Шишкин. Линейная алгебра (лекции) (1113076), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

е.Be = BeT . А это означает, что билинейная форма B(x, y) является симметричной.§6. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.Пусть дана квадратичная форма X T AX. Как отмечалось в §5, ее можно рассматривать как частный случай билинейной формы, т. е. X T AX = A(x, x), где x1 , . . . , xnинтерпретируются как координаты элемента x пространства Rn в базисе (ep )n . Поэтому проблему приведения квадратичной формы к каноническому виду можно рассматривать как проблему выбора канонического базиса.

Сделаем это с помощьютреугольного преобразования базисных элементов:f1 = e1f2 = c21 e1 + e2f3 = c31 e1 + c32 e2 + e3..............................fn = cn1 e1 + cn2 e2 + cn3 e3 + . . . + en(14)Так как определитель матрицы преобразования отличен от нуля (равен 1), то f1 , . . .

, fnобразуют базис в Rn . Далее, нам потребуются угловые миноры матрицы A = Aeквадратичной формы A(x, x) в базисе (ep )n : ∆k = det ||apk ||k,k , k = 1, n − 1.65Теорема 10 Пусть миноры ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n−1 матрицы A квадратичной формы X T AXотличны от нуля. Тогда существует единственное треугольное преобразование(14) базисных элементов e1 , e2 , . . . , en приводящее квадратичную форму X T AX кканоническому виду.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как X T AX = A(x, x), то, как следует из §5, в любомбазисе (fp )n коэффициенты квадратичной формы вычисляются по формуле: apk =A(fp , fk ).

Если форма A(x, x) в базисе (fp )n имеет канонический вид, то apk = 0при p 6= k. Поэтому для доказательства теоремы достаточно построить с помощьюпреобразования (14) базис (fp )n такой, что 1) в нем будут выполняться соотношения:A(fp , fk ) = 0, p 6= k, p, k = 1, n(15)или, что то же, при p < k (ибо apk = akp ), и 2) он (базис) единственный.Так как в силу (14) fp = cp1 e1 + cp2 e2 + .

. . + cp,p−1 ep−1 + ep , то на основании формулы(9) имеем:A(fp , fk ) = cp1 A(e1 , fk ) + cp2 A(e2 , fk ) + . . . + A(ep , fk ).Поэтому условия (15) будут иметь место, еслиA(e1 , fk ) = 0, A(e2 , fk ) = 0, . . . , A(ek−1 , fk ) = 0, k = 2, n.(16)Так как по соотношениям (14) fk = ck1 e1 + ck2 e2 + . . . + ek , то (16) примет вид:ck1 A(ep , e1 ) + ck2 A(ep , e2 ) + . . . + A(ep , ek ) = 0, p = 1, k − 1 k = 2, n.Обозначив A(ep , ek ) = bpk , запишем окончательно (16) так: ck1 b11 + ck2 b12 + .

. . + ck,k−1 b1,k−1 + b1k = 0................................................ck1 bk−1,1 + ck2 bk−1,2 + . . . + ck,k−1 bk−1,k−1 + bk−1,k = 0(17)Определитель системы (17) равен ∆k−1 , который по условию теоремы отличен от нуля. Следовательно, эта система имеет единственное решение.

Таким образом, можно построить единственное преобразование (14), приводящее квадратичную формуA(x, x) к каноническому виду. Теорема доказана.В заключение приведем формулы, по которым можно вычислить коэффициентыcpk преобразования (14) и формулы для канонических коэффициентов λk квадратичной формы.Обозначим символом ∆k−1,p минор матрицы A, расположенный на пересечениистрок с номерами 1, 2, . . . , k − 1 и столбцов с номерами 1, 2, .

. . , p − 1, p + 1, . . . , k.Тогда из системы (17) по формулам Крамера находим, чтоckp = (−1)k+p∆k−1,p.∆k−1(18)Вычислим теперь λk . Так как λk = akk = A(fk , fk ), то из равенств (14) следует, чтоλ1 = A(f1 , f1 ) = A(e1 , e1 ) = a11 = ∆1 , а при k = 2, n : λk = A(fk , fk ) = A(ck1 e1 +ck2 e2 + . . . + ek , fk ) =(в силу (16))= A(ek , fk ) = A(ek , ck1 e1 + .

