Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Åñëè H = G, òî (L : LH ) = (L : K) ⇒LH = K . Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè LH = K , òî ðàñøèðåíèå K ⊂ L åñòü ðàñøèðåíèå Ãàëóà è H = G.Ïóñòü L = K(θ). Òîãäà ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ìèíèìàëüíûé äëÿ θ ìíîãî÷ëåí íàä K èìååò âèäYΦ(x) =(x − g(θ)).Èòàê,g∈G306Ëåêöèÿ 51Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîìíîãî÷ëåíL ïîëå ðàçëîæåíèÿ äëÿ Φ(x).
Ïîýòîìó K ⊂ L íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå. Äàëåå,Yφ(x) =(x − h(θ))h∈HLH (â ñèëó âñå òåõ æå ôîðìóë Âèåòà è òåîðåìû î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãîK = LH .  ñèëó íåðàçëîæèìîñòè ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà Φ(x) = φ(x)â ïîäãðóïïå H ðàâíî ÷èñëó àâòîìîðôèçìîâ â ãðóïïå G ⇒ H = G. 2ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàä÷ëåíàõ) è, ñëåäîâàòåëüíî, íàä⇒÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ(3)Äëÿ ëþáîãî ïðîìåæóòî÷íîãî ïîëÿG = Aut(L, K).2PãðóïïàH =Aut(L, P ) ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïûÒåîðåìà. Åñëè L íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ K , òî P = LH íîðìàëüíîå ïîëå íàä K òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà H íîðìàëüíûé äåëèòåëü ãðóïïû G = Aut(L, K); ïðè ýòîì ãðóïïà Aut(P, K)èçîìîðôíà ôàêòîð-ãðóïïå G/H .PÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P = K(ζ). Òîãäà ëþáîé ýëåìåíò a ∈ P èìååò âèä a = αi ζ i , αi ∈ K .
ßñíî,÷òî ζ êîðåíü ñâîåãî ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà è g(ζ) áóäåò åãî æå êîðíåì äëÿ ëþáîãî àâòîìîðôèçìàg ∈ G.Åñëè ïîëå P íîðìàëüíî íàä K , òî âñå êîðíè äàííîãî ìíîãî÷ëåíà ïðèíàäëåæàò P ⇒ g(ζ) ∈ P .PP−1Çíà÷èò, (ghg)(ζ) = (g −1 g)(ζ) = ζ ∀ h ∈ H ⇒ (g −1 hg)( αi ζ i ) =αi ζ i . Òàêèì îáðàçîì, g −1 hg ∈H ∀h ∈ H, ∀g ∈ G ⇒ H ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé ãðóïïû G.−1Åñëè H íîðìàëüíûé äåëèòåëü ãðóïïû G, òî (ghg)(ζ) = ζ ∀h ∈ H, ∀g ∈ G.
Îòñþäà h(g(ζ)) =g(ζ) ∀ h ∈ H ⇒ g(ζ) ∈ P . Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé àâòîìîðôèçì g ∈ G ïðè äåéñòâèè íà ÷èñëà èç Pïåðåâîäèò èõ â ÷èñëà èç P , ïîðîæäàÿ òåì ñàìûì àâòîìîðôèçì ïîëÿ P íàä K . Ïðè ýòîì âñå àâòîìîðôèçìû âèäà hg , ãäå h ∈ H , ïîðîæäàþò îäèí è òîò æå àâòîìîðôèçì ïîëÿ P íàä K . Àâòîìîðôèçìûg1 , g2 ∈ G îñòàâëÿþò ðàçíûå ñëåäû íà P òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà g1 g2−1 ∈/ H . Ñëåäîâàòåëüíî,÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ P íàä K ðàâíî ÷èñëó ðàçëè÷íûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ãðóïïû G ïî íîðìàëüíîìóäåëèòåëþ H ⇒îíî ðàâíî ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ (P : K) = (L : K)/(L : P ) ⇒ ïîëå P íîðìàëüíî íàäK . Èòàê, êàæäîìó ñìåæíîìó êëàññó ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ïîðîæäàåìûé ëþáûì åãî ïðåäñòàâèòåëåìàâòîìîðôèçì P íàä K ýòî è åñòü èçîìîðôèçì ìåæäó G/H è Aut(P, K).
