 , с помощью которой можно совершить линейное преобразование отпеременных x1 , . .
. , xn к переменным y 1 , . . . , y n :Y = P −1 X.(4)Преобразование (4) называется обратным к преобразованию (3).Пусть даны два последовательных преобразования Z → Y → X, т. е. преобразование (3) и преобразованиеY = QZ.(5)Их можно заменить одним преобразованием Z → X, т. е. X = BZ, где B = P Q. Кэтому выводу мы приходим, подставив значение Y из (5) в формулу (3).О п р е д е л е н и е.
Преобразование X = P QZ называется произведением преобразований (3) и (5).Как следует из теоремы 5 гл. 4 курса аналитической геометрии, произведениепреобразований невырождено тогда и только тогда, когда каждый из сомножителейявляется невырожденным преобразованием.Теорема 1 Квадратичная форма X T AX после применения линейного преобразования (3) переходит в квадратичную форму Y T BY , гдеB = P T AP.(6)Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