. . + ek ) = ck1 b1k + ck2 b2k +. . . + ck,k−1 bk−1,k + bkk = (формулы (18))= [(−1)k+1 b1k ∆k−1,1 + (−1)k+2 b2k ∆k−1,2 + . . . +(−1)2k−1 bk−1,k ∆k−1,k−1 + bkk ∆k−1 ]/∆k−1 . Но [. . . . . .] — сумма произведений элементовk-ой строки определителя ∆k на алгебраические дополнения этих элементов в томже определителе. Следовательно, эта скобка равна самому определителю ∆k , т. е.λk = ∆k /∆k−1 . Итак,λ1 = ∆ 1 , λ 2 =∆2∆n, . . .

, λn =.∆1∆n−166(19)§7. Закон инерции квадратичной формы.Как доказано в теореме 4, число ненулевых коэффициентов в каноническим видеквадратичной формы постоянно, т. е. является инвариантом квадратичной формыотносительно преобразований, приводящих квадратичную форму к каноническомувиду. Оказывается, что число положительных и отрицательных коэффициентов вканонической форме также постоянно, независимо от способа приведения невырожденным преобразованием к каноническому виду.Теорема 11 (об инерции квадратичной формы) Число положительных и отрицательных коэффициентов в каноническом виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденным преобразованием, не зависит от выбора этогопреобразования.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть квадратичная форма φ(x1 , . . . , xn ) ранга r невырожденным преобразованием Y = P X приведена к каноническому виду:a1 (y 1 )2 + . . . + ak (y k )2 − ak+1 (y k+1 )2 − . . . − ar (y r )2 (ap > 0, p = 1, r),(20)а невырожденным преобразованием Z = CX — к виду:b1 (z 1 )2 + .

. . + be (z e )2 − be+1 (z e+1 )2 − . . . − br (z r )2 (bp > 0, p = 1, r).(21)Так как det P 6= 0, det C 6= 0, то задав значения x1 , . . . , xn , однозначно из Y = P Xи Z = CX определим значения y 1 , . . . , y n и z 1 , . . . , z n . Тем самым формулы (20),(21) определят значение квадратичной формы в точке x1 , . . . , xn , т. е.

их можноприравнять:a1 (y 1 )2 + . . . + ak (y k )2 − ak+1 (y k+1 )2 − . . . − ar (y r )2 = b1 (z 1 )2 + . . . − br (z r )2 .(22)Надо доказать, что k = e. Предположим противное, т. е. k > e. Как уже говорилось,в равенстве (22) переменные y 1 , . . . , y n и z 1 , . . . , z n связаны с переменными x1 , . . . , xnсоотношениями: 1i y = p1i x ,........., y k = p xi ,Y = P X ⇒  k+1 kiy= pk+1,i xi ,............, ny = pni xi , 1z = c1i xi ,(23)........., z e = c xi ,eiZ = CX ⇒e+1z=ce+1,i xi ,............, nz = cni xi ,(i = 1, n).Так как k > e, то число уравнений в системе (23) n − k + e < n.

Найдем из этойсистемы решение x1 , . . . , xn , для которогоy k+1 = . . . = y n = 0,(24)z 1 = . . . = z e = 0.(25)67В силу этих условий система (23) — однородная система уравнений, причем онанетривиально совместна, так как число уравнений меньше числа неизвестных. Поэтому существуют числа x1 , . . . , xn , не все равные нулю, которые удовлетворяютсистеме (23) при условиях (24), (25).

Теперь для этих значений x1 , . . . , xn из равенств Y = P X и Z = CX найдем y 1 , . . . , y k и z e+1 , . . . , z n и подставим в равенство(22), учитывая (24), (25):a1 (y 1 )2 + . . . + ak (y k )2 = −be+1 (z e+1 )2 − . . . − br (z r )2 .Но это равенство возможно, поскольку ap > 0, bp > 0, p = 1, r, тогда и толькотогда, когда y 1 = . . . = y k = 0 и z e+1 = .

. . = z r = 0. Но тогда, учитывая (24),например, получаем,что Y = θ. Поэтому и так как det P 6= 0 из Y = P X получаем,что X = θ. Пришли к противоречию с предположением, что X 6= θ, означающее, чтопредположение k > e неверно. Аналогично доказывается, что k < e быть не может.Таким образом, остается лишь один случай: k = e. Что и требовалось доказать.§8.

Классификация квадратичных форм.О п р е д е л е н и е. Квадратичная форма X T AX называется1) положительно (отрицательно) определенной, если для всех X X T AX ≥ 0 (≤ 0),причем X T AX = 0 только при X = θ (такие формы называются также знакоопределенными);2) Квазиопределенной, если она может принимать значения X T AX ≥ 0 (≤ 0) дляX 6= θ.3) неопределенной, если она может принимать как положительные, так и отрицательные значения.Теорема 12 Для того, чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты вканоническом виде этой формы были строго положительны (отрицательны).Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть X T AX > 0 всюду, кромеX = θ.