251.7Ðàçðåøèìîñòü àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéÏóñòü f (x) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n íàä ïîëåì K ⊂ C, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî f (x) èìååò n ïðîñòûõ êîðíåéθ1 , . . . , θn è g ∈ G = Aut(L, K), ãäå L ïîëå ðàçëîæåíèÿ f (x). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî g(θi ) = θσ(i) äëÿíåêîòîðîé ïîäñòàíîâêè σ ∈ Sn .
Íåñëîæíî ïðèäòè ê âûâîäó î òîì, ÷òî ãðóïïà G èçîìîðôíà ïîäãðóïïåñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû Sn (ïîýòîìó î íåé îáû÷íî ãîâîðÿò ïðîñòî êàê î ïîäãðóïïå â Sn ).Èçó÷åíèå öåïî÷åê ðàäèêàëüíûõ ðàñøèðåíèé âèäà(∗)ìîæíî ñâåñòè ê èçó÷åíèþ ñïåöèàëüíûõ ïîä-ãðóïï ãðóïïû Ãàëóà íîðìàëüíûõ äåëèòåëåé ñ àáåëåâîé (áîëåå òîãî, äàæå ñ öèêëè÷åñêîé) ôàêòîðãðóïïîé.  ñàìîì äåëå, ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì òàêèõ öåïî÷åê, â êîòîðûõ êàæäîå çâåíîäàåò ïîëå ðàçëîæåíèÿ íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíàxp − aïðè ïðîñòîìp.Ìû óæå çíàåì, ÷òî ãðóïïà Ãàëóàòàêîãî ðàñøèðåíèÿ èìååò íîðìàëüíûé äåëèòåëü ñ öèêëè÷åñêîé (à çíà÷èò, è àáåëåâîé) ôàêòîð-ãðóïïîé. ãðóïïåSnïðèn≥5íîðìàëüíûõ äåëèòåëåé ñ àáåëåâîé ôàêòîð-ãðóïïîé ñëèøêîì ìàëî îäíàëèøü çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïà (ñì.
äîêàçàòåëüñòâî â ðàçäåëå 18.13).(4) êîíå÷íîì ñ÷åòå îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ ïðèìåðû íåðàçðåøèìûõ â ðàäèêàëàõ àëãåáðàè÷åñêèõn ≥ 5.Sn .óðàâíåíèé ñòåïåíèÃàëóà ñîâïàäàåò ñ(5)Íåðàçðåøèìûì áóäåò ëþáîå óðàâíåíèå ñòåïåíèn ≥ 5,äëÿ êîòîðîãî ãðóïïàSn íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáûõ íîìåðîâ i, j îò 1 äî nσ ∈ G òàêàÿ, ÷òî σ(i) = j .Óòâåðæäåíèå. Åñëè f (x) íåðàçëîæèìûé ìíîãî÷ëåí íàä ïîëåì K ⊂ C, òî ãðóïïà G = Aut(L, K)èçîìîðôíà íåêîòîðîé òðàíçèòèâíîé ãðóïïå ïîäñòàíîâîê.ÏîäãðóïïàGãðóïïûñóùåñòâóåò ïîäñòàíîâêàÄîêàçàòåëüñòâî.Ìû çíàåì, ÷òî íåðàçëîæèìûé ìíîãî÷ëåí íàäK⊂Cèìååò òîëüêî ïðîñòûå êîðíè.2 Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò êîíå÷íîñòü ÷èñëà ïðîìåæóòî÷íûõ ïîëåé.Å.
