Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Нормируем их, т. е. требуем, чтобы (Xk , Xk ) = 1, k = 1, 2, 3. Тогда: а)2c2 = 1, т. е. c = 2−1/2 , б) 4c2 = 1, т. е. c = 0.5, в) 4c2 = 1, т. е. c = 0.5. Итак,б) для λ2 = 21/20.50.5−2−1/2 −1/2 −1/2 0 , f2 = 2f1 = . , f3 = −2−1/20.50.52Поэтому матрица ортогонального преобразования X = QY имеет вид:−2−1/2 0.50.5Q=02−1/2 −2−1/2 .2−1/20.50.5Это преобразование приводит квадратичную форму к каноническому виду:√√φ(y 1 , y 2 , y 3 ) = λ1 (y 1 )2 + λ2 (y 2 )2 + λ3 (y 3 )2 = 2(y 2 )2 + 2(y 3 )2 .0 1 1П р и м е р 2.
φ(x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 . A = 1 0 1 , det(A − λE) =1 1 00 ⇒ λ1,2 = −1, λ3 = 2. При λ = −1 система (A−λE)Xe = θ принимаетвид: x1 = −c2 −−13c . Поэтому базис в пространстве решений, т. е. ФСР, есть X1 = 1 , X2 =0−1 0 . Но (x1 , x2 ) 6= 0, т. е. они не ортогональны. Поэтому применим алгоритм1−2−1/2ортогонализации: e1 = x1 /|x1 | = 2−1/2 ; e2 = c2 /|c2 |, где c2 = x2 − (e1 , x2 )e1 =0√ √ −1/√6−0.5−1−1/√26 0 − 2−1/2 · 1/ 2 = −0.5 , |c2 | = 1.51/2 , e2 = −1/.q1102/362√ 1/√3При λ = 2 e2 = 1/√3 . Поэтому X = QY , где1/ 3√√√−1/√2 −1/√6 1/√36 1/ 3Q= 1/ 2 −1/q√02/3 1/ 3.Значит, φ(y 1 , y 2 , y 3 ) = −(y 1 )2 − (y 2 )2 + 2(y 3 )2 .§5.
Билинейные формы. Их связь с квадратичными формами.Пусть в линейном пространстве Rn каждой упорядоченной паре элементов x, yпо некоторому правилу B ставится в соответствие число u. Тогда u = B(x, y) будемназывать числовой функцией от двух аргументов x, y в линейном пространстве Rn .О п р е д е л е н и е.
Числовая функция B(x, y) называется билинейной формойот x, y, если для любых элементов x, y, e из Rn выполняются условия:1. линейность по первому аргументу при фиксированном втором:а) B(x + y, e) = B(x, e) + B(y, e),б) для любого a из K0 B(ax, y) = B(x, y) · a;2. линейность по второму аргументу при фиксированном первом:в) B(x, y + e) = B(x, y) + B(x, e),г) для любого a из K0 B(x, ay) = B(x, y) · a.Из определения билинейной формы по индукции легко получить следующее соотношение. Если x, y — линейные комбинации каких-либо элементов пространстваRn , т. е. x = ap ξp , p = 1, s; y = ck ηk , k = 1, m, тоB(x, y) = B(ap ξp , ck ηk ) = ap ck B(ξp , ηk ).(9)Выберем в пространстве Rn некоторый базис (ep )n .
Тогда любые два элемента x, yмогут быть разложены по этому базису: x = ep xp , y = ep y p , p = 1, n. ОбозначивB(ep , ek ) = bpk и применив формулу (9), получим:B(x, y) = bpk xp y k .(10)Представление (10) называется общим видом билинейной формы в n-мерном линейном пространстве, а матрица Be = ||bpk ||n,n называется матрицей билинейной формыB(x, y) в базисе (ep )n .П р и м е р ы.1) В линейном пространстве V3 скалярное произведение двух векторов (~a, ~b) являетсяoбилинейной формой, т. е. B(~a, ~b) = (~a, ~b), что следует из свойств 1-4 скалярногопроизведения векторов. Если в качестве базиса V3 взять векторы ~i, ~j, ~k, то bpp =1, p = 1, 2, 3, bps = 0 при p 6= s, т. е.
B~i,~j,~k = ||δps ||3,3 .2) В пространстве C[a,b] билинейной формой является, например, функция B(x, y) =Rbx(c)y(c)dc. Но так как это пространство бесконечномерно, то эта билинейная формане имеет матрицы.Введенную выше билинейную форму можно записать в матричной форме. Пустьв Rn задан базис (ep )n . Тогда любой элемент пространства можно разложить поa63этому базису, т. е. x = ep xp = eXe , y = ep y p = eYe . Поэтому равенство (10) в силуопределения операции умножения матриц можно записать так:B(x, y) = XeT Be Ye .(11)Теорема 8 Пусть Be и Bf — матрицы билинейной формы B(x, y) в базисах (ep )nи (fp )n , соответственно.
Тогда, если P — матрица невырожденного преобразования, переводящего базис (ep )n в базис (fp )n , т. е. f = eP , тоBf = P T Be P.(12)Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в базисе (ep )n элементы x, y имеют координатыXe , Ye , а в базисе (fp )n — Xf , Yf соответсвенно.