Пусть невырожденным преобразованием Y = P X эта форма приведена кканоническому виду(26)ak (y k )2 , k = 1, n.Требуется доказать, что ak > 0, k = 1, n. Зафиксируем k и положим y 1 = . . . = y k−1 =y k+1 = . . . = y n = 0, y k = 1. Тогда из системы Y = P X определим нетривиальноерешение X, для которого0 < X T AX = Y T BY = φ(0, . . .

, 0, 1, 0, . . . , 0) = ak ⇒ ak > 0.Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть в квадратичной форме (26) ak > 0, k = 1, n. Требуетсядоказать: X T AX > 0 при X 6= θ и X T AX = 0 при X = θ. Пусть X 6= θ. Тогда изсистемы Y = P X определяем Y 6= θ. Поэтому X T AX = Y T BY = ak (y k )2 > 0, таккак ak > 0 и не все y k равны нулю. Если же X = θ, то из системы Y = P X имеемY = P θ = θ.

Следовательно, X T AX = Y T BY = a1 · 0 + . . . + an · 0 = 0.С л е д с т в и е. Если квадратичная форма положительно определена, то невырожденным преобразованием ее можно привести к виду: (y 1 )2 + (y 2 )2 + . . . + (y n )2 .Теорема 13 (Критерий Сильвестра) Для того, чтобы квадратичная форма X T AXбыла положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры матрицы A ∆k > 0, k = 1, n. Для того, чтобы эта квадратичная форма былаотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловыхминоров чередовались, причем ∆1 < 0.68Н е о б х о д и м о с т ь.

Пусть квадратичная форма X T AX = A(x, x) положительно определена. Докажем, что ∆k 6= 0, k = 1, n. Предположим противное, т. е. длянекоторого k ∆k = 0. Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений:(27)aep xp = 0, e, p = 1, k.Так как ∆k — определитель этой системы и ∆k = 0, то система (27) имеет ненулевоерешение x1 , . .

. , xk (не все xe равны нулю). Умножим первое из уравнений системы(27) на x1 , второе — на x2 , . . ., последнее — на xk и сложим полученные соотношения. В итоге получим равенство: aep xe xp = 0, e, p = 1, k, левая часть которогопредставляет собой значение квадратичной формы A(x, x) для ненулевого вектора xс координатами x1 , .

. . , xk , 0, . . . , 0. Это значение равно нулю, что противоречит знакоопределенности формы. Итак, ∆k 6= 0, k = 1, n. Поэтому можно применить методЯкоби приведения формы A(x, x) к сумме квадратов и воспользоваться формулами(19) для канонических коэффициентов λk .

Если A(x, x) — положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты положительны. Но тогда из равенств(19) следует, что ∆p > 0, p = 1, n. Если же A(x, x) — отрицательно определеннаяформа, то все канонические коэффициенты отрицательны. Но тогда из формул (19)следует, что знаки угловых миноров чередуются, причем ∆1 < 0.Д о с т а т о ч н о с т ь.

Пусть выполнены условия, наложенные на угловые минорыв формулировке теоремы. Тогда форму A(x, x) можно привести к сумме квадратовметодом Якоби, причем канонические коэффициенты могут быть найдены по формулам (19). Если все угловые миноры положительны, то из (19) следует, что всеλp > 0, т. е. A(x, x) — положительно определенная. Если же знаки ∆p чередуютсяи ∆1 < 0, то из соотношений (19) следует, что A(x, x) отрицательно определенная.Теорема доказана.З а д а ч и. Доказать:1) Если A — матрица положительно определенной квадратичной формы, то A−1— матрица положительно определенной квадратичной формы;2) для всякой матрицы C, det C 6= 0, C T C — матрица положительно определеннойквадратичной формы;3) если A — матрица положительно определенной квадратичной формы, то всеэлементы главной диагонали больше нуля;4) если квадратичная форма неотрицательная и akk = 0, то все элементы k-го иk-ой строки матрицы этой квадратичной формы равны нулю.Р е ш е н и е.1) Если A — матрица положительно определенной квадратичной формы, то послепреобразования (3) матрица P T AP — матрица все той же положительно определенной квадратичной формы, если det P 6= 0.

Характеристики

Список файлов лекций