Å. ÒûðòûøíèêîâÏóñòüαèβ307 ðàçëè÷íûå êîðíèf (x).Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíΨ(x) =Y(x − g(α)).g∈G ñèëó ôîðìóë Âèåòà, êîýôôèöèåíòûîïèðàÿñü íà ïðåäëîæåíèåΨ(x) îñòàþòñÿ íà ìåñòå ïðè âñåõ àâòîìîðôèçìàõ èç G. Ïîýòîìó,(2), çàêëþ÷àåì, ÷òî îíè ïðèíàäëåæàò ïîëþ K . Ïîñêîëüêó f (α) = Ψ(α) = 0,f (x) è Ψ(x) èìåþò îáùèé êîðåíü ⇒ èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íàä K èìååò ñòåïåíü≥ 1 ⇒ f (x) ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì äëÿ Ψ(x). Ñëåäîâàòåëüíî, β ñîäåðæèòñÿ ñðåäè ýëåìåíòîâ âèäà g(α).2ìíîãî÷ëåíû(6) Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ëþáàÿ òðàíçèòèâíàÿ ïîäãðóïïà G ãðóïïû Sn , ñîäåðæàùàÿ õîòÿ áû îäíó òðàíñïîçèöèþ, ïðè ïðîñòîì n ñîâïàäàåò ñ Sn .Âîò ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà. Ââåäåì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè: i ∼ j ⇔ (ij) ∈ G. Òðàíçèòèâíîñòüäàííîãî îòíîøåíèÿ ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà (ij)(jk)(ij) = (ik).
Òðàíçèòèâíîñòü ãðóïïû G ïîçâîëÿåò äîêàçàòü, ÷òî êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ñîäåðæàò îäíî è òî æå ÷èñëî íîìåðîâ. Ïîýòîìó ïðè ïðîñòîì nèìååòñÿ ðîâíî îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, G ñîäåðæèò âñå òðàíñïîçèöèè.(7)ÏóñòüK = Q.Ìíîãî÷ëåíðàçëè÷íûõ âåùåñòâåííûõθ1 , θ2 , θ3f (x) = x5 − 4x − 2ÿâëÿåòñÿ íàðàçëîæèìûì íàäêîðíÿ è äâà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ êîðíÿζ, ζQè èìååò òðè(äîêàæèòå!). Âäàííîì ñëó÷àå ãðóïïà Ãàëóà òðàíçèòèâíà è ñîäåðæèò òðàíñïîçèöèþ (àâòîìîðôèçì, ïåðåâîäÿùèéζè îñòàâëÿþùèé íà ìåñòåñS5 .θ1 , θ2 , θ3 ).ζâÒàêèì îáðàçîì, äëÿ äàííîãî ìíîãî÷ëåíà ãðóïïà Ãàëóà ñîâïàäàåòÍàøå îáñóæäåíèå ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, ëèøü áåãëûì î÷åðêîì íåêîòîðûõ èäåé, ðàçâèâàåìûõ â äàííîìðàçäåëå àëãåáðû.51.8Íîðìàëüíûå äåëèòåëè ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïûÏðè ïîñòðîåíèè ðàäèêàëüíûõ ðàñøèðåíèé êëþ÷åâóþ ðîëü èãðàþò íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû ñ àáåëåâîéôàêòîð-ãðóïïîé. Ñâÿçàííîå ñ íèìè ñâîéñòâî ïîäãðóïï ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû äîêàçûâàåòñÿ ëåãêî.Óòâåðæäåíèå 1. Åñëè H íîðìàëüíûé äåëèòåëü ãðóïïû G ñ àáåëåâîé ôàêòîð-ãðóïïîé G/H , òîH ñîäåðæèò âñå ýëåìåíòû âèäà aba−1 b−1 , ãäå a, b ∈ G.Äîêàçàòåëüñòâî.
H(ab) = H(ba) ⇒ aba−1 b−1 ∈ H. 2Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü H 6= Sn íîðìàëüíûé äåëèòåëü ãðóïïû Sn ñ àáåëåâîé ôàêòîð-ãðóïïîéSn /H , è ïðåäïîëîæèì, ÷òî n ≥ 5. Òîãäà H ñîâïàäàåò ñî çíàêîïåðåìåííîé ãðóïïîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì äâà òðîéíûõ öèêëà (öèêëà äëèíû 3) a = (ijk), b = (ijm).Òîãäàaba−1 b−1 = (ijk)(ijm)(kji)(mji) = (ij)(km).Çíà÷èò,Hñîäåðæèò âñå ïðîèçâåäåíèÿ ïàð íåçàâèñèìûõ òðàíñïîçèöèé.