Так как f = eP , det P 6= 0, топо формуле (6) §6 гл. 2 имеем: Xe = P Xf , Ye = P Yf . Тогда B(x, y) =(формулаo(11))= XeT Be Ye = (P Xf )T Be · (P Yf ) =(свойство 2 операции умножения матриц)=XfT (P T Be P )Yf = XfT Bf Yf . Отсюда следует утверждение теоремы.Пр и м е р. В пространствеV3 заданы базис ~e1 = ~i, ~e2 = ~j, ~e3 = ~k и матрица1 −1021 P = 0ep )3 линейного преобразования, в результате которого базис (~00 −3~p )3 по формуле f = eP , т. е. (f1 f2 f3 ) = (~e1 2~e2 − ~e1 ~e2 − 3~e3 ) ⇒перейдетвбазис (f01−1f~1 = 0 , f~2 = 2 , f~3 = 1 .
Найдем теперь в обоих базисах матрицу−300билинейной формы,котораявбазисе(ep )3 имеет вид B(x, y) = x1 y 1− 2x1 y 2 + 3x3 y 1−1 −5 −21 −2 0T3 252 0 0 . По формуле (12) Bf = P Be P = −1x y , т. е. Be = 0,−9 1533 −1 0т. е. в этом базисе билинейная форма запишется так: B(x, y) = x1 y 1 − 5x1 y 2 − x2 y 1 +5x2 y 2 − 2x1 y 3 − 9x3 y 1 + 2x2 y 3 + 15x3 y 2 + 3x3 y 3 .О п р е д е л е н и е. Билинейная форма B(x, y) называется симметричной, еслидля любых x, y из Rn B(x, y) = B(y, x).Теорема 9 Для того, чтобы билинейная форма B(x, y) была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы в некотором базисе (ep )n ее матрица Be была симметричной.Н е о б х о д и м о с т ь.
Пусть B(x, y) = B(y, x). Тогда в базисе (ep )n bkp = B(ek , ep )= B(ep , ek ) = bpk . Что и требовалось доказать.Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть в базисе (ep )n Be = BeT . Тогда по формуле (10)B(x, y) = bpk xp y k = bkp y k xp = B(y, x). Теорема доказана.Оказывается билинейная форма связана непосредственно с ранее введенной намиквадратичной формой. А именно, если в билинейной форме положить y = x, то всилу (10)B(x, x) = bpk xp xk(13)— функция n переменных x1 , .
. . , xn , которые здесь интерпретируются как координаты элемента x пространства Rn в базисе (ep )n . В записи (13) есть подобныечлены bpk xp xk и bkp xk xp . Введем симметричную матрицу A: apk = akp = (bpk + bkp )/2,akk = bkk . Тогда B(x, x) = A(x, x) = apk xp xk — квадратичная форма. Отсюда следует,что одну и ту же квадратичную форму можно получить из различных билинейных форм B(x, y) = X T BY и B ∗ (x, y) = X T B ∗ Y , если только bpk + bkp = b∗pk + b∗kp ,k, p = 1, n.64В ы в о д: каждой билинейной форме соответствует единственная квадратичнаяформа; каждой квадратичной форме соответствует бесконечно много билинейныхформ, но среди них есть единственная симметричная билинейная форма.П р и м е р.
Если дана квадратичная форма φ(x1 , x2 , x3 ) = (x1 )2 − 2x1 x2 + 3x2 x3 , тосоответствующая ей симметричная билинейная форма имеет вид B(x, y) = A(x, y) =x1 y 1 − x1 y 2 − x2 y 1 + 1.5x2 y 3 + 1.5x3 y 2 .Любая симметричная билинейная форма A(x, y) может быть выражена черезквадратичные формы.
Действительно, A(x + y, x + y) =(по свойству а) билинейнойформы)= A(x, x+y)+A(y, x+y) =(свойство б) билинейной формы)= A(x, x)+A(x, y)+A(y, x) + A(y, y). Так как билинейная форма симметрична, то A(x, y) = A(y, x). Следовательно,A(x, y) = 0.5(A(x + y, x + y) − A(x, x) − A(y, y)).О п р е д е л е н и е. Базис (ep )n в линейном пространстве Rn называется каноническим для билинейной формы B(x, y), если B(ep , ek ) = 0, p =6 k, p, k = 1, n.Теорема 9∗ Для того, чтобы билинейная форма B(x, y) была симметричной,необходимо и достаточно, чтобы эта форма имела канонический базис.Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть форма B(x, y) — симметричная билинейная формаA(x, y). Пусть в базисе (ep )n A(x, y) = XeT Ae Ye .
Соответствующая этой билинейной форме квадратичная форма A(x, x) = XeT Ae Xe по теореме 5 невырожденнымпреобразованием X = P Z приводится к каноническому виду, т. е. матрица P T Ae Pимеет диагональный вид. Этому преобразованию соответствует преобразование базиса (ep )n в базис (fp )n по формуле f = eP . Тогда, как следует из формулы (12),Af = P T Ae P , которая по выше доказанному является диагональной.
Следовательно,в этом базисе A(x, y) = akk xk y k , т. е. akp = A(fk , fp ) = 0 при k 6= p. Но это и означает,что базис (fp )n — канонический.Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть (ep )n — канонический базис. Тогда матрица Be билинейной формы в этом базисе имеет диагональный вид, так как bkp = B(ek , ep ) = 0при k 6= p. Но диагональная матрица совпадает со своей транспонированной, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