Ïðèn≥5ïàðû íåçàâèñèìûõòðàíñïîçèöèé ïîðîæäàþò âñå òðîéíûå öèêëû:(ij)(kl) (ik)(jm) (il)(km) = (ikj).Òðîéíûå öèêëû è ïðîèçâåäåíèÿ ïàð íåçàâèñèìûõ òðàíñïîçèöèé ïîðîæäàþò âñå ÷åòíûå ïîäñòàíîâêè.2Îòìåòèì òàêæå (áåç äîêàçàòåëüñòâà), ÷òî ïðèn≥5çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïà âîîáùå íå îáëàäàåòíîðìàëüíûìè äåëèòåëÿìè, îòëè÷íûìè îò íåå ñàìîé èëè ïîäãðóïïû, ñîñòîÿùåé èç îäíîé ëèøü òîæäåñòâåííîé ïîäñòàíîâêè. Òàêèå ãðóïïû íàçûâàþòñÿïðîñòûìè.Êëàññèôèêàöèÿ ïðîñòûõ êîíå÷íûõ ãðóïïáûëà çàâåðøåíà ëèøü â 1980-õ ãîäàõ.51.9Ãðóïïû ïðè ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâÌû óæå èçó÷àëè âîïðîñ î ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíîãîn-óãîëüíèêàñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè (ñì.ðàçäåë 16.11) íàïîìíèì, ÷òî îí ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ñïåöèàëüíîé öåïî÷êè ðàñøèðåíèé ïîëÿðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîé êàæäîå ïðîìåæóòî÷íîå ïîëå èìååò ñòåïåíü 2 íàä ïðåäûäóùèì ïîëåì.308Ëåêöèÿ 51Öåïî÷êà çàâåðøàåòñÿ ïîñòðîåíèåì ïîëÿ, ñîäåðæàùåãî íóæíîå íàì ÷èñëî äëèíó ñòîðîíû ïðàâèëüíîãîn-óãîëüíèêà.Ñòåïåíü äàííîãî ïîëÿ íàäQñ íåîáõîäèìîñòüþ ðàâíà2k . ñâåòå òåîðèè Ãàëóàýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîêàçàííîå íàìè ðàíåå íåîáõîäèìîå óñëîâèå íà ÷èñëî ñòîðîí (nòåì, ÷òî ãðóïïà Ãàëóà äëÿ êðóãîâîãî ìíîãî÷ëåíà ïðîñòîé ñòåïåíè ñîäåðæèò2k= 2k + 1)âûçâàíîýëåìåíòîâ.×òîáû äîêàçàòü äîñòàòî÷íîñòü ýòîãî óñëîâèÿ, íóæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå óïîìÿíóòîé âûøåñïåöèàëüíîé öåïî÷êè ðàñøèðåíèé ïîëÿQ.Òåîðèÿ Ãàëóà ïîçâîëÿåò ñâåñòè âîïðîñ ê äîêàçàòåëüñòâó2k .
Ïóòü ê äîêàçàòåëüñòâóäîñòàòî÷íîñòè óñëîâèÿ íà ÷èñëî ñòîðîí n îòêðûâàåòñÿ ñëåäóþùèì íàáëþäåíèåì: åñëè ãðóïïà G èìååòïîðÿäîê 2k , òî îíà îáëàäàåò íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà 2.  äåéñòâèòåëüíîñòè èìååò ìåñòî áîëååñóùåñòâîâàíèÿ ñïåöèàëüíîé öåïî÷êè íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï ãðóïïû ïîðÿäêàîáùàÿÒåîðåìà. Ïóñòü ãðóïïà G èìååò ïîðÿäîê pk , ãäå p > 1 ïðîñòîå ÷èñëî.3ìàëüíîé ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà p.Äîêàçàòåëüñòâî òðåáóåò íåêîòîðîé ïîäãîòîâêè. Ýëåìåíòûåñëèa = hbh−1äëÿ íåêîòîðîãîîòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà(ñêàæåì,m)h ∈ G.a, b ∈ GÒîãäà G îáëàäàåò íîð-íàçûâàþòñÿñîïðÿæåííûìè,Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñîïðÿæåííîñòü ýëåìåíòîâ ýòîG. Ïîýòîìó êîíå÷íàÿ ãðóïïà G ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëàíåïåðåñåêàþùèõñÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòèG = K1 ∪ .
. . ∪ Km .(∗)Ëåììà 1.  ïðîèçâîëüíîé êîíå÷íîé ãðóïïå G ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ñîïðÿæåííûõ ñ çàäàííûì ýëåìåíòîìa, ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ïîðÿäêà ãðóïïû.Äîêàçàòåëüñòâî.a.Ïóñòü−1G(a) = {h1 ah−11 , . . . , hs ahs } ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ñîïðÿæåííûõ ñÇàìåòèì, ÷òî−1hi ah−1= hj ah−1⇔ (h−1ijj hi )a = a(hj hi ).H(a) ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ èç G, êîììóòèðóþùèõ ñ a.
Ýëåìåíòàðíî ïðîâåðÿåòñÿ,H(a) ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé â G (ïîäãðóïïà H(a) íàçûâàåòñÿ öåíòðàëèçàòîðîì ýëåìåíòà a). ÒàêèìÎáîçíà÷èì ÷åðåç÷òîîáðàçîì,hi ah−1= hj ah−1⇔ h−1ijj hi ∈ H(a) ⇔ hi H(a) = hj H(a).Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî ñîïðÿæåííûõ ñãðóïïåaýëåìåíòîâ ðàâíî ÷èñëó ñìåæíûõ êëàññîâ ãðóïïûGïî ïîä-H(a). 2Ëåììà 2.  ïðîèçâîëüíîé ãðóïïå G ïîðÿäêà pk ñóùåñòâóåò ýëåìåíò a 6= e (îòëè÷íûé îò åäèíèöû),êîììóòèðóþùèé ñî âñåìè ýëåìåíòàìè èç G.Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèåýëåìåíòîâ. Ñîãëàñíî ëåììå 1, ïîðÿäîêKi(∗)ãðóïïûpk ièìååò âèäGíà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû ñîïðÿæåííûõ(äåëèòåëü ÷èñëàKi , ñîñòîÿùèõ èç îäíîãî ýëåìåíòà, äîëæíî äåëèòüñÿ íà p ⇒a = hah−1 ∀ h ∈ G ⇒ ah = ha ∀ h ∈ G.
2êëàññîâ÷òîÄîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.ýëåìåíòàìè èçG.Ñîãëàñíî ëåììå 2, èìååòñÿ ýëåìåíòÏóñòü åãî ïîðÿäîê ðàâåípl .pk ).Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ÷èñëîñóùåñòâóåò ýëåìåíòa 6= e,a 6= e òàêîé,êîììóòèðóþùèé ñî âñåìèÒîãäà ýëåìåíòl−1b = apèìååò ïîðÿäîêp.Öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ ýëåìåíòîìòàê êàê còåïåíè ýëåìåíòàbêîììóòèðóþò ñî âñåìè ýëåìåíòàìè èç3 Òàêèå ãðóïïû íàçûâàþòñÿïðèìàðíûìè.b, ÿâëÿåòñÿG. 2íîðìàëüíûì äåëèòåëåì,Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 1952.1Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêàÌû óæå äîêàçàëè, ÷òî ëþáàÿ ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà â íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç óðàâíåíèé(1), (2)èëè(3).Äëÿ îïèñàíèÿ âñåõ âîçìîæíûõ ñëó÷àåâ èíîãäà ïðåä-ëàãàåòñÿ ñëåäóþùàÿ êëàññèôèêàöèÿ:(1)x2 y 2+ 2 =1a2bx2 y 2+ 2 =0a2bx2 y 2− 2 =1a2b(ýëëèïñ);x2 y 2+ 2 = −1a2b(ìíèìûé ýëëèïñ);(ïàðà ìíèìûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ);x2 y 2− 2 =0a2b(ãèïåðáîëà);(ïàðà ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ);(2)y 2 = 2px(ïàðàáîëà);(3)y 2 = a2(ïàðà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ);y 2 = −a252.2y2 = 0(ïàðà ñîâïàäàþùèõ ïðÿìûõ);(ïàðà ìíèìûõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ).Èíâàðèàíòû ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêàÐàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèåf (x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0â çàäàííîéäåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è îïðåäåëèòåëèI2 = deta11a12a12a22,a11I3 = det a12a13a12a22a23a13a23 .a33Òåîðåìà îá èíâàðèàíòàõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